專題13.7與軸對稱圖形有關的最值問題【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1垂線段最短】 1【題型2兩點之間線段最短】 2【題型3平行線之間的距離】 4【題型4兩動一定】 6【題型5兩定一動(將軍飲馬)】 7【題型6兩定兩動型】 9【題型7兩定一動(三點共線)】 10【題型8兩動+定長】 11知識點1：垂線段最短【模型分析】如圖，點P在直線l外，過點P作l的垂線PH，則點P到直線l的距離為PH，即“垂線段最短”．【溫馨提示】解決最值問題常遵循：一找、二證、三計算．【方法解讀】若所求線段不能直接利用“垂線段最短求最值”，需將其轉化到定點和動點之間的線段，可借助矩形的對角線相等或全等三角形的性質．【題型1垂線段最短】【例1】（23-24八年級·江蘇鹽城·期末）如圖，線段BC=10，A是線段BC外一點，連接AB、AC，D、E分別是AB、AC的中點，連接BE、CD交于點F．當四邊形ADFE的面積為10時，線段AB的最小值為．【變式1-1】（23-24八年級·湖南婁底·階段練習）如圖，OD平分∠AOB，DE⊥AO于點E，F(xiàn)是射線OB上的任一點，DE=4.2，則DF的長度不可能是（

）A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8【變式1-2】（23-24八年級·吉林·期中）如圖，AB是一條河流，要鋪設管道將河水引到兩個用水點C和D，現(xiàn)有兩種鋪設管道的方案，若鋪設管道單位長度的造價均相同，則下列說法正確的是（

）方案一：分別過C，D作AB的垂線，垂足為E，F(xiàn)，沿CE，DF鋪設管道；方案二：連接CD交AB于點P，沿PC，PD鋪設管道．A．方案一與方案二一樣省錢，因為管道長度一樣B．方案二比方案一省錢，因為兩點之間，線段最短C．方案一比方案二省錢，因為垂線段最短D．方案一與方案二無法比較【變式1-3】（23-24八年級·江西南昌·期末）如圖，鈍角△ABC的面積為12，最長邊AB=8，BD平分∠ABC，點M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是【題型2兩點之間線段最短】【例2】（23-24八年級·湖南郴州·期末）利用軸對稱的性質解決路程之和最短的問題，如圖所示，河岸的同側有A、B兩個村莊，兩村委會決定在小河邊建一座自來水加工廠向兩村莊輸送自來水，為了節(jié)約開支，加工廠建在何處所需鋪設的管道最短？為什么？【變式2-1】（23-24八年級·廣東佛山·期末）如圖所示，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資建一個蓄水池，不考慮其他因素，請畫圖確定蓄水池H點位置，使它與四個村莊的距離之和最?。咀兪?-2】（23-24八年級·陜西西安·期中）（1）如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為?1,0,3,0，現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A,B的對應點C,D，連接AC，BD,CD，直接寫出點C的坐標______，D的坐標______及四邊形（2）如圖2，A，B兩單位分別位于一條封閉街道的兩旁（直線l1,l2是街道兩邊沿），現(xiàn)準備修建一座過街人行天橋．天橋應建在何處才能使由A經過天橋走到【變式2-3】（23-24六年級下·山東煙臺·期中）如圖，在同一平面內，點D、E是三角形ABC外的兩點，請按要求完成下列問題．(1)請你判斷線段BC+AC與AB的大小關系是；理由是；(2)①按要求將圖形補充完整：連接線段BE，畫射線ED、直線CD；②若在四邊形BCDE的邊BC、CD、DE、EB上任取一點，分別為點K、L、M、N，并順次連接它們，則四邊形KLMN的周長四邊形BCDE的周長．（大于、小于或等于）(3)在四邊形BCDE內找一點O，使它到四邊形BCDE四個頂點的距離之和最小．（保留作圖痕跡，找到點即可）【題型3平行線之間的距離】【例3】（23-24八年級·安徽合肥·期末）如圖，l1//l2//l3，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為l1，l2，l3上的動點，連接AB、AC、BC，AC與A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-1】（23-24八年級·北京海淀·期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD為△ABC的角平分線，過點D作直線l∥AB，點P為直線l上的一個動點，若△BCD的面積為16，BC＝8，則AP最小值為．【變式3-2】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6，△DBC面積為18，AB的垂直平分線MN分別交AB，AC于點M，N，若點P和點Q分別是線段MN和BC邊上的動點，則PB+PQ的最小值為【變式3-3】（23-24八年級·福建龍巖·階段練習）如圖，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=6，D為AB的中點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當E點在線段AC上運動時，則DE+12CE

