人教版九年級（上）《圓》

一.選擇題（共5小題）

1.已知。。的半徑為2,A為圓內一定點，AO=l.P為圓上一動點，以AP為邊作等腰△

APG,AP=PG,ZAPG=120°,OG的最大值為（）

A.1+73B.1+25/3C.2+V3D.25/3-1

2.如圖，00中，弦48J_C￡>,垂足為E,尸為血的中點，連接4F、BF、AC,AF交CD

于用，過尸作F”_LAC,垂足為G,以下結論：①靜=命；@HC=BF：③MF=FC：

@DF+AH=BF+AF,其中成立的個數(shù)是（）

C

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，直線>=1+1與x軸、），軸分別相交于A、B兩點,P是該直線上的任一點，過

2

點。（3,0）向以尸為圓心，工48為半徑的。尸作兩條切線，切點分別為E、F,則四

B.V5C.275

A.D.

4.如圖，AB,BC是。。的弦，NB=60°,點。在N8內，點。為ACh的動點，點”，

N,P分別是AQ,DC,CB的中點.若。0的半徑為2,則PN+MN的長度的最大值是（）

1+2正C.2+273D.2+V3

5.如圖，A8是。。的直徑，AB=\O,P是半徑0A上的一動點，PCLAB交0。于點C,

在半徑0B上取點。，使得OQ=CP,OQ_LAB交。。于點。，點C,。位于AB兩側,

連接CD交A8于點F,點P從點A出發(fā)沿A。向終點0運動，在整個運動過程中，△

CFP與△OF。的面積和的變化情況是（)

A.一直減小B.一直不變

C.先變大后變小D.先變小后變大

填空題（共9小題）

6.如圖，等邊△ABC中，AB=2,點。是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD,

取CQ的中點E,連接BE,則線段BE的最大值與最小值之和為.

7.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半徑0A上，過點C做CCAB交半圓。于點O.以

CD,CA為邊分別向左、下作正方形CDEF,CAGH.過點B作GH的垂線與GH的延長

線交于點/,M為的中點.記正方形CDEF,CAGH,四邊形BC4/的面積分別為Si,

S2,S3.

Si

（1）若ACBC=2：3,則_L的值為；

S2

（2）若。，O,M在同條直線上，則二s一+s的值為

S3

8.如圖，直線），=-x+機（相＞0）與x軸、y軸分別交于點A,B,C是AB的中點，點。

在直線y=-2上，以CC為直徑的圓與直線A8的另一交點為E,交y軸于點F,G,已

知CE+DE=6垃,FG=2后,則CD的長是.

9.如圖，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,AC=10,BC=8,點D是BC上一點,BC=3CD,

點P是線段4c上一個動點，以為直徑作O。，點何為由的中點，連接AM,則AM

的最小值為

10.如圖，半徑為5的。。與y軸相交于4點，B為G）O在x軸上方的一個動點（不與點A

重合），C為y軸上一點且NOCB=60°,/為△BC。的內心，則△4。的外接圓的半徑

的取值（或取值范圍）為.

11.如圖，A8是半圓0的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,。是前上的一個動點,

連接AQ.過點C作CELA。于E,連接BE,則BE的最小值是

12.如圖，已知等邊aABC內接于。。，點P為AB上任意一點(點P不與點A、點8重合),

連結尸8、P0,取BC的中點O,取0尸的中點E,連結OE,若NOED=a,則/PBC的

度數(shù)為.(用含a的代數(shù)式表示)

13.如圖，已知A(6,0),B(4,3)為平面直角坐標系內兩點，以點8圓心的經(jīng)過原

點。，BCLx軸于點C,點。為。B上一動點，E為A。的中點，則線段CE長度的最大

值為_______

14.如圖，矩形4BCD中，4B=4,AO=8,點E,尸分別在邊40,BC上，且點B,尸關

于過點E的直線對稱，如果EF與以CQ為直徑的圓恰好相切，那么AE=

AED

三.解答題(共36小題)

15.如圖，。0為AABC的外接圓，。為0C與A8的交點，E為線段0C延長線上一點,

且NE4C=ZABC.

(1)求證：直線AE是。0的切線.

