引言暫態(tài)能量函數(shù)法是基于一個(gè)古典的力學(xué)概念發(fā)展而來的，該概念中指出：“對于一個(gè)自由的(無外力作用的)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，若系統(tǒng)的總能量V(V(X)>0，X為系統(tǒng)狀態(tài)量)隨時(shí)間變化率恒為負(fù)，則系統(tǒng)總能量不斷減少，直至最終達(dá)到一個(gè)最小值，即平衡狀態(tài)，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定的”。圖9-1滾球系統(tǒng)穩(wěn)定原理圖9-1所示的滾球系統(tǒng)在無擾動(dòng)時(shí)，球位于穩(wěn)定平衡點(diǎn)(stableequilibriumpoint，SEP)；受擾后，小球在擾動(dòng)結(jié)束時(shí)位于高度h處(以SEP為參考點(diǎn))，并具有速度v。該質(zhì)量為m的小球，總能量V由動(dòng)能及勢能mgh(g為重力加速度)的和組成，即若小球與壁有摩擦力，則受擾后能量在摩擦力作用下逐步減少；設(shè)小球所在容器的壁高為H(以SEP為參考點(diǎn))，當(dāng)小球位于壁沿上，且速度為零時(shí)(即處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài))，相應(yīng)的勢能為mgH，稱此位置為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(unstableequilibriumpoint，UEP)，相應(yīng)的勢能為系統(tǒng)臨界能量，即根據(jù)運(yùn)動(dòng)原理，我們知道，若忽略容器壁摩擦，在擾動(dòng)結(jié)束時(shí)小球總能量V大于臨界能量時(shí)，則小球最終將滾出容器，而失去穩(wěn)定性；反之，則小球?qū)⒃谀Σ亮ψ饔孟?，能量逐步減少，最終靜止于SEP。而為臨界狀態(tài)，顯然可根據(jù)判別穩(wěn)定裕度。對于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)要解決兩個(gè)關(guān)鍵問題：一是對于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)如何構(gòu)造(定義)一個(gè)合理的暫態(tài)能量函數(shù)，它的大小應(yīng)能正確地反映系統(tǒng)失去穩(wěn)定的嚴(yán)重性；二是如何確定和系統(tǒng)臨界穩(wěn)定相對應(yīng)的函數(shù)值，即臨界能量，從而可通過對擾動(dòng)結(jié)束時(shí)暫態(tài)能量函數(shù)值(即上例中的)和臨界值(即上例中的mgH)的比較來判別穩(wěn)定性或確定穩(wěn)定域。這種判別穩(wěn)定的方法統(tǒng)稱為暫態(tài)能量函數(shù)法(transientenergyfunction，TEF法)。它的特點(diǎn)是從能量的觀點(diǎn)來判別穩(wěn)定性，而不是根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的軌跡(物理量隨時(shí)間變化的曲線)來判別穩(wěn)定性，從而計(jì)算量少，速度快。直接法的最大優(yōu)點(diǎn)：(1)能計(jì)及非線性，適應(yīng)較大系統(tǒng)。(2)計(jì)算速度快，不必逐步積分求搖擺曲線，而是通過能量判據(jù)來判別穩(wěn)定。(3)能給出穩(wěn)定度。直接法的兩個(gè)較大缺點(diǎn)：(1)模型較簡單。目前真正實(shí)用的軟件采用發(fā)電機(jī)二階經(jīng)典模型，恒定阻抗負(fù)荷，尚不能計(jì)及勵(lì)磁系統(tǒng)對穩(wěn)定的作用。(2)分析結(jié)果容易偏于保守。這是因?yàn)槔钛牌罩Z夫直接法相應(yīng)的穩(wěn)定準(zhǔn)則是充分條件，而不是必要條件。此外在系統(tǒng)很大，或受到一系列擾動(dòng)(如重合閘過程)時(shí)，直接法的速度、精度較差，故目前僅用于判別第一搖擺穩(wěn)定性。單機(jī)無窮大系統(tǒng)的直接法暫態(tài)穩(wěn)定分析本節(jié)介紹在最簡單的單機(jī)無窮大系統(tǒng)中如何構(gòu)造暫態(tài)能量函數(shù)、確定系統(tǒng)臨界能量，并進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定分析。