知識點2：兩動一定【模型分析】問題：如圖，直線AB、AC相交于點A，點M是平面內一點，點P，點N分別是AC，AB上一動點，求MP＋PN的最小值．解題思路：一找：第一步：作點M關于AC的對稱點M′；第二步：過點M′作M′N⊥AB于點N，交AC于點P；二證：證明MP＋PN的最小值為M′N：三計算．【題型4兩動一定】【例4】（23-24八年級·廣東珠?！て谀┮阎螦OB=30°，在∠AOB內有一定點P，點M，N分別是OA，OB上的動點，若△PMN的周長最小值為3，則OP的長為（）A．1.5 B．3 C．33 D．【變式4-1】（23-24八年級·安徽淮北·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面積為18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的動點，則CE+EF的最小值為（）A．4 B．6 C．7 D．9【變式4-2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖所示，在等邊△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB，AC上，則線段DE+DF的最小值是（）A．BC邊上高的長 B．線段EF的長度C．BC邊的長度 D．以上都不對【變式4-3】（23-24八年級·湖南株洲·期中）如圖，在等腰△ABC中，在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP=AQ．再分別以點P，Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點R，作射線AR，交BC于點D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若點M、N分別是線段AD和線段AB上的動點，則BM+MN的最小值為（

）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6知識點3：兩定一動已知：在l上求作一點M，使得AM＋BM最?。绢}型5兩定一動(將軍飲馬)】【例5】（23-24八年級·寧夏銀川·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，點P為直線EF上任意一點，則AP+BP的最小值是．【變式5-1】（23-24八年級·廣東揭陽·期末）如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A、B、C在小正方形的頂點上．

(1)在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△AB'C'．(2)在直線l上找一點P，使PB+PC的長最短．【變式5-2】（23-24八年級·江西宜春·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點D，若AE=3，(1)求BC的長；(2)若點P是直線DE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為_________．【變式5-3】（23-24八年級·河南周口·階段練習）已知點P在∠MON內．

(1)如圖①，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點，AB⊥ON于點B，點P、Q分別為OA、AB上的兩個定點，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動點知識點4：兩定兩動已知：在平面直角坐標系中，點P（2，3），Q（3，2），請在x軸和y軸上分別找到M點和N點，使四邊形PQMN周長最?。鞒鯩點和N點．【題型6兩定兩動型】【例6】（23-24·福建莆田·中考模擬）如圖，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，AB=4，P、Q分別為CN、CM上的兩個動點，則MP+PQ+QN的最小值為______．【變式6-1】（23-24八年級·江蘇南京·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點，M是邊BC上的一個動點，N是邊CD上的一個動點，則AM＋MN＋EN的最小值是．【變式6-2】（23-24八年級·河南安陽·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC上有兩動點E和F，連接BE和BF，若AE=CF，AC?AB=4,AC?BC=2，則BE+BF的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【變式6-3】（23-24八年級·廣東江門·階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=203，D，E分別為射線BC與射線AC【題型7兩定一動(三點共線)】【例7】（23-24八年級·浙江寧波·開學考試）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延長線段BC至點D，使CD=BC，過點D作射線DP∥AB，點E為射線DP上的動點，分別過點A，D作直線EC的垂線AM，DN．當AM?DN的值最大時，∠ACE的度數(shù)為．【變式7-1】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，P是△ABC的中線AD上的動點，且AB=6，則BP?PE的最大值是．【變式7-2】（23-24八年級·湖北武漢·期末）如圖，AB=AC=4，在直線AB上方作等腰ΔBCD，∠DBC=120°，BD=BC，連接AD，當AD最大時，∠ACD=．【變式7-3】（23-24八年級·河北張家口·期末）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、M、N都在格點上．