(2)若。為A3的中點，CD=6,AB=\6

①求0。的半徑；

②求△A8C的內心到點0的距離.

F.

16.如圖，半圓。的直徑AB=20,將半圓。繞點B順針旋轉45°得到半圓。'，與AB交

于點P.

(1)求AP的長；

(2)求圖中陰影部分的面積(結果保留TT).

(X

V

17.如圖，在△ABC中，AB=AC,以A3為直徑的。0交3C于點。，過點。作EFLAC

于點E,交AB的延長線于點F.

(1)判斷直線DE與。。的位置關系，并說明理由;

(2)如果AB=5,BC=6,求。E的長.

18.如圖，已知直線必交。。于A、B兩點,AE是。。的直徑，點C為。。上一點，且

AC平分NB4E,過C作CD_LB4,垂足為D

(1)求證：CD為OO的切線；

(2)若C￡)=2A。，。0的直徑為20,求線段AC、AB的長.

19.如圖，已知圓。的圓心為。，半徑為3,點M為圓。內的一個定點，OM=遙,AB.

C。是圓。的兩條相互垂直的弦，垂足為M.

(1)當4B=4時，求四邊形4。8c的面積；

(2)當43變化時，求四邊形A。8c的面積的最大值.

20.如圖(1),ZABC=90°,。為射線3c上一點，。8=4,以點。為圓心，2a長為半

徑作O。交BC于點。、E.

(1)當射線BA繞點8按順時針方向旋轉多少度時與。0相切？請說明理由.

(2)若射線54繞點8按順時針方向旋轉60°時與。。相交于M、N兩點，如圖(2),

求諭的長.

21.如圖，OOi與002相交于點A和3,經(jīng)過4作直線與001相交于D與。。2相交于C,

設弧8c的中點為M,弧3。的中點為N,線段8的中點為K.求證：MKLKN.

22.ZsABC的內切圓分別切8C、C4、A8于點。、E、F,過點尸作BC的平行線分別交直

線D4、DE于點H、G.求證：FH=HG.

23.以0為圓心，I為半徑的圓內有一定點A,過A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS

的最大值和最小值.

24.如圖，已知銳角的外心為0,線段0A和8c的中點分別為點M,N.若NABC

=4N0MN,NACB=6N0MN.求/0MN的大小.

25.設點0(0,0)、點A(2,0),分別以0、4為圓心，半徑為2八r作圓，兩圓在第一

象限的交點為P.

(1)當r=1時，求點P的坐標；

(2)當2<=<2時，能否找到一定點Q，使尸。為定值？若能找到，請求出Q點的坐

3

標及定值；若不能找到，請說明理由.

26.如圖，已知以Rtz^ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓O。，NB的平分線BE交4C

于。，交。。于E,過E作EF〃AC交BA的延長線于F.

(1)求證：EF是切線；

(2)若48=15,EF=\0,求AE的長.

B在直線/上，且滿足AFi-AF2=BFI-8放=2”，M,N分別為△AF1F2,△8FIF2的內

切圓的圓心.

(1)設0M與Fi尸2相切于點Pi,0N與F1F2切于點尸2,試判斷P1與P2的位置關系，

并加以證明；

28.如圖，以Rt^ABC的直角邊45為直徑的。0交斜邊AC于點。，過點。作。。的切線

與BC交于點E,弦。M與AB垂直，垂足為4.

(1)求證：E為BC的中點；

(2)若的面積為12n,兩個三角形△4"。和的外接圓面積之比為3,求4

DEC的內切圓面積Si和四邊形OBED的外接圓面積S2的比.

29.如圖，在。A8C。中，過4,B,C三點的交4。于E,且與C。相切.

(1)求證：AC=BC；

(2)若AB=4,BE=6,求00的半徑長.

30.如圖，AB是。。的直徑，BC交。。于點￡>,E是弧8。的中點，AE與BC交于點尸,

NC=2NEAB.

(1)求證：AC是的切線：

31.如圖，在△A8C中，ZC=90°,以BC為直徑的。。交AB于點O,。。的切線。E

交AC于點E.

(1)求證：E是AC中點；

(2)若AB=10,BC=6,連接CD,OE,交點為F,求OF的長.