對于圖9-2中系統(tǒng)，若發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典二階模型，忽略原動(dòng)機(jī)及調(diào)速器動(dòng)態(tài)，忽略勵(lì)磁系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，則系統(tǒng)完整的標(biāo)幺值數(shù)學(xué)模型為（9-1)式中，為轉(zhuǎn)子角速度和同步速的偏差；為轉(zhuǎn)子角；，為機(jī)械功率；為電磁功率，為發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢及無窮大系統(tǒng)電壓間的系統(tǒng)總電抗(設(shè)電阻為零)；其中E和U為常數(shù)；M為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)(即)。設(shè)圖9-2中系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，功角特性為；在t=0時(shí)，線路上受到三相故障擾動(dòng)，功角特性變?yōu)?，此時(shí)發(fā)電機(jī)加速，轉(zhuǎn)子角增加，直到時(shí)，切除故障線路，功角特性變?yōu)?。圖9-2單機(jī)無窮大系統(tǒng)直接法分析要求研究的問題是：如何用直接法判別故障切除后系統(tǒng)的第一搖擺穩(wěn)定性。顯然對故障后的系統(tǒng)，穩(wěn)定平衡點(diǎn)為S(對應(yīng))，不穩(wěn)定平衡點(diǎn)為U(對應(yīng))，在這二點(diǎn)上，均有電磁功率平衡，即。下面定義系統(tǒng)的暫態(tài)能量函數(shù)，設(shè)系統(tǒng)動(dòng)能為(注意為與同步速之偏差，故穩(wěn)態(tài)時(shí)=0)（9-2)顯然可以將式(9-1)的加速方程的二邊對積分而求得故障切除時(shí)的動(dòng)能，即（9-3)若定義系統(tǒng)的勢能為以故障切除后系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)S為參考點(diǎn)的減速面積(反映系統(tǒng)吸收動(dòng)能的性能)，則故障切除時(shí)的系統(tǒng)勢能為（9-4)從而系統(tǒng)在擾動(dòng)結(jié)束時(shí)總暫態(tài)能量V為（9-5)若將系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)U(轉(zhuǎn)子角)時(shí)，系統(tǒng)以S點(diǎn)為參考點(diǎn)的勢能作為臨界能量(此值相當(dāng)于滾球系統(tǒng)的=mgH)，則（9-6)和滾球系統(tǒng)相似，可作穩(wěn)定判別如下。當(dāng)，即圖9-2中面積(A+B)<面積(B+C)，或者說面積A<面積C時(shí)，則系統(tǒng)第一擺穩(wěn)定；反之若，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；時(shí)系統(tǒng)為臨界狀態(tài)。顯然這和等面積準(zhǔn)則完全一致，是一個(gè)準(zhǔn)確的穩(wěn)定判據(jù)。這里假定系統(tǒng)有足夠的阻尼，若第一擺穩(wěn)定，則以后作衰減振蕩，趨于S點(diǎn)。

下面對此作一個(gè)簡單討論。(1)從上面分析可知，最關(guān)鍵問題是如何構(gòu)造(定義)一個(gè)反映系統(tǒng)穩(wěn)定性的暫態(tài)能量函數(shù)，以及如何正確確定系統(tǒng)的臨界能量，并以此作為穩(wěn)定判別的標(biāo)準(zhǔn)。(2)直接法分析穩(wěn)定時(shí)，不必逐步積分求，而只要求出和，計(jì)算，并設(shè)法確定，通過比較與來判別穩(wěn)定。(3)對單機(jī)無窮大系統(tǒng)，UEP點(diǎn)不僅功率平衡()，且系統(tǒng)在這點(diǎn)勢能達(dá)最大值(與最大減速面積對應(yīng))，即，故既可用來求解及算，也可搜索→max點(diǎn)，并取。在多機(jī)系統(tǒng)中前一種途徑又稱UEP法。后一種途徑又稱勢能邊界面法，即PEBS法(potentialenergyboundarysurface)。在多機(jī)系統(tǒng)中也可把系統(tǒng)作單機(jī)——無窮大等值，再用上述等面積準(zhǔn)則判穩(wěn)，又稱EEAC法(extendedequalareacriteria)。(4)用本方法只能解決第一搖擺穩(wěn)定問題。(5)在分析中一般把轉(zhuǎn)子阻尼忽略，使結(jié)果更保守些。(6)可以用作為系統(tǒng)穩(wěn)定度的定量描述，從而對事故嚴(yán)重性排隊(duì)，以便作動(dòng)態(tài)安全分析，實(shí)際應(yīng)用中使用的是規(guī)格化的穩(wěn)定度，通常定義（9-7)文獻(xiàn)建議(7)暫態(tài)能量函數(shù)同元件模型緊密相關(guān)，當(dāng)采用復(fù)雜的元件模型和計(jì)及調(diào)節(jié)器動(dòng)態(tài)時(shí)，相應(yīng)的暫態(tài)能量函數(shù)將十分復(fù)雜，直接法暫態(tài)穩(wěn)定分析過程也將復(fù)雜化。對于圖9-2系統(tǒng)，若在狀態(tài)空間，即-相平面上作故障切除后系統(tǒng)的定常能量曲線族，即由（9-8)作曲線，式中為故障切除后系統(tǒng)的視在電抗；C為參變量。