(1)畫出△ABC關于直線MN對稱的△A(2)在直線MN上找點P使PB+PC最小，在圖形上畫出點P的位置；(3)在直線MN上找點Q使QB?QA最大，直接寫出這個最大值．【題型8兩動+定長】【例8】（23-24八年級·浙江紹興·期末）如圖，在平面直角坐標系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是線段OB上的兩個動點，且MN=2，則△AOM與△NCB【變式8-1】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，長方形ABCD中，AB=4,BC=2，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，則DE+CF的最小值為．【變式8-2】（23-24八年級·湖北恩施·階段練習）已知，如圖，線段CD長為8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF為線段CD上兩動點，F(xiàn)在E右側且EF=1，則由A到B的路徑：AE+EF+FB的最小值為．【變式8-3】（23-24八年級·江蘇南通·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，0），點B（2，0），點C，D是y軸上兩個動點（點D在點C下方）且CD=2，連接AC，BD，則AC+BD的最小值為專題13.7與軸對稱圖形有關的最值問題【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1垂線段最短】 2【題型2兩點之間線段最短】 5【題型3平行線之間的距離】 9【題型4兩動一定】 13【題型5兩定一動(將軍飲馬)】 17【題型6兩定兩動型】 23【題型7兩定一動(三點共線)】 29【題型8兩動+定長】 34知識點1：垂線段最短【模型分析】如圖，點P在直線l外，過點P作l的垂線PH，則點P到直線l的距離為PH，即“垂線段最短”．【溫馨提示】解決最值問題常遵循：一找、二證、三計算．【方法解讀】若所求線段不能直接利用“垂線段最短求最值”，需將其轉化到定點和動點之間的線段，可借助矩形的對角線相等或全等三角形的性質．【題型1垂線段最短】【例1】（23-24八年級·江蘇鹽城·期末）如圖，線段BC=10，A是線段BC外一點，連接AB、AC，D、E分別是AB、AC的中點，連接BE、CD交于點F．當四邊形ADFE的面積為10時，線段AB的最小值為．【答案】6【分析】本題考查了三角形中線等分面積，垂線段最短，關鍵是由三角形面積公式求出△ABC的面積．【詳解】解：過A作AH⊥BC于H，連接AF，延長AF交BC于M，∵D、E分別是AB、AC的中點，∴△ABE的面積=△ABC面積的一半，△BCD的面積=ABC面積的一半，∴△ABE的面積=△BCD的面積，∴△BCF的面積=四邊形ADFE的面積=10，∵D、E分別是AB、AC的中點，∴△BDF的面積=△ADF的面積，△CEF的面積=△AEF的面積．∴△BDF的面積+△CEF的面積=△ADF的面積+△AEF的面積=四邊形ADFE的面積=10，∴△ABC的面積=10×3=30，∴△ABC的面積=1∵BC=10，∴AH=6，∵AB≥AH，∴線段AB的最小值是6．故答案為：6．【變式1-1】（23-24八年級·湖南婁底·階段練習）如圖，OD平分∠AOB，DE⊥AO于點E，F(xiàn)是射線OB上的任一點，DE=4.2，則DF的長度不可能是（

）A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質，垂線段最短等，過D點作DH⊥OB于點H，根據(jù)角平分線的性質得到DH=DE=4.2，再根據(jù)垂線段最短進行判斷即可．【詳解】解：過D點作DH⊥OB于點H，如圖所示：∵OD平分∠AOB，DE⊥AO∴DH=DE=4.2，∵F是射線OB上的任一點，∴DF≥4.2，∵3.69<4.2，∴DF的長不能為3.69．故選：C．【變式1-2】（23-24八年級·吉林·期中）如圖，AB是一條河流，要鋪設管道將河水引到兩個用水點C和D，現(xiàn)有兩種鋪設管道的方案，若鋪設管道單位長度的造價均相同，則下列說法正確的是（