32.如圖，點。為RtZXABC斜邊AB上的一點，以。4為半徑的。。與BC切于點D,與

AC交于點E,連接AO.

(1)求證：AO平分/84C；

(2)若NBAC=60°,04=2,求陰影部分的面積(結果保留IT).

33.如圖，AC是。。的直徑，BC是。。的弦，點P是。。外一點，連接力，PB,AB,已

知NP8A=/C.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)連接0P,若0P〃BC,且OP=8,。。的半徑為2五,求BC的長.

34.如圖，A8是。。的直徑，點C在A8的延長線上，CZ)與。0相切于點。，CE1AD,

交A。的延長線于點E.

(1)求證：NBDC=NA；

(2)若CE=2百，DE=2,求A。的長.

(3)在(2)的條件下，求弧8。的長.

35.己知△ABC內接于。0,過點A作直線EF.

(1)如圖①，AB是直徑，要使E尸是。。的切線，還須添加一個條件是(只需寫出三

種情況).

(I)(II)(III)

(2)如圖(2),若AB為非直徑的弦，ZCAE^ZB,則EF是。0的切線嗎？為什么？

36.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作半圓。0,交BC于點。，連接AD過

點。作垂足為點E.

(1)求證：DE是00的切線；

心。恰好落在AB上，00分別與43、AC相交于點E、F.

(1)判斷直線BC與。。的位置關系并證明；

(2)若。。的半徑為2,AC=3,求8。的長度.

38.已知：如圖1,在。。中，直徑AB=4,CD=2,直線A。，BC相交于點E.

(1)/E的度數(shù)為；

(2)如圖2,AB與CO交于點尸，請補全圖形并求NE的度數(shù)；

(3)如圖3,弦AB與弦CO不相交，求NAEC的度數(shù).

E

DD

C

⑴(2)(3)

39.如圖，。是△ABC的外心，/是△ABC的內心，連A/并延長交BC和。0于。、E兩點.

(1)求證：EB-EI-,

(2)若AB=4,AC=3,BE=2,求A/的長.

40.如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑作00,分別交AC、BC于點、D、E,點F

在AC的延長線上，且NA=2NCB￡

(1)求證：8F與相切.

(2)若BC=CF=4,求8尸的長度.

41.如圖，以AABC的邊AB為直徑的。。交AC的中點D,DE與。。相切，且交BC于E.若

。。的直徑為5,AC=8.求DE的長.

B

~/DC

42.在00中，A8是00直徑，AC是弦，ZBAC=50°.

(I)如圖(1),。是AB上一點，AD=AC,延長CD交。。于點E,求NCE0的大小；

(II)如圖(2),。是AC延長線上一點，AD=AB,連接8。交。。于點E,求NCE0

43.如圖，在。。中，A8為直徑，AC為弦.過BC延長線上一點G,作GO_LA。于點。,

交AC于點E,交。。于點F,M是GE的中點，連接CF,CM.

(1)判斷CM與。0的位置關系，并說明理由；

(2)若/ECF=2/A,CM=6,CF=4,求MF的長.

44.如圖，。0的直徑A8的長為2,點C在圓周上，NC4B=30°,點。是圓上一動點,

DE〃AB交CA的延長線于點E,連接CQ,交AB于點、F.

圖1圖2

(I)如圖1,當NAC￡>=45°時，請你判斷OE與O。的位置關系并加以證明;

(II)如圖2,當點F是C。的中點時，求△CDE的面積.

45.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于點。，交BC于點、E,延長

AE至點F,使連接FB,FC.

(1)求證：四邊形ABFC是菱形；

(2)若AO=7,BE=2,求半圓和菱形A8FC的面積.

46.如圖，已知A8是。。的直徑，C,。是。。上的點，OC//BD,交于點E,連結

BC.

(1)求證：AE=ED；

(2)若A8=10,ZCBD=36°,求眾的長.

47.已知48是。0的直徑，A8=2,點C,點。在。。上,CD=\,直線A￡),BC交于點

E.

(I)如圖1,若點E在。。外，求NAEB的度數(shù).

