10.2事件的相互獨立性第十章概率課程目標

1．理解兩個事件相互獨立的概念．2．能進行一些與事件獨立有關的概念的計算．3.通過對實例的分析，會進行簡單的應用.

前面我們研究過互斥事件，對立事件的概率性質，還研究過和事件的概率計算方法，對于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎？

我們知道積事件AB就是事件A與事件B同時發(fā)生，因此，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關系，那么這種關系會是怎樣的呢？

下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題。

提出問題思考1:分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？分別計算P(A),P(B),P(AB),看看它們之間有什么關系？用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率計算公式，得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.分析：因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率思考2:一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”.事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？分析：對于試驗2,因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.分別計算P(A),P(B),P(AB),看看它們之間有什么關系？樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},于是也有P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)也等于P(A)與P(B)的乘積.一、相互獨立事件的定義:

設A,B兩個事件,如果事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響(即P(AB)=P(A)P(B)),則稱事件A與事件B相互獨立.簡稱獨立.即：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立。

如果事件A1，A2，A3，…，An是相互獨立的，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，

即P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)就是相互獨立事件的概率乘法公式推廣形式：(1)必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨立.

(2)若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立:①②③例如證①二、相互獨立事件的性質:例1.一個袋子中有標號分別為1,2,3,4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用不放回方式從中任意摸球兩次，設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？解：因為樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12個樣本點A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,2),(2,1)}所以此時P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A與事件B不獨立.判斷兩個事件是否相互獨立的方法 (1)定性法:

直觀地判斷一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生是否有影響，若沒有影響就是相互獨立事件. (2)定量法:

通過古典概型等概率計算P(AB)=P(A)P(B)是否成立，可以準確判斷兩個事件是否相互獨立.練習1.判斷下列事件是否為相互獨立事件.(1)甲組有3名男生,2名女生,乙組有2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加是演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”.(2)一筐內有6個蘋果和3個梨，“從中任意取出1個,取出的是蘋果”與“把取出的水果放回筐內,再從筐內任意取出1個,取出的是梨”.(3)一個布袋里有大小完全相同的3個白球，2個紅球,不放回的從袋中隨機依次取2球，“第一次取到的是白球”與“第二次取到的是紅球”.(4)擲一枚骰子一次,事件A:“出現(xiàn)偶數(shù)點”;事件B:“出現(xiàn)3點或6點”.二、互斥事件與相互獨立事件區(qū)別相互獨立事件

互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A,B同時發(fā)生，記作AB互斥事件A,B中有一個發(fā)生，記作AUB（或A+B）計算公式P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)=P(A)+P(B)1、概率計算公式不同2、互斥事件：同一個樣本空間下兩個事件或多個事件的關系，它們沒有公共的樣本點，彼此互斥事件之間的交集為空集。

（兩個事件或多個事件事件不可能同時發(fā)生即互斥）

二、互斥事件與相互獨立事件區(qū)別3、若P(A)>0，P(B)>0，

則事件牛A，B相互獨立與A，B互斥不能同時成立.4、只有不可能事件與任何事件A相互獨立.

相互獨立事件：可看待成兩個或多個樣本空間下，各自空間下發(fā)生的事件之間的關系，彼此之間是否發(fā)生互不影響，一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率也不影響?；蛲粯颖究臻g下，一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率影響，滿足P(AB)=P(A)P(B)，則兩事件相互獨立。（一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響即相互獨立。）例2.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.例3甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲，乙各猜一個成語,已知甲每輪猜對的概率為

，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響,各輪結果也互不影響,求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率設A=“兩輪活動'星隊'猜對3個成語”，則A=A1B2∪A2B1,且A1B2與A2B1互斥，A1與B2,A2與B1分別相互獨立，所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是分析：兩輪活動猜對3個成語，相當于事件“甲猜對1個，乙猜對2個”、事件“甲猜對2個，乙猜對1個”的和事件發(fā)生，解：設A1,A2分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，B1,B2分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件，根據(jù)獨立性假定，得例4、三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將它們中的某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率練習及作業(yè)：甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束.假設在1局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立.已知前兩局中，甲、乙各勝1局.(1)求再賽兩局結束這次比賽的概率;(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率.解：記Ai表示事件“第i局甲獲勝”，i=3，4，5，Bj表示事件“第j局乙獲勝”，j=3，4.(1)記A表示事件“再賽兩局結束比賽”，則A=A3·A4＋B3·B4.由于各局比賽結果相互獨立，故P(A)=P(A3·A4＋B3·B4)=P(A3·A4)＋P(B3·B4)=P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)=0.6×0.6＋0.4×0.4=0.52.(2)記B表示事件“甲獲得這次比賽的勝利”.因前兩局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B=A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.由于各局比賽結果相互獨立，故P(B)=P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)=P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6=0.648.

求較為復雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關系(事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關系式；(3)根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．常用的相互獨立事件的概率

練習1.甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機的概率為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機被擊中的概率.解:設A={甲擊中敵機},B={乙擊中敵機},C={敵機被擊中}

設={甲擊未中敵機},={乙擊未中敵機},={敵機未被擊中}根據(jù)互斥事件的概率加法公式和事件獨立性定義知練習2：某人有4把鑰匙，其中2把能打開門.如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，（1）那么第二次才能打開門的概率有多大?（2）如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率有多大？練習3.有2個人在一座7層大樓的底層進入電梯，假設每 一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的.(1)求這兩個人在同一層離開電梯的概率.(2)求這兩個人在不同層離開電梯的概率;答案:B當堂達標課堂練習2.甲、乙兩人各進行1次射擊,如果兩人擊中目標的概率都是0.7,則其中恰有1人擊中目標的概率是(

)A.0.49 B.0.42

C.0.7

D.0.91答案:B3.一件產品要經(jīng)過2道獨立的加工程序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則產品的正品率為(

)A.1-a-b

B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)答案:C5.某天上午,李明要參加“青年文明號”活動.為了準時起床,他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己.假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80,乙鬧鐘準時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是

.

答案:0.98解析:至少有一個準時響的概率為1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大解出問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4,且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大？

略解:

三個