）方案一：分別過C，D作AB的垂線，垂足為E，F(xiàn)，沿CE，DF鋪設管道；方案二：連接CD交AB于點P，沿PC，PD鋪設管道．A．方案一與方案二一樣省錢，因為管道長度一樣B．方案二比方案一省錢，因為兩點之間，線段最短C．方案一比方案二省錢，因為垂線段最短D．方案一與方案二無法比較【答案】C【分析】本題考查垂線段的性質，即垂線段最短．根據(jù)垂線段最短可得CE<CP，DF<DP，進而得出結論．解題的關鍵是掌握：垂線段最短指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．【詳解】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE<CP，DF<DP，∴CE+DF<CP+DP，∴按照方案一鋪設管道的長度比按照方案二鋪設管道的長度更短，∵鋪設管道單位長度的造價均相同，∴方案一比方案二省錢．故選：C．【變式1-3】（23-24八年級·江西南昌·期末）如圖，鈍角△ABC的面積為12，最長邊AB=8，BD平分∠ABC，點M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是【答案】3【分析】本題考查了軸對稱—最短路線問題，關鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，則當點C，M，N三點重合時，CM+MN取得最小值，最小值為CE的長．再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即可．【詳解】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，CE⊥AB，MN⊥BC，∴MN=ME，∴CM+MN=CM+ME≥CE，即當點C，M，N三點重合時，CM+MN取得最小值，最小值為CE的長．∵△ABC的面積為12，最長邊AB=8，∴12CE×AB=12，即∴CE=3即CM+MN的最小值為3．故答案為：3．【題型2兩點之間線段最短】【例2】（23-24八年級·湖南郴州·期末）利用軸對稱的性質解決路程之和最短的問題，如圖所示，河岸的同側有A、B兩個村莊，兩村委會決定在小河邊建一座自來水加工廠向兩村莊輸送自來水，為了節(jié)約開支，加工廠建在何處所需鋪設的管道最短？為什么？【答案】見解析【分析】此題主要考查了軸對稱作圖與應用設計，作點A關于直線l的對稱點A1，連接A1B，交直線l于點C，點C【詳解】解：如圖，作點A關于直線l的對稱點A1，連接A1B，交直線l由作圖可知：CA=CA∴CA+CB=C要使的從點A1到點B的路程最短，根據(jù)兩點之間線段最短，連接A1B，交直線l于點C故加工廠應該建在C處．【變式2-1】（23-24八年級·廣東佛山·期末）如圖所示，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資建一個蓄水池，不考慮其他因素，請畫圖確定蓄水池H點位置，使它與四個村莊的距離之和最?。敬鸢浮看鸢敢娊馕觥痉治觥勘绢}屬于最短路線問題，解決此類題目的關鍵是掌握最有關短路徑的知識點．依據(jù)“兩點之間線段最短”直接連接線段AD和BC，其交點H即為所求的點．【詳解】解：如下圖所示，連接線段AD和BC，應把蓄水池建在交點上，因為這樣H點既在線段AD上，又在線段BC上，由“兩點之間，線段最短"可知，此時蓄水池與四個村莊的距離之和最小．【變式2-2】（23-24八年級·陜西西安·期中）（1）如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為?1,0,3,0，現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A,B的對應點C,D，連接AC，BD,CD，直接寫出點C的坐標______，D的坐標______及四邊形（2）如圖2，A，B兩單位分別位于一條封閉街道的兩旁（直線l1,l2是街道兩邊沿），現(xiàn)準備修建一座過街人行天橋．天橋應建在何處才能使由A經過天橋走到【答案】（1）0，【分析】本題考查坐標與圖形性質；點的平移和三角形的面積,解答的關鍵得到四邊形ACDB是平行四邊形，（1）根據(jù)點的平移規(guī)律即可得點C，D的坐標；由S四邊形ABDC=AB?CO（2）沿豎直方向向下平移點A，使得平移的距離等于橋長，再根據(jù)兩點之間線段最短，確定橋的位置即可；【詳解】解：（1）依題意，得C0∴S四邊形（2）如圖，將點A沿豎直向下的方向平移，平移距離等于橋長，到達點A1，連接A1B，與街道l2交于點P，過【變式2-3】（23-24六年級下·山東煙臺·期中）如圖，在同一平面內，點D、E是三角形ABC外的兩點，請按要求完成下列問題．(1)請你判斷線段BC+AC與AB的大小關系是；理由是；(2)①按要求將圖形補充完整：連接線段BE，畫射線ED、直線CD；②若在四邊形BCDE的邊BC、CD、DE、EB上任取一點，分別為點K、L、M、N，并順次連接它們，則四邊形KLMN的周長四邊形BCDE的周長．