2023-2024學(xué)年上海理工大附中高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、填空題1．（3分）已知全集為，集合，，，則．2．（3分）若集合，，，且，則的取值范圍是．3．（3分）“且”的否定形式為．4．（3分）如圖，已知是全集，、、是的三個(gè)子集用交、并、補(bǔ)關(guān)系將圖中的陰影部分可表示為．5．（3分）集合，，且，則實(shí)數(shù)可取值組成的集合為．6．（3分）已知，，且，，則的取值范圍為．7．（3分）下面六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④，；⑤，，；⑥，，其中正確的是．8．（3分）下列命題中真命題的編號是．①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的兩個(gè)集合相等；④函數(shù)的圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)；⑤若，則；⑥滿足，，2，3，4，的集合有7個(gè)．9．（3分）已知集合，中只有一個(gè)整數(shù)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．10．（3分）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則以、為兩根的一個(gè)一元二次方程可以是．11．（3分）在下列所示電路圖中，下列說法正確的是（填序號）．（1）如圖①所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件．12．（3分）設(shè)集合，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．（3分）設(shè)是集合，2，3，4，5，6，的子集，有且僅含有3個(gè)互不相鄰的整數(shù)元素，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為．14．（3分）設(shè)集合，，，，，2，3，，，且中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則的最大值為．15．（3分）某學(xué)校高三教師周一、周二、周三開車上班的人數(shù)分別是8，10，14，若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是．二、解答題16．比較與的大?。?7．若集合，，，，且，0，，求實(shí)數(shù)，的值．18．求證：是無理數(shù)．19．?dāng)?shù)字1，2，3，，的任意一個(gè)有序排列記作，，，，設(shè)為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．如：，．記集合，，，任意整數(shù)，都有；記集合，，，任意整數(shù)，都有．（1）用列舉法表示集合；（2）用列舉法表示集合，；（3）求集合中元素的個(gè)數(shù)．20．已知集合，2，3，，，設(shè)是的至少含有兩個(gè)元素的子集，對于中的任意兩個(gè)不同的元素，，若都不能整除，則稱集合是的“好子集”．（1）分別判斷數(shù)集，4，6，與，4，是否是集合的“好子集”，并說明理由；（2）證明：若是的“好子集”，則對于中的任意兩個(gè)不同的元素，，都有；（3）求集合的“好子集”所含元素個(gè)數(shù)的最大值．

參考答案一、填空題1．（3分）已知全集為，集合，，，則．解：，，，則，．故答案為：．2．（3分）若集合，，，且，則的取值范圍是，．解：集合，，，且，則．故答案為：，．3．（3分）“且”的否定形式為或．解：“且”的否定形式為：或．故答案為：或．4．（3分）如圖，已知是全集，、、是的三個(gè)子集用交、并、補(bǔ)關(guān)系將圖中的陰影部分可表示為．解：由韋恩圖可知陰影部分表示集合中集合的補(bǔ)集與集合的公共部分，所以可以表示為．故答案為：．5．（3分）集合，，且，則實(shí)數(shù)可取值組成的集合為，0，．解：因?yàn)?，，所以由可得：?．當(dāng)時(shí)，，滿足條件；2．當(dāng)時(shí)，，，所以或，即或．綜上所述：，0，．故答案為：，0，．6．（3分）已知，，且，，則的取值范圍為．解：因?yàn)?，，所以，，則，即的取值范圍為．故答案為：．7．（3分）下面六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④，；⑤，，；⑥，，其中正確的是①③⑤．解：因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，所以；故①正確；由元素與集合的關(guān)系，可知，而不是，故②錯誤；根據(jù)任意集合是它本身的子集，可知，故③正確，由集合與集合的關(guān)系，可知，而不是，，故④錯誤；由元素與集合的關(guān)系，可知，，，故⑤正確；由集合與集合的關(guān)系，可知，而不是，，故⑥錯誤．故答案為：①③⑤．8．（3分）下列命題中真命題的編號是③④⑤．①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的兩個(gè)集合相等；④函數(shù)的圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)；⑤若，則；⑥滿足，，2，3，4，的集合有7個(gè)．解：對于①：當(dāng)時(shí)方程是一元一次方程，故①錯誤；對于②：空集是任何非空集合的真子集，故②錯誤；對于③：互相包含的兩個(gè)集合相等，故③正確；對于④：令，解得，所以函數(shù)的圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)，故④正確；對于⑤：若則，所以，故⑤正確；對于⑥：滿足，，2，3，4，的集合有，2，，，2，，，2，，，2，3，，，2，3，，，2，4，共6個(gè)，故⑥錯誤．故答案為：③④⑤．9．