該曲線族見圖9-3所示。對系統(tǒng)能量取微分可知而由運(yùn)動(dòng)方程可知，在故障切除后系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡上，故其運(yùn)動(dòng)軌跡上dV=0，V=const．，即在故障切除后系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡必為上述定常能量曲線族中一支。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，由圖9-2可知，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子將圍繞點(diǎn)搖擺，可以證明在相平面上其軌跡為一圍繞點(diǎn)的封閉曲線。設(shè)系統(tǒng)臨界失穩(wěn)，則故障切除時(shí)，系統(tǒng)()到達(dá)臨界軌跡，并沿臨界軌跡運(yùn)動(dòng)而失穩(wěn)；當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角達(dá)時(shí)，(圖9-3中T點(diǎn))。顯然當(dāng)故障切除時(shí)系統(tǒng)相應(yīng)的()位于圖9-3陰影域內(nèi)任一點(diǎn)，系統(tǒng)均為穩(wěn)定的；若位于此域外，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。而臨界軌跡所對應(yīng)的系統(tǒng)總能量即為臨界能量()，相應(yīng)故障切除時(shí)間為臨界切除時(shí)間。在(,0)這一點(diǎn)，系統(tǒng)動(dòng)能為0()，全部轉(zhuǎn)化為勢能，該勢能與最大減速面積對應(yīng)反映了臨界能量。圖9-3相平面上V=const．曲線族以上介紹了單機(jī)無窮大系統(tǒng)的暫態(tài)能量函數(shù)的定義及臨界能量的確定，以及系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定判別準(zhǔn)則(它和等面積準(zhǔn)則完全一致)，并在相平面上作了相應(yīng)討論。擴(kuò)展等面積法(EEAC)暫態(tài)穩(wěn)定分析直接暫態(tài)穩(wěn)定分析的RUEP法和PEBS法都是在多機(jī)系統(tǒng)條件下進(jìn)行穩(wěn)定分析的，而EEAC法則在單機(jī)無窮大等值條件下進(jìn)行穩(wěn)定分析，其特點(diǎn)是速度特別快，缺點(diǎn)是在一些特殊情況下，穩(wěn)定分析的精度問題有時(shí)較突出。下面對它作概要介紹。元件模型假定，即發(fā)電機(jī)為經(jīng)典二階模型，負(fù)荷線性，網(wǎng)絡(luò)線性，忽略原動(dòng)機(jī)、調(diào)速系統(tǒng)及勵(lì)磁系統(tǒng)動(dòng)態(tài)。設(shè)系統(tǒng)導(dǎo)納陣收縮到只剩發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)，則系統(tǒng)同步坐標(biāo)下的數(shù)學(xué)模型如式(9-9)所示。即：（9-9）下面用EEAC法分析系統(tǒng)發(fā)生簡單故障，在故障切除后，系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性。EEAC法分析假定系統(tǒng)失穩(wěn)為雙機(jī)模式，設(shè)系統(tǒng)主導(dǎo)UEP或失穩(wěn)模式已知，把受擾嚴(yán)重的機(jī)群稱為S，其余機(jī)群稱為A，在同步坐標(biāo)基礎(chǔ)上定義S及A機(jī)群的等值角度及速度為及 （9-10)設(shè)S機(jī)群中各機(jī)組的轉(zhuǎn)子角間無相對擺動(dòng)，A機(jī)群類同，即（9-12)在此假定上，對全系統(tǒng)作雙機(jī)等值，并最終化為單機(jī)無窮大系統(tǒng)，用等面積準(zhǔn)則判別穩(wěn)定。顯然雙機(jī)等值時(shí)，慣量中心S和A的運(yùn)動(dòng)方程為（9-13)由式(9-12)假定，若再進(jìn)一步簡化，設(shè)，可知（9-14）同理（9-15)式中，為Y陣中元素。進(jìn)一步作單機(jī)對無窮大系統(tǒng)等值，取單機(jī)轉(zhuǎn)子角為(無窮大系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角恒為零，作參考點(diǎn))由式(9-13)可知（9-16)若定義單機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)則式(9-16)改寫為（9-17）式中將式(9-14)、式(9-15)代入表達(dá)式，并經(jīng)整理化簡，可得表達(dá)式為（9-18）式中從而系統(tǒng)的單機(jī)無窮大等值數(shù)學(xué)模型為（9-19）式中，；的定義見式(9-11)；；計(jì)算式見式(9-18)。