（大于、小于或等于）(3)在四邊形BCDE內找一點O，使它到四邊形BCDE四個頂點的距離之和最小．（保留作圖痕跡，找到點即可）【答案】(1)BC+AC>AB；兩點之間線段最短(2)①見解析；②小于(3)見解析【分析】本題考查直線、射線、線段等的作圖以及兩點之間、線段最短：（1）根據(jù)兩點之間線段最短判斷即可；（2）根據(jù)直線，射線，線段的定義以及題目要求作出圖形即可；（3）連接BD、CE，交于點O，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷點即為所求．解題的關鍵是理解直線，射線，線段的定義，靈活應用所學知識解決問題．【詳解】（1）解：根據(jù)兩點之間線段最短得：BC+AC>AB，故答案為：BC+AC>AB；兩點之間線段最短．（2）①如圖所示，線段BE，射線ED、直線CD即為所求；②如圖：∵KN<BK+BN，KL<CK+CL，ML<DL+DM，MN<EM+EN，∴KN+KL+ML+MN<BE+BC+DE+DC，即：四邊形KLMN的周長小于四邊形BCDE的周長，故答案為：小于．（3）連接BD、CE，交于點O，根據(jù)兩點之間線段最短可知，OB+OE+OC+OD=BD+CE，即：此時點O四邊形BCDE四個頂點的距離之和最小，如圖所示，點O即為所求．【題型3平行線之間的距離】【例3】（23-24八年級·安徽合肥·期末）如圖，l1//l2//l3，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為l1，l2，l3上的動點，連接AB、AC、BC，AC與A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以轉化為求點B到直線AC的距離，當BD⊥AC時，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．【詳解】解：由題意可知當BD⊥AC時，BD有最小值，此時，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC∴BD的最小值為2．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質，需結合圖形，根據(jù)平行線的性質推出相關角的關系從而進行求解．【變式3-1】（23-24八年級·北京海淀·期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD為△ABC的角平分線，過點D作直線l∥AB，點P為直線l上的一個動點，若△BCD的面積為16，BC＝8，則AP最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得CD，再根據(jù)角平分的性質求得DE，根據(jù)平行線之間的距離可得AP的最小值．【詳解】解：∵∠C＝90°，△BCD的面積為16，BC＝8，∴12BC?CD=16,即作DE⊥AB，∵BD為△ABC的角平分線，∴DE=CD=4,∵直線l∥AB，∴AP最小值與DE相等為4，故答案為：4．【點睛】本題考查角平分線的性質，平行線之間的距離，理解平行線之間距離的定義和點到直線的距離垂線段最短是解題關鍵．【變式3-2】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6，△DBC面積為18，AB的垂直平分線MN分別交AB，AC于點M，N，若點P和點Q分別是線段MN和BC邊上的動點，則PB+PQ的最小值為【答案】6【分析】連接AQ，過點D作DH⊥BC于H．利用三角形的面積公式求出DH，由題意得：PB+PQ=AP+PQ≥AQ，求出AQ的最小值，AQ最小值是與DH相等，也就是AQ⊥BC時，根據(jù)面積公式求出DH的長度即可得到結論．【詳解】解：連接AQ，過點D作DH⊥BC于H．∵△DBC面積為18，BC=6，∴12∴DH=6，∵MN垂直平分線段AB，∴PA=PB，∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，∴當AQ的值最小時，PB+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當AQ⊥BC時，AQ的值最小，∵AD//∴AQ=DH=6，∴PB+PQ的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，平行線的性質，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質等知識，把最短問題轉化為垂線段最短是解題關鍵．【變式3-3】（23-24八年級·福建龍巖·階段練習）如圖，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=6，D為AB的中點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當E點在線段AC上運動時，則DE+12CE