(II)如圖2,若點E在。。內，求/AE8的度數(shù).

二會

圖1圖2

48.如圖，己知。0是等邊三角形ABC的外接圓，點。在圓上,在CD的延長線上有一點

F,DF=DA,BC交CF于E.

(1)求證：EA是。。的切線；

(2)求證：BD=CF.

49.如圖，AB是。。的直徑，弦CD垂直平分04,垂足為點〃，連接并延長C0交?0于

點、E,分別連接OE,BE,DB,其中/E￡)B=30°,/CQE的平分線DV交CE于點G,

交。。于點M延長CE至點凡使尸G=F￡).

(1)求證：。尸是OO的切線；

(2)若。。半徑r為8,求線段OB,BE與劣弧OE所圍成的陰影部分的面積.

50.如圖，AH是圓。的直徑，AE平分/以凡交。。于點E,過點E的直線FGLAF,垂

足為凡8為直徑。〃上一點，點E、尸分別在矩形ABCD的邊BC和C。上.

(1)求證：直線FG是。。的切線；

(2)若AZ)=8,EB=5,求。。的直徑.

參考答案與試題解析

選擇題（共5小題）

1.己知。。的半徑為2,A為圓內一定點，AO=1.P為圓上一動點，以4尸為邊作等腰△

APG,AP=PG,NAPG=120°,0G的最大值為（）

A.1+V3B.1+2aC.2+73D.2a-1

【解答】解：如圖，將線段0A繞點。順時針旋轉120°得到線段0T,連接AT,GT,

OP.則40=07=1,AT=y/3,

?：/\AOT,△4PG都是頂角為120°的等腰三角形,

.../O4T=/B4G=30°,

：.ZOAP=ZTAG,她=耿=返

ATAG3

?OA=AT

APAG"

.,.△OAPs△窗G,

...空=熟=遮，-;op=2,

TGTA3

：.TG=2^

'：OG^OT+GT,

；.OGW1+2次，

，OG的最大值為1+2次，

故選：B.

2.如圖，。。中，弦ABLCO,垂足為E,尸為CBD的中點，連接AF、BF、AC,AF交CD

于M,過F作尸“LAC,垂足為G,以下結論：?CF=DF;②HC=BF：@MF=FC：

?DF+AH=BF+AF）其中成立的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：???尸為施的中點，

?*.CF=DF.故①正確，

：.ZFCM^ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZGCM,ZAME=ZFMC=ZACM+ZFAC,

：.NAME=/FMC=ZFCG>NFCM,

：.FC>FM,故③錯誤，

'：ABVCD,FHA.AC,

：.ZAEM=ZCGF=90°,

：.ZCFH+ZFCG=90°,/BAF+NAME=90°,

:.NCFH=NBAF,

.??CH=BF>

：.HC=BF,故②正確，

VZAGF=90°,

：.ZCAF+ZAFH=9Q°,

，同的度數(shù)+/的度數(shù)=180°,

,方的度數(shù)+靠的度數(shù)=180°,

???福諦=贏命=徐第:=亦+前，故④正確，

故選：C.

3.如圖，直線>=工+1與x軸、)，軸分別相交于A、B兩點,尸是該直線上的任一點，過

2

點0(3,0)向以P為圓心，LB為半徑的。尸作兩條切線，切點分別為E、F,則四

2

A.B.遙C.275D.

【解答】解：如圖，連接OP,

:直線y=L+l與x軸、y軸分別相交于A、8兩點，

2

當x=0時，y=l,當y=0時，x=-2,

?"(-2,0),B(0,1),

AAB=V22+12=V5,

:過點。(3,0)向以P為圓心，LB為半徑的。尸作兩條切線，切點分別為E、F,

2

：.DE=DF,PELDE,

"：PE=PF,PD=PD,

:APED空/\PFD(555),

；O尸的半徑為返,

2

當。P_LAP時，OP最小，此時。P=A￡>?sin/BAO=5X

四邊形PEDF面積=2s&PED=2X1.PEXDE=也DE,

_22_

四邊形PEDF面積的最小值為返xJa[7)2_(V5_}2=^3_.

故選：A.

