2.5.1等腰三角形的軸對(duì)稱性：等腰三角形的性質(zhì)與判定題型一等腰三角形的性質(zhì)——兩腰相等1．等腰三角形的周長(zhǎng)為，其中一邊長(zhǎng)為．則該等腰三角形的底長(zhǎng)為A．3或5 B．3或7 C．3 D．52．如果等腰三角形的各邊長(zhǎng)是整數(shù)，周長(zhǎng)為9，那么這樣的等腰三角形有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”．若等腰是“倍長(zhǎng)三角形”，腰的長(zhǎng)為4，則底邊的長(zhǎng)為．4．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，一腰上的中線把等腰三角形分成周長(zhǎng)之差為的兩個(gè)三角形，求等腰三角形的腰長(zhǎng)．5．如圖，和都是等腰直角三角形，與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．證明：（1）；（2）．題型二等腰三角形的性質(zhì)定理——等邊對(duì)等角1．已知等腰三角形的一個(gè)外角等于，則它的頂角是A． B． C．或 D．不能確定2．如圖，，，則等于A． B． C． D．3．定義：我們將等腰三角形的頂角與一個(gè)底角的度數(shù)的比值叫做這個(gè)等腰三角形的“特征值”，記作．若，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為．4．已知：如圖，在中，，是的外角，．求證：平分．5．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，的周長(zhǎng)為18，求的周長(zhǎng)．6．如圖，在中，，，（1）若，，則；（2）若，求的度數(shù)．7．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，，，點(diǎn)在底邊上，，連接．（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)在（點(diǎn)、除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究與的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若，試就圖②探究與的數(shù)量關(guān)系．題型三等腰三角形的性質(zhì)定理——三線合一1．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿上一點(diǎn)往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩與，當(dāng)固定點(diǎn)，到桿腳的距離相等，且，，在同一直線上時(shí)，電線桿就垂直于．工程人員這種操作方法的依據(jù)是A．等邊對(duì)等角 B．垂線段最短 C．等腰三角形“三線合一” D．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等2．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，，垂足分別為、，且．求證：是的中點(diǎn)．3．如圖，中，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，且，求證：．4．已知：如圖，是等腰三角形，是底邊上的中線，和分別垂直于、，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．題型四等腰三角形的判定——兩邊相等、判定定理——等角對(duì)等邊1．如圖，在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，，則長(zhǎng)是A．4 B．5 C．6 D．82．如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③；④的周長(zhǎng)；⑤．其中正確的有A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤3．如圖，已知的面積為18，平分，且于點(diǎn)，則的面積是．4．如圖，在中，，點(diǎn)、、分別在、、邊上，且，．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．5．如圖，已知點(diǎn)，分別是的邊和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作的平分線，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）作的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．6．如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，與相交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）求證：為等腰三角形．題型五等腰三角形的存在性問題1．如圖，已知中，，，在直線取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的的網(wǎng)格中，點(diǎn)，在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)，連接和，使是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)．3．有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點(diǎn)放在上，移動(dòng)三角板，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)移動(dòng)的過程中，點(diǎn)、、始終保持在一條直線上．若直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的度數(shù)為4．已知：在中，，．（1）如圖，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)．求證：；（2）若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)．1．如圖，中，，的角平分線于，為的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值A(chǔ)．1.5 B．3 C．4.5 D．92．如圖，在中，，．若某個(gè)三角形與能拼成一個(gè)等腰三角形（無重疊），則拼成的等腰三角形有A．4種 B．5種 C．6種 D．7種3．如圖，在中，，，在中，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，使其兩邊分別交于交于點(diǎn)，連接，那么的周長(zhǎng)為．4．已知關(guān)于、的方程組．（1）求方程組的解（用含的代數(shù)式表示）；（2）若方程組的解滿足條件，求的取值范圍；（3）若、是等腰三角形的兩條邊，且等腰三角形的周長(zhǎng)為9，求的值；（4）若無論取何值，等式總成立，求的值．5．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：設(shè)．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線、上．活動(dòng)一：如圖甲所示，從點(diǎn)開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，為第1根小棒．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）小棒能無限擺下去嗎？答：；（填“能”或“不能”）（2）設(shè)，；活動(dòng)二：如圖乙所示，從點(diǎn)開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中為第1根小棒，且．?dāng)?shù)學(xué)思考：（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，；（用含的式子表示）（4）若只能擺放5根小棒，求的范圍．6．如圖①，中，、的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行線交、于、．試說明：．探究一：請(qǐng)寫出圖①中線段與、間的關(guān)系，并說明理由．探究二：如圖②，若的平分線與的外角平分線交于，過點(diǎn)作的平行線交于，交于．這時(shí)與、的關(guān)系又如何？請(qǐng)直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由．7．如果一個(gè)三角形被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個(gè)三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)和為等腰三角形時(shí)，為的等腰分割線．（1）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：是的一條等腰分割線．（2）在中，為的等