【答案】3【分析】過C作CG∥AB，過C作CH⊥AB，過D作CG的垂線交CG于點F交AC于點E，即可得到答案；【詳解】解：過C作CG∥AB，過D作CG的垂線交CG于點F，∵CG∥AB，∠CAB=30°，DF⊥CG，∴EF=1∴DF即為DE+1∵CH⊥AB，DF⊥CG，CG∥AB，∴DF=CH，∠AHC=90°，∵∠CAB=30°，AC=6，∴CH=1故答案為：3；

【點睛】本題考查30°角所對直角邊等于斜邊一半及平行線間距離處處相等且最短．知識點2：兩動一定【模型分析】問題：如圖，直線AB、AC相交于點A，點M是平面內一點，點P，點N分別是AC，AB上一動點，求MP＋PN的最小值．解題思路：一找：第一步：作點M關于AC的對稱點M′；第二步：過點M′作M′N⊥AB于點N，交AC于點P；二證：證明MP＋PN的最小值為M′N：三計算．【題型4兩動一定】【例4】（23-24八年級·廣東珠?！て谀┮阎螦OB=30°，在∠AOB內有一定點P，點M，N分別是OA，OB上的動點，若△PMN的周長最小值為3，則OP的長為（）A．1.5 B．3 C．33 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，求出OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等邊三角形DOE，求出DE=3，求出△PMN的周長【詳解】解：作P關于OA的對稱點D，作P關于OB的對稱點E，連接DE交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，則此時連接OD，∵P、D關于OA對稱，∴OD=OP，同理OE=OP，∴OD=OE=OP，∵P、D關于OA對稱，∴OA⊥PD，∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA，同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB=2×30°=60°，∵OD=OE，∴△DOE是等邊三角形，∴DE=OD=OP，∵△PMN的周長是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3，∴OP=3故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等邊三角形的判定與性質，關鍵是畫出符合條件的圖形．【變式4-1】（23-24八年級·安徽淮北·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面積為18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的動點，則CE+EF的最小值為（）A．4 B．6 C．7 D．9【答案】A【分析】過點C作CP⊥AB于點P，交BD于點E，過點E作EF⊥BC于F，則CP即為CE+EF的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CP的長，即為CE+EF的最小值．【詳解】解：過點C作CP⊥AB于點P，交BD于點E，過點E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面積為18，AB=9，∴12∴CP=4．即CE+EF的最小值為4，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，關鍵是將CE+EF的最小值為轉化為CP，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．【變式4-2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖所示，在等邊△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB，AC上，則線段DE+DF的最小值是（）A．BC邊上高的長 B．線段EF的長度C．BC邊的長度 D．以上都不對【答案】A【分析】作AD⊥BC于點D，當DE⊥AB、DF⊥AC時，線段DE+DF有最小值，根據(jù)等邊三角形的性質可得DE+DF=AD，進而得結論．【詳解】解：如圖，作AD⊥BC于點D，當DE⊥AB、DF⊥AC時，線段DE+DF有最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴.DE=1∴DE+DF=AD，∴線段DE+DF的最小值是BC邊上高的長．故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題、等邊三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握等邊三角形的性質．【變式4-3】（23-24八年級·湖南株洲·期中）如圖，在等腰△ABC中，在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP=AQ．再分別以點P，Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點R，作射線AR，交BC于點D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若點M、N分別是線段AD和線段AB上的動點，則BM+MN的最小值為（

）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質，垂線段最短；過點B作BH⊥AC于點H，交AD于點M'，根據(jù)等面積法，可得BH=4.8．作點H關于AD的對稱點交AB于點N，連接M'N【詳解】解：如圖，過點B作BH⊥AC于點H，交AD于點M'由作圖可知，AD平分∠BAC，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴4×6=5BH，∴BH=4.8．∵AB=AC，AD⊥BC，作點H關于AD的對稱點交AB于點N，連接M'∴M'∴BH=BM則BM+MN的最小值為4.8．故選C．知識點3：兩定一動已知：在l上求作一點M，使得AM＋BM最小．【題型5兩定一動(將軍飲馬)】【例5】（23-24八年級·寧夏銀川·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，點P為直線EF上任意一點，則AP+BP的最小值是．【答案】4【分析】由線段垂直平分線的性質可得BP=PC，可得當點A，P，C在一條直線上時，PA+BP有最小值，最小值為AC的長．【詳解】解：連接PC．∵EF是BC的垂直平分線，∴BP=PC，∴PA+BP=AP+PC，∴當點A，P，C在一條直線上時，PA+BP有最小值，最小值為AC=4．故答案為：4．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，明確線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．【變式5-1】（23-24八年級·廣東揭陽·期末）如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A、B、C在小正方形的頂點上．

(1)在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△AB'C'．(2)在直線l上找一點P，使PB+PC的長最短．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，△AB'C'即為所求．

（2）如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查作圖?軸對稱變換、軸對稱?最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．【變式5-2】（23-24八年級·江西宜春·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點D，若AE=3，(1)求BC的長；(2)若點P是直線DE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為_________．【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關系即可求出BC的長；（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長度．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=∵AB邊的垂直平分線交AB于點D，∴BE=AE=3，∴∠BAE=∠B=30°∴∠CAE=∠BAC?∠BAE=120°?30°=90°在Rt△CAE中，∠C=30°∴CE=2AE=6∴BC=BE+CE=3+6=9（2）解：如圖，取點A關于直線DE的對稱點，即點B；連接B,C兩點，與直線DE交于點P(E)，∵PA=PB∴PA+PC=PB+PC根據(jù)兩點之間線段最短則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9【點睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關知識點有：垂直平分線的性質、將軍飲馬等，軸對稱性質的充分利用是解題關鍵．【變式5-3】（23-24八年級·河南周口·階段練習）已知點P在∠MON內．