4.如圖，AB,BC是。。的弦，NB=60°,點。在內，點。為怠h的動點，點

N,P分別是AD,DC,CB的中點.若。。的半徑為2,則PN+MN的長度的最大值是（）

B.1+2加C.2+2愿D.2+V3

【解答】解：連接。C、04、8Q,作0”，AC于H.

'：ZA0C=2ZABC=120",

\"0A=0C,0H±AC,

.?.NCOH=/AOH=60°,CH=AH,

：.CH=AH=OC'sin600=?,

；.AC=2我，

,:CN=DN,DM=AM,

.\M7V=-k4C=V3>

"：CP=PB,AN=DN,

：.PN=ljiD,

2

當20是直徑時，PN的值最大，最大值為2,

：.PM+MN的最大值為2+73.

故選：D.

5.如圖，AB是O。的直徑，AB=\Q,P是半徑OA上的一動點，PCJ_AB交。。于點C,

在半徑0B上取點。，使得OQ=CP,OQ_LA8交。。于點。，點C,。位于A3兩側,

連接8交A8于點尸，點P從點A出發(fā)沿A0向終點0運動，在整個運動過程中，△

CFP與△OFQ的面積和的變化情況是（）

B.一直不變

C.先變大后變小D.先變小后變大

OF=a,

y--Cx+a)x=xy+^a(y

22

'CPC//DQ,

?PC=PF(

**DQ而’

???x-_y-a'9

ya+x

'.a=y-x,

22

.".Sm—xy+—Cy-x)(y-x)——(x+y)—2^L

222

故選:B.

二.填空題（共9小題）

6.如圖，等邊△ABC中，4B=2,點。是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD,

取CD的中點E,連接BE,則線段BE的最大值與最小值之和為_2、行

【解答】解：延長CB到T,使得BT=BC,連接AT,DT,AD.

：△ABC是等邊三角形，

：.BA=BC=AC=BT=2,ZACB=60°,

，NCAT=90°,

.?.AT=C7?sin60。=2我，

'：AD=\,

A2A/3-1WDTW2的I,

,:CB=BT,CE=DE,

.\BE=1.DT,

2

...2、厄T_w8慶?m+1.

22

線段BE的最大值與最小值之和為2次，

故答案為2，§.

7.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半徑0A上，過點C做CD_LAB交半圓。于點C.以

CD,CA為邊分別向左、下作正方形C￡)E凡CAGH.過點8作GH的垂線與GH的延長

線交于點/，M為H/的中點.記正方形COEF,CAGH,四邊形的面積分別為Si,

S2,S3.

(1)若AC：BC=2：3,則紅的值為旦；

S2-2一

(2)若力，O,M在同條直線上，則紅*2的值為殳金.

-

S32-

【解答】解：（1）如圖，利用AD,BD.

?：AB是直徑，

.?.NA￡>B=90°,

VDC1AB,

：.ZACD=ZDCB=90c，,

AZADC+ZCAD=90°,NADC+/BDC=90°,

NBDC=ZDAC,

：.△AC￡>s/\ocB,

CD：CB=AC：CD,

'：AC-CB=2：3,

可以假設AC=2k,BC=3k,

二CD2=6底

.S1-CD26k2^3

s2AC24k22

故答案為3.

2

(2)當D0.M共線時，設C￡)=〃，AC=h,

?：CD2=AC'BC,

2

.?.BC=A-,

b

22,,22_卜22

：.AB=b+^—=a,CO=OA-AC^a-,HM=MI=±1HL-±1CB=

bb2b222b

,CCO//HM,

?,DC=OC,

'*DH西r

?a-2b

??―r\?

a+b「

2b

整理得：M[(k)2+k-i]=o

aaa

?也wo,

a

.?也=我-1或-F-l(舍棄)，

a22

..S1+S2^a^=1+也)2,

$3b,彳a

b

?S[+$2=5-反

?—^■一丁

故答案為皂區(qū).

2

8.如圖，直線y=-x+m（相＞0）與x軸、y軸分別交于點A,B,C是A8的中點，點。

在直線y=-2上，以CC為直徑的圓與直線AB的另一交點為E,交y軸于點尸，G,已

知CE+DE=6近,FG=2依，則CD的長是3\樂.