圖9-11單機(jī)無窮大等值系統(tǒng)功角特性正常運(yùn)行時(shí)曲線；(b)第一搖擺穩(wěn)定分析示意圖根據(jù)式(9-19)，可在功角平面上作出功角曲線如圖9-11（a）所示。若設(shè)故障前系統(tǒng)的功角特性為(見圖9-11(b))，故障時(shí)為，故障后為，相應(yīng)的功角特性表達(dá)式為（9-20)各時(shí)段及可由式(9-18)及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣參數(shù)確定。可推導(dǎo)得圖9-11（b）中故障前穩(wěn)定平衡點(diǎn)為（9-21a)故障后穩(wěn)定平衡點(diǎn)為（9-21b)故障后不穩(wěn)定平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)子角為。從而圖9-11（b）中加速面積及最大減速面積分別為（9-22)式中，為故障切除時(shí)等值轉(zhuǎn)子角。則可據(jù)式(9-22)用等面積準(zhǔn)則判別第一搖擺穩(wěn)定性，并可相似地定義穩(wěn)定度 （9-23）為計(jì)算及，都需要計(jì)算故障切除時(shí)單機(jī)無窮大等值系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角，由于實(shí)際分析中已知的是故障切除時(shí)間，因此要根據(jù)單機(jī)無窮大等值轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程(9-19)計(jì)算，其中的與系統(tǒng)故障時(shí)功角特性即式(9-20)的第二式相對應(yīng)。則對于（9-24)可將區(qū)間[0，]分為若干時(shí)步，當(dāng)小時(shí)可取作一步，用高階泰勒級數(shù)法快速計(jì)算時(shí)刻對應(yīng)的。也可在多機(jī)系統(tǒng)下，用高階泰勒級數(shù)法計(jì)算對應(yīng)的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子角，再作單機(jī)無窮大等值得，則更為準(zhǔn)確。設(shè)計(jì)算步長為，而計(jì)算區(qū)間為。若記表示對時(shí)間的m階導(dǎo)數(shù)，并設(shè)時(shí)刻的已知，則的計(jì)算式由式(9-24)導(dǎo)出(為與同步速偏差)。(1)由梯形積分法則，當(dāng)≠0時(shí)(9-25a)當(dāng)=0時(shí)，，不必計(jì)算。(2)（9-25b）(3)（9-25c）當(dāng)=0時(shí)，，則，不必計(jì)算。(4)當(dāng)=0時(shí)，，則根據(jù)式(9-25)，可用四階泰勒級數(shù)近似計(jì)算如下(也可導(dǎo)出更高階泰勒級數(shù)計(jì)算)：（9-26a)當(dāng)=0時(shí)，因，故上式可簡化為（9-26b)若取=，即一時(shí)步計(jì)算到故障切除，則（9-27）對式(9-27)引入修正因子和，以便在較大時(shí)修正用四階泰勒級數(shù)計(jì)算引起的誤差，則式(9-27)可改為（9-28)式中，和為經(jīng)驗(yàn)性修正因子，通常取=0.3~0.6

，另外有=1。和引入的機(jī)理可參閱有關(guān)文獻(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生簡單故障，故障切除時(shí)間不長時(shí)，用式(9-28)計(jì)算是十分簡捷的。若要計(jì)算，則只要據(jù)式(9-22)求解使=，然后據(jù)式(9-28)求解相應(yīng)的即為，可用迭代法或插值法求解。在簡單模型及簡單故障條件下用EEAC法進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定分析的步驟如下。(1)輸入潮流計(jì)算結(jié)果，計(jì)算初始值。(2)形成系統(tǒng)故障前、故障時(shí)、故障切除后的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣，分別追加負(fù)荷阻抗及發(fā)電機(jī)支路并收縮到發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)。(3)據(jù)擾動(dòng)計(jì)算時(shí)各臺機(jī)的加速功率和慣性時(shí)間常數(shù)之比，據(jù)此排隊(duì)，決定可能的失穩(wěn)模式。(4)對每一種可能的失穩(wěn)模式作如下計(jì)算：(a)據(jù)式(9-18)及式(9-19)分別計(jì)算式(9-20)中的參數(shù)；(b)據(jù)式(9-21)計(jì)算故障前穩(wěn)定平衡點(diǎn)及故障后穩(wěn)定平衡點(diǎn)和故障后不穩(wěn)定平衡點(diǎn)()；(c)據(jù)式(9-25)和式(9-26)用多步泰勒級數(shù)計(jì)算或據(jù)式(9-25)和式(9-27)或式