(1)如圖①，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點，AB⊥ON于點B，點P、Q分別為OA、AB上的兩個定點，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動點【答案】(1)①△OGH是等邊三角形，理由見解析；②GH=2OP，理由見解析(2)PE+QE的最小值為5．【分析】（1）①由軸對稱的性質可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根據(jù)“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”即可得出△OGH是等邊三角形；②當∠MON=90°時，∠GOH=180°，G、O、H在同一直線上，由此可得GH與OP的數(shù)量關系；（2）過Q作ON的對稱點Q'，連接PQ'，交ON于點E，連接QE，則PE+QE的最小值為PQ'，由已知條件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ'【詳解】（1）解：①△OGH是等邊三角形，∵點P關于OM對稱的點為G，∴OP=OG，∠POM=∠GOM，同理OP=OH，∠PON=∠HON，∴OG=OH，∵∠MON=30°，∴∠GOH=60°，∴△OGH是等邊三角形．②GH=2OP，當∠MON=90°時，∠GOH=180°，∴G、O、H在同一直線上，OP=OG=OH．∵GH=OG+OH=2OC，∴GH=2OP；（2）解：過Q作ON的對稱點Q'，連接PQ'，交ON于點E

∴PE+QE最小值為PQ∵∠MON=30°，∠ABO=90°，∴∠OAB=60°．∵AQ=OP=2，QB=1.5，∴AB=3.5，∴OA=2AB=7，∴AP=5．∵點Q與Q'關于ON∴QB=Q∴AQ∴△APQ∴PQ即PE+QE的最小值為5．【點睛】本題主要考查了軸對稱--最短路線問題，軸對稱的性質和等邊三角形的判定和性質．熟練掌握軸對稱的性質及等邊三角形的判定和性質，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關鍵．知識點4：兩定兩動已知：在平面直角坐標系中，點P（2，3），Q（3，2），請在x軸和y軸上分別找到M點和N點，使四邊形PQMN周長最?。鞒鯩點和N點．【題型6兩定兩動型】【例6】（23-24·福建莆田·中考模擬）如圖，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，AB=4，P、Q分別為CN、CM上的兩個動點，則MP+PQ+QN的最小值為______．【答案】4

【解析】解：如圖，連接AQ，BP，

∵CA=CN，∠ACM=∠MCN=30°，CQ=CQ，

∴△ACQ≌△NCQ(SAS)，

∴AQ=QN，

同理可得：BP=PM，

∴MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，

∴當點B，點P，點Q，點A共線時，BP+PQ+AQ有最小值，即BP+PQ+AQ最小值為AB的長度，

∴MP+PQ+QN有最小值為4，

故答案為：4．

由“SAS”可證△ACQ≌△NCQ，可得AQ=QN，BP=PM，由MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，可得當點B，點P，點Q，點A共線時，BP+PQ+AQ有最小值，即可求解．