【解答】解：如圖，設CQ的中點為。'，延長BA交直線y=-2于M,直線y=-2交

y軸于P,作CH_LOB于H,連接O'F,作A/_LDW于J,O'N1FG于N.

?.?CD是。。'的直徑，

：.ZCED=90°,

?.?直線y=-x+〃z(機＞0)與x軸、y軸分別交于點A,B,

???A(m,0),B(0,m),

：?OA=OB,

：.ZOAB=45°,

?：DM,

：.ZEMD=ZOAB=45°,

VZDEA/=90°,

；?ED=EM,

：.EC+ED=EC+EM=CM=6&,

"：JALDM,

：.ZAJM=W°,

：.AJ=JM=2,AM=2&,

.?.BC=CA=4五,

(8,0).B(0,8),C(4,4),設。(〃3-2),貝ljO'N=L(m+4),O'F=1JCD

22

=7V(m-4)2+62,

"：O'NLFG,

.,.尸N=依，

222

在RtZXO'FN中，(泥)+A(/77+4)2=工[(m-4)+6],

44

解得m=\,

???8=Y(卜4)2+62=34

故答案為3-y5-

9.如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=10,BC=8,點。是BC上一點，BC=3CD,

點尸是線段AC上一個動點，以為直徑作。。，點M為防的中點，連接AM,則AM

的最小值為

B

【解答】解：如圖，連接。M,CM,過點A作ATLCM交CM的延長線于T.

B

??,PM=DN-

J.0MLPD,

：.ZMOD=90°,

；.NMCD=L/MOD=45°,

2

VZACB=90°,

，N4CT=45°,

'：AT±CT,

：.ZATC=90a,

：AC=10,

；.AT=AC?sin45°=5&,

,JAM^AT,

：.AM的最小值為5&,

故答案為572.

10.如圖，半徑為5的OO與>軸相交于A點，8為。。在X軸上方的一個動點（不與點A

重合），C為y軸上一點且/OC8=60°,/為△8CO的內心，則△A/O的外接圓的半徑

的取值（或取值范圍）為—殳反」.

：.ZCBO+ZCOB=\20°,

■:1是內心,

：.ZIOB^^ZCOB,NIBO=、NCBO,

22

：.NIOB+NIBO=L(NCOB+CBO)=60°,

2

.,.ZO/B=180°-ZIOB-Z/BO=120°,

"：OA=OB,ZAOI=ZBOI,01=01,

：./\AIO^/\BOI(SAS),

.,.NA/O=/B/O=120°,

作△A。/的外接圓OG,連接4G,OG,作GDJ_OA于￡>.

；NA/O=120°=定值，0A=5=定值，

；?點G的運動軌跡是0,

.?.△40/的外接圓的半徑是定值，

"：GA=GO,GDLOA,NAGO=120°,

AZAGD=^ZAGO=120°,AD=OD=^-,

22

5__

：.AG=―—

sin60°±3_3

2

故答案為_§返.

3

11.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,。是窗L的一個動點,

連接AD過點C作CELAO于E,連接8E,則BE的最小值是代-2.

AZA￡C=90°,

在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動,

'：AB是直徑，

AZACB=90°,

在RtZ\ABC中，：AC=4,AB=5,

'BC=VAB2-AC2=V52-42=3,

在RtZ\BC?！?，BO1=ylBC2+C0'5=Y22+32=Y13,

"：O'E+BE^O'B,

.?.當O'、E、B共線時，8E的值最小，最小值為O'B-O'E=Ji§-2,

故答案為：A/13■2.

12.如圖，已知等邊AABC內接于。。，點尸為窟上任意一點（點尸不與點4、點8重合）,

連結尸以P0,取BC的中點。，取0P的中點E,連結QE,若NOED=a,則NP3C的

度數(shù)為60°+a.（用含a的代數(shù)式表示）

【解答】解：如圖：連接OZ）、OB,

?.?等邊△ABC內接于。。，

AOD1BC,0。=工08,NOBO=30°.

2

點是。尸的中點，

OEIJOP,

2

?：OB=OP,

：.OD=OE,

：.ZOED=ZODE=a,

.*.Z￡OD=180°-2a.