（3分）已知集合，中只有一個(gè)整數(shù)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．解：集合，中只有一個(gè)整數(shù)元素，則，，即，此時(shí)，故，解得．故，．故答案為：，．10．（3分）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則以、為兩根的一個(gè)一元二次方程可以是（答案不唯一）．解：因?yàn)?，所以，又，解得，即，所以、是方程的兩根．故答案為：（答案不唯一）?1．（3分）在下列所示電路圖中，下列說法正確的是（1）（2）（3）（填序號）．（1）如圖①所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件．解：對于（1）開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，故（1）正確；對于（2）開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，故（2）正確；對于（3）開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，故（3）正確；對于（4）開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，故（4）錯誤；故答案為：（1）（2）（3）．12．（3分）設(shè)集合，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：因?yàn)榧希?，且，，所以，或或，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，△，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．13．（3分）設(shè)是集合，2，3，4，5，6，的子集，有且僅含有3個(gè)互不相鄰的整數(shù)元素，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為10．解：滿足條件的子集為：，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，，4，，，4，，，5，，，5，．故答案為：10．14．（3分）設(shè)集合，，，，，2，3，，，且中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則的最大值為45．解：將集合，2，3，，按照除以5的余數(shù)分為：，10，，，，6，，，，7，，，，8，，，，9，，，有21個(gè)元素，有22個(gè)元素，有22個(gè)元素，有21個(gè)元素，有21個(gè)元素，中最多可以選擇1個(gè)，和中只能選擇一個(gè)集合中的元素，最多22個(gè)，和中只能選擇一個(gè)集合中的元素，最多22個(gè)，綜上所述：中選擇1個(gè)，和中的全部元素，共45個(gè)．故答案為：45．15．（3分）某學(xué)校高三教師周一、周二、周三開車上班的人數(shù)分別是8，10，14，若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是6．解：設(shè)周三，周二，周一開車上班的職工組成的集合分別為，，，且集合，，中元素個(gè)數(shù)分別為（A），（B），（C），則（A），（B），（C），，因?yàn)椋ˋ）（B）（C），且，，，所以，即．故答案為：6．二、解答題16．比較與的大小．解：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．17．若集合，，，，且，0，，求實(shí)數(shù)，的值．解：，0，，把代入，可得，矛盾，，則，，則，，，，代入得：，解得．實(shí)數(shù)，的值分別為2，0．18．求證：是無理數(shù)．【解答】證明：假設(shè)是有理數(shù)，則不妨設(shè)，為互質(zhì)正整數(shù)），從而：，，可見是3的倍數(shù)．設(shè)是正整數(shù)），則，可見也是3的倍數(shù)．這樣，，就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）．不可能，是無理數(shù)．19．?dāng)?shù)字1，2，3，，的任意一個(gè)有序排列記作，，，，設(shè)為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．如：，．記集合，，，任意整數(shù)，都有；記集合，，，任意整數(shù)，都有．（1）用列舉法表示集合；（2）用列舉法表示集合，；（3）求集合中元素的個(gè)數(shù)．解：（1）依題意，2，，，3，，，1，，，3，，，1，，，2，．（2）因?yàn)榧希?，，任意整?shù)，都有，所以，2，，，，，任意整數(shù)，都有，所以，2，，，3，，，1，，，2，；（3）考慮集合中的元素，，，．由已知，對任意整數(shù)，，都有，所以，所以．由，的任意性可知，，，，是1，2，3，，的單調(diào)遞增排列，所以，2，3，，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，對任意整數(shù)，，，都有，所以，2，3，，，所以，所以集合的元素個(gè)數(shù)為1．20．已知集合，2，3，，，設(shè)是的至少含有兩個(gè)元素的子集，對于中的任意兩個(gè)不同的元素，，若都不能整除，則稱集合是的“好子集”．（1）分別判斷數(shù)集，4，6，與，4，是否是集合的“好子集”，并說明理由；（2）證明：若是的“好子集”，則對于中的任意兩個(gè)不同的元素，，都有；（3）求集合的“好子集”所含元素個(gè)數(shù)的最大值．【解答】解（1）由于整除，所以集合不是集合的“好子集”；由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合是集合的“好子集”；（2）（反證）首先，由于是“好子集”，所以，假設(shè)存在中的任意兩個(gè)不同的元素，，使得