第1頁（共1頁）2021年江蘇省南京一中特長生招生數(shù)學(xué)試卷一、解答題1．解方程：x3﹣10x﹣3＝0．2．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°．請你設(shè)計兩種不同的分法，使得其中兩個是全等三角形，而另外兩個是相似但不全等的直角三角形、請畫出分割線段，并在兩個全等三角形中標(biāo)出一對相等的內(nèi)角的度數(shù)（畫圖工具不限，不要求證明，不要求寫出畫法）．3．討論關(guān)于x的方程（x﹣m）（x+n）﹣p2＝0根的情況．4．如圖，等腰Rt△ABC中，，以AC為直徑作半圓，點M為BD中點，求AM取值范圍．5．解答下列各題．（1）求…+的值；（2）求+…+的值；（3）+…+＝．6．某博物館出土了一件文物，文物長度為96cm，擺放在高度為168cm的展示架上，舞蹈團的平均身高為152cm，為了保證觀看視角最大（視角：人眼與被觀看物兩邊構(gòu)成的角）7．如圖，cos∠MON＝，P為∠MON內(nèi)一點，A、B分別為OM、ON上動點，求△APB周長最小值．8．點G為DC的中點，CD＝12，BC＝9，四邊形ABCD為矩形，求EG＝．

2021年江蘇省南京一中特長生招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、解答題1．解方程：x3﹣10x﹣3＝0．【解答】解（x+3）（x2﹣2x﹣1）＝0，x+5＝0或x2﹣8x﹣1＝0，若x+5＝0，則x＝﹣3，x5﹣3x﹣1＝3，則，∴原方程的解：x1＝﹣3，，．2．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°．請你設(shè)計兩種不同的分法，使得其中兩個是全等三角形，而另外兩個是相似但不全等的直角三角形、請畫出分割線段，并在兩個全等三角形中標(biāo)出一對相等的內(nèi)角的度數(shù)（畫圖工具不限，不要求證明，不要求寫出畫法）．【解答】解：3．討論關(guān)于x的方程（x﹣m）（x+n）﹣p2＝0根的情況．【解答】解：原方程可化為：x2+（n﹣m）x﹣mn﹣p2＝5，∴Δ＝（n﹣m）2﹣4×6×（﹣mn﹣p2）＝（m+n）2+p2，當(dāng)m＝﹣n且p＝0時，Δ＝0；當(dāng)m≠﹣n或p≠5時，Δ＞0．4．如圖，等腰Rt△ABC中，，以AC為直徑作半圓，點M為BD中點，求AM取值范圍．【解答】解：作AB、CB的中點P、Q，QM，則PM∥AD，QN∥CD，∠PMQ＝∠ADC＝90°，∵點M在以PQ為直徑的半圓O上，∴當(dāng)M在AO與半圓交點N處，AMmin＝AN，當(dāng)M在Q時，AMmax＝AQ，，∴，PQ＝2，，∴，∴，，∴．5．解答下列各題．（1）求…+的值；（2）求+…+的值；（3）+…+＝n﹣．【解答】解：（1）設(shè)S＝+++…+①，則4S＝6++++…+②，②﹣①，得：6S﹣S＝1﹣，∴S＝（3﹣；（2）設(shè)S＝+++…+①，則mS＝1++++…+②，②﹣①，得：（m﹣6）S＝1﹣，∴S＝（1﹣；（3）原式＝8﹣+1﹣+…+2﹣+++…+），設(shè)S＝+++…+①，則2021S＝5++++…+②，②﹣①，得：2020S＝1﹣，∴S＝，∴原式＝n﹣，故答案為：n﹣．6．某博物館出土了一件文物，文物長度為96cm，擺放在高度為168cm的展示架上，舞蹈團的平均身高為152cm，為了保證觀看視角最大（視角：人眼與被觀看物兩邊構(gòu)成的角）【解答】解：如圖，在CB上截取CP＝152cm，且與地面平行的直線l上，當(dāng)過A，B，D的⊙O與l相切時，過O作OM⊥AB，則AM＝BM＝48cm，MP＝BC+BM﹣CP＝168+48﹣152＝64cm，∴OD＝OB＝64cm，∴柵欄EF應(yīng)擺放在距AC的位置．7．如圖，cos∠MON＝，P為∠MON內(nèi)一點，A、B分別為OM、ON上動點，求△APB周長最小值．【解答】解：分別作點P關(guān)于OM，ON的對稱點P1，P2，連接P3P2，分別交OM，ON于點C，D，DP，可知當(dāng)點A與點C重合，點B于點D重合時1A+P5B+AB＝P1P2，為最小值，即△ABP的周長最小，最小值為線段P7P2的長．連接OP1，OP3，過點O作OH⊥P1P2于點H，∵點P，P2關(guān)于OM對稱，點P，P2關(guān)于ON對稱，∴OP1＝OP3＝OP＝10，∠P1OM＝∠POM，∠P2ON＝∠PON，∴△P3OP2為等腰三角形，∠P1OP6＝∠P1OM+∠POM+∠P2ON+∠PON＝7∠POM+2∠PON＝2∠MON，∴P4H＝P2H，∠P2OH＝＝∠MON，∴cos∠P2OH＝cos∠MON＝＝，∴OH＝8．∴P2H＝＝＝4，∴P1P2＝4P2H＝12，即△APB周長最小值為12．8．點G為DC的中點，CD＝12，BC＝9，四邊形ABCD為矩形，求EG＝．【解答】解：連接BG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C＝∠D＝90°．∵點G為DC的中點，∴DG＝CG＝＝7．由翻折得，∠DGE＝∠FGE，∠EFG＝∠D＝90°，∴FG＝CG＝6，∠BFG＝∠BCG＝90°，∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴BF＝BC＝9，∠BGF＝∠BGC．∵∠DGE+∠FGE+∠BGF+∠BGC＝180°，即2∠EG