因為四邊形OOEB內角和為360°,

AZBED=360°-90°-60°-(180-2a)-a=30°+a,

Z￡05=180°-30°-(30+2a)=120-2a.

?：OB=OP,

.?.NP=NO2P=L(180°-ZPOB)=▲(180-120+2a)=30°+a.

22

/P5c=/O8P+/O8C=30°+a+30°=60°+a.

故答案為60°+a.

13.如圖，已知A(6,0),B(4,3)為平面直角坐標系內兩點，以點8圓心的經(jīng)過原

點O,軸于點C,點。為上一動點，E為AD的中點，則線段CE長度的最大

值為_5旬!^_.

【解答】解：如圖，作點A關于點C的對稱點4',連接B4',BD,DA'.

22=5

由題意AC=。'=2,BC=3,BD=OB=^2+4：'

BA=J32+22=y/~13,

'：AC=CA',DE=EA,

:.EC=XDA',

2

'：DA'WBO+BA',

：.DA'W5+V7§,

'.DA'的最大值為5+我,

，EC的最大值為史運，

2

故答案為包Y亙

2

14.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=8,點E,尸分別在邊A。，BC上，且點8,尸關

于過點E的直線對稱，如果E尸與以C。為直徑的圓恰好相切，那么AE=6-a.

【解答】解：如圖，設。。與EF相切于M,連接E8,作EH_LBC于H.

由題意易知四邊形AE/7B是矩形，設AE=B"=x,

由切線長定理可知，ED=EM,FC=FM,

F關于EH對稱,

:.HF=BH=x,￡D=EM=8-x,FC=FM=8-2x,EF=\6~3x,

在RtAEF/Z中,EF2=EH2+HF2,

/.42+X2=(16-3x)2,

解得x=6-&或6+依(舍棄)，

.".AE=6-

故答案為：6-

三.解答題(共36小題)

15.如圖，。。為△ABC的外接圓，。為0C與AB的交點，E為線段0C延長線上一點,

且NE4c=/4BC.

(1)求證：直線AE是。。的切線.

(2)若。為AB的中點，CD=6,AB=\6

①求。。的半徑；

②求△A8C的內心到點0的距離.

【解答】解：（1）證明：連接A。，并延長A0交于點凡連接CF

是直徑

ZACF=90°

.??ZF+ZMC=90°,

VZF=AABC,ZABC=ZEAC

：.ZEAC=ZF

.?.NEAC+N欣C=90°

.?.NEA尸=90°,且40是半徑

直線AE是OO的切線.

(2)①如圖，連接AO,

:。為AB的中點，0。過圓心,

J.0D1AB,AO=BO=LB=8,

2

'：AO2^AD1+DO2,

：.AO2=32+(AO-6)2,

3

二。。的半徑為空；

3

②如圖，作NCAB的平分線交C。于點H,連接BH,過點“作“M_LAC,HN1.BC,

'：OD±AB,AD=BD

：.AC=BC,且AO=B￡>

平分乙4CB,且AH平分/CAB

.?.點〃是△A8C的內心，且HM_LAC,HNLBC,HDLAB

：.MH=NH=DH

在RtAACD中，AC=J知％口2=482+/2=10=BC,

丁SAABC=SMCH+SAABH+SMCH,

A-lx16X6=AX10XMH+AX16XD//+AX10義NH,

2222

:.DH=%,

3

:0H=CO-CH=CO-(CD-DH),

：.OH=2L-(6-A)=5.

33

16.如圖，半圓O的直徑AB=20,將半圓。繞點8順針旋轉45°得到半圓O',與A8交

于點P.

(1)求AP的長；

(2)求圖中陰影部分的面積(結果保留TT).

A'

【解答】解：（1）AOBA'=45°,O'P=0'B,

...△O'PB是等腰直角三角形，

：.PB=y[2PO,

：.AP=AB-8P=20-10&；

(2)陰影部分面積為：

S陰影=S扇形。4p+SwPB=』XTTX100+10X10XA=25TT+50.

42

17.如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的。。交BC于點。，過點。作EFLAC

于點E,交A3的延長線于點F.