本題考查了軸對稱?最短路線問題，全等三角形的判定和性質，證明AQ=NQ，BP=PM是本題的關鍵．【變式6-1】（23-24八年級·江蘇南京·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點，M是邊BC上的一個動點，N是邊CD上的一個動點，則AM＋MN＋EN的最小值是．【答案】10【分析】作A點關于BC的對稱點A1，連接A1M，作E點關于DC的對稱點E1，連接E1N，因此AM＋MN＋【詳解】解：如圖，作A點關于BC的對稱點A1，連接A1M，作E點關于DC的對稱點E1，連接E1N，∵∠B＝∠D＝90°，點A和點A1關于BC對稱，點E和點E1關于DC對稱，∴AM=A1M∴AM＋∴AM＋MN＋EN的最小值是A1∵AD＝AB＝4，E是AD中點，∴AB=A1B=4∴AA1=8∵∠BAD＝90°，∴A1故答案為：10．【點睛】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對稱性質，作出輔助線是本題的關鍵．【變式6-2】（23-24八年級·河南安陽·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC上有兩動點E和F，連接BE和BF，若AE=CF，AC?AB=4,AC?BC=2，則BE+BF的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【答案】B【分析】如圖，連接DF，BD，由全等三角形判定SAS可以證得△ABE≌△CDF，得到DF=BE，進而得到BE+BF≥BD，再根據(jù)題意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接DF，BD，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDFSAS∴BE=DF，∵BF+DF≥BD，∴BE+BF≥BD，又∵AC，BD為矩形的對角線，∴AC=BD∴BE+BF≥AC，∵△ABC是直角三角形，AC?AB=4,AC?BC=2，∴AB∴解得AC=10，或AC=2∵AC?BC=2，則AC=2不符合題意，∴AC=10，∴BE+BF≥10，故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，勾股定理的應用及解一元二次方程，熟知相關的判定與性質及解一元二次方程的方法是解題關鍵．【變式6-3】（23-24八年級·廣東江門·階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=203，D，E分別為射線BC與射線【答案】3【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定以及勾股定理；過點B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，過點A作AG⊥GF于點G，連接DF，證明△ABE≌△BFD得出BF=BEAD+BE=AD+DF≥AF，則當D在線段AF上時，AD+BE取的最小值，最小值為AF的長，【詳解】解：如圖，過點B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，過點A作AG⊥GF于點G，連接DF，在△ABE,△BFD中，AE=BD∠EAB=∠DBF∴△ABE≌△BFDSAS∴DF=BE，∴AD+BE=AD+DF≥AF，則當D在線段AF上時，AD+BE取的最小值，最小值為AF的長，∵∠BAC=90°，AB=5，AC=20∴BC=∵S△ABC∴BG=AB×AC在Rt△ABG中，AG=∴FG=GB+BG=4+5=9，∴AF=A故答案為：310【題型7兩定一動(三點共線)】【例7】（23-24八年級·浙江寧波·開學考試）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延長線段BC至點D，使CD=BC，過點D作射線DP∥AB，點E為射線DP上的動點，分別過點A，D作直線EC的垂線AM，DN．當AM?DN的值最大時，∠ACE的度數(shù)為．【答案】130°/130度【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質．如圖，過點B作BH直線l于點H．證明DN=BH，推出AM與AB重合時，AM?DN的值最大，此時|AM?DN|=AB，畫出相應的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內角和、鄰補角的意義，求出結果．【詳解】解：如圖，過點B作BH直線l于點H．∵DN⊥直線l，BH⊥直線l，∴∠DNC=∠BHC，∵∠DCN=∠BCH，BC=CD，∴△CDN≌△CBHASA∴BH=DN，∴AM?DN∵AM與AB重合時，|AM?BM|的值最大，∴當DN與DP重合，AM與AB重合時，AM?DN=AM?BH的值最大，此時∵∠ABC=100°，∴∠CBM=180°?100°=80°，∵AM⊥CE，∴∠AMC=90°，∴∠BCM=90°?80°=10°，又∵AB=BC，∴∠ACB=(180°?100°)÷2=40°，∴∠ACE=180°?∠ACB?∠BCM=180°?40°?10°=130°，故答案為：130°．【變式7-1】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，P是△ABC的中線AD上的動點，且AB=6，則BP?PE的最大值是．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，BP?PE=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊△ABC中，AB=6，P是△ABC的中線AD上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴BP?PE=CP-PE，∵在△CPE中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是AC邊的中點，∴BP?PE的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，三角形三邊長關系，連接CP，得到BP?PE=CP-PE，是解題的關鍵．【變式7-2】（23-24八年級·湖北武漢·期末）如圖，AB=AC=4，在直線AB上方作等腰ΔBCD，∠DBC=120°，BD=BC，連接AD，當AD最大時，∠ACD=．【答案】45°【分析】構造等腰ΔABK，如圖1，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，則ΔABD≌ΔKBCSAS，AD=KC≤AC+AK，當C、A、K三點共線時，AD【詳解】解：如圖1，構造等腰ΔABK，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，則ΔABD≌ΔKBCSAS，AD=KC≤AC+AK∴當C、A、K共線時，AD最大，此時，如圖2所示，AC=AB=BK，∠ABK=120°，則∠BAK=30°，∴∠ACB=15°，∵BC=BD，∠DBC=120°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=15°+30°=45°．故答案為：45°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是準確作出輔助線，找出當AD最大時的圖形．【變式7-3】（23-24八年級·河北張家口·期末）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、M、N都在格點上．

(1)畫出△ABC關于直線MN對稱的△A(2)在直線MN上找點P使PB+PC最小，在圖形上畫出點P的位置；(3)在直線MN上找點Q使QB?QA最大，直接寫出這個最大值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)作圖見解析；QB?QA最大值為3【分析】（1）利用網格特點，先畫出A、B、C關于直線MN的對稱點A1、B1、（2）作點C關于MN的對稱點D，連接BD交MN于一點，該點即為點P；（3）由于QA=QA1，則|QB?QA=QB?QA1|，而由三角形的三邊關系可得