(1)判斷直線OE與。0的位置關系，并說明理由；

(2)如果A8=5,BC=6,求QE的長.

【解答】解：(1)相切，理由如下:

連接AD,OD,

為。。的直徑，

AZADB=90°.

J.ADLBC.

???A8=AC,

：.CD=BD=lj3C.

2

?：OA=OBt

J.OD//AC.

：?/ODE=/CED.

VDEIAC,

:?NODE=/CED=90°.

???OD±DE.

???OE與。。相切.

⑵由⑴知NAOC=90°，

???在RtZ\AZ)C中，由勾股定理得

AD=^AC2-(-|BC)2=^52-(-1X6)2=4-

'：SACD=^AD'CD^1AC-DE,

22

.".AX4X3=AX5DE.

22

：.DE=^-.

5

18.如圖，已知直線公交(DO于A、8兩點，AE是。。的直徑，點C為。。上一點，且

AC平分/物E,過C作CD_L%,垂足為D

(1)求證：C。為。0的切線；

(2)若CD=2A。，。。的直徑為20,求線段AC、A8的長.

【解答】證明：(1)連接。。.

??,點C在。0上，04=0。，

：.ZOCA=ZOAC,

VCD1B4,

：.ZCDA=90°,

：.ZCAD+ZDCA=90°,

TA。平分NB4E,

：.ZDAC=ZCAOf

：.ZDCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZDAC=90°,

???CQ是。。切線.

(2)作。/于尸，

AZOCD=ZCDF=ZOFD=90°,

???四邊形CDFO是矩形，

：.OC=FD,OF=CD,

t：CD=2AD,設A￡>=x,則OF=C￡)=2x,

*：DF=OC=\09

：.AF=10-xf

在RtZsAO/中，A尸+O產(chǎn)=。42,

???(10-x)2+(2x)2=d,

解得x=4或0(舍棄)，

：.AD=4,AF=6,AC=4旄，

OFLAB,

：.AB=2AF=U,

19.如圖，已知圓。的圓心為。，半徑為3,點M為圓。內的一個定點，0M=遙,AB、

CD是圓。的兩條相互垂直的弦，垂足為M.

(1)當AB=4時，求四邊形AQBC的面積；

(2)當42變化時，求四邊形AOBC的面積的最大值.

B

【解答】解：(1)作。E_LCD于E,。尸_LAB于凡連接。8,0C,

那么AB=g_Q4,

OF—^5，

又OE^+OF1=OM2=5,

：.OE=0,

：.CD=6,

'.S|jqa?ADBC—XABXCD=12;

2

(2)設OE=x,OF=y,則/+丁=5,

,；AB=2也_乂2,CD=2ylq_y2,

2242

S四邊彩ADBC=ABxCD=2正/x79-y=V-X+5X+36=

2『百2普,

.?.當?=昌寸，四邊形AQBC的最大面積是13.

20.如圖(1),NABC=90°,O為射線BC上一點，。8=4,以點。為圓心，2d張為半

徑作00交8c于點。、E.

(1)當射線84繞點8按順時針方向旋轉多少度時與相切？請說明理由.

(2)若射線BA繞點B按順時針方向旋轉60°時與。。相交于M、N兩點，如圖(2),

求諭的長.

【解答】解：(1)當射線BA繞點8按順時針方向旋轉45°或135°時與。。相切.

理由如下：如圖，設切點為F,連OF.則0F_L8F,

在RtZXOB尸中，OF=2&,08=4,

，cosNOM=W=&_,

0B2

；.NOBF=NBOF=45°,

AZAB45°,

同理：當/AB尸=135°時，A8旋轉的此時8尸的反向延長線上，

工當射線84繞點B按順時針方向旋轉45°或135°時與。。相切.

(2)過點O作OH_LA8于點H,

?.?射線BA繞點B按順時針方向旋轉60°時與。。相交于M、N兩點,

：.N4BC=30°,

，04==Lx4=2,

22

在RtAOM“中，0M=2&,

.?.cosNMO"=PIl=返，

0M2

：.ZMOH=45a,

:"NMON=90°,

二諭的長為：9?！柏