考點(diǎn)03、實(shí)際應(yīng)用與二次函數(shù)

知識(shí)框架

'列二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，

’實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值

‘球類運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題

拱橋問(wèn)題

銷售問(wèn)題（利潤(rùn)問(wèn)題）

重難點(diǎn)題型

面積問(wèn)題

分段函數(shù)問(wèn)題

二次函數(shù)綜合問(wèn)題

一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)3-1列二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

1）列二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的原則，與一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題原則類似：

①根據(jù)題意和實(shí)際問(wèn)題涉及的類型，建立等量關(guān)系式；

②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)出2個(gè)變量，注意區(qū)分自變量和因變量（與一元二次方程不同的地方）；

③依據(jù)等量關(guān)系式和變量建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題；

④解決二次函數(shù)，并解答。

注：一元二次方程通常有2解，但是，應(yīng)檢驗(yàn)方程的2個(gè)根是否都符合實(shí)際情況。

例1.（2020.重慶市初三期中）某商品現(xiàn)在的銷售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若

果每降價(jià)1元，每星期多少賣20件。已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

【答案】每件降價(jià)5元利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為：6250元

【解析】①建立等量關(guān)系式：

此題是利潤(rùn)問(wèn)題，等量關(guān)系式為：總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X售出的件數(shù)

②設(shè)出2個(gè)變量：

???題目研究總利潤(rùn)，...設(shè)總利潤(rùn)為因變量y,便于研究

?.?每件的利潤(rùn)與售出的件數(shù)都與商品降價(jià)有關(guān)，，設(shè)每件降價(jià)x元

③建立函數(shù)關(guān)系式：

總利潤(rùn)為：y；每件的利潤(rùn)為：（60-X-40）=（20-x）元；售出的件數(shù)為：（300+20x）件

二函數(shù)關(guān)系式為：y=（20-x）（300+20X）

化筒得：y^-10x2+100%+6000

④解決二次函數(shù)問(wèn)題，并解答：

題干求最值，2種方法：

方法一：配方法求最值：函數(shù)配方得：產(chǎn)-10(%-5)2+6250

...當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值，為6250

方法二：利用函數(shù)的性質(zhì)求最值：.?.函數(shù)有最大值

當(dāng)戶一2=--限=5時(shí)有最大值，最大值產(chǎn)竺=

.??降價(jià)5元時(shí)有最大利潤(rùn)，為6250元

答：略

例2.(2020?浙江省初三其他)小林家的洗手臺(tái)面上有一瓶洗手液(如圖1),當(dāng)手按住頂部A下壓時(shí)(如圖

2),洗手液瞬間從噴口8流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圓心分別為。，C,下部分的視圖是矩形CGHD,

GH=\0cm,GC=8c，〃，點(diǎn)E到臺(tái)面GH的距離為14cm,點(diǎn)3距臺(tái)面G/Z的距離為16。*,且8,D,H三點(diǎn)、

共線.如果從噴口B流出的洗手液路線呈拋物線形，且該路線所在的拋物線經(jīng)過(guò)C.E兩點(diǎn)，接洗手液時(shí),

當(dāng)手心。距。”的水平距離為2c/n時(shí)，手心。距水平臺(tái)面GH的高度為cm.

—AB

GH

圖1圖2

【答案】11.

【分析】根據(jù)題意得出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進(jìn)而求解.

【解析】如圖：

I.

c%\

G\-Hx

由題意可知：C￡>=QE=10cv”，根據(jù)題意，得C(-5,8),E(-3,14),B(5,16).

設(shè)拋物線解析式為y=af+Ax+c,因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)C、E、8三點(diǎn)，

11

a二----

9a-3b-^-c=1440

4ii4i5i

25?！?b+c=8，解得vb=-,所以拋物線解析式為y=-二f++

54058

25a+5/?+c=16

151

c=---

8

當(dāng)x=7時(shí)，>'=11,：.Q（7,11）,所以手心。距水平臺(tái)面G”的高度為lie”.故答案為11.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算.

例3.（2020?浙江省初三二模）為運(yùn)用數(shù)據(jù)處理道路擁堵問(wèn)題，現(xiàn)用流量Q（輛/小時(shí)）、速度n（千米/小

時(shí)）、密度出（輛/千米）來(lái)描述車流的基本特征.現(xiàn)測(cè)得某路段流量4與速度v之間關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下

表：

速度U（千米/小時(shí)）.....1520324045.....

流量9（輛/小時(shí)）.....105012001152800450.....

若己知9、v滿足形如g=加聲+⑶，（m、〃為常數(shù)）的二次函數(shù)關(guān)系式，且q、u、％滿足q=H:.根據(jù)

監(jiān)控平臺(tái)顯示，當(dāng)54V<10時(shí)，道路出現(xiàn)輕度擁堵，試求此時(shí)密度k的取值范圍是.

【答案】804490

【分析】利用待定系數(shù)法求出4=-2廿+100丫，將4=成變形為：k=（,將q=-2/+100y代入人=（,

再求出當(dāng)54丫410時(shí)，k的取值范圍即可.

【解析】由表格可知函數(shù)q=過(guò)（15,1050）、（20,1200）,可得:

mxl52+nx15=1050m=-2n

解得《?八八q=-2v~+1OOu*??鄉(xiāng)=丫左J&二工，

mx202+nx20=1200n=100v

將q=-2v2+100u代入攵=幺得：k=幺=空+L'=-2v+l00

VVV

V5<v<10A80<-2v+100<90A80<A:<90故答案為：8042490

【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，掌握待定系數(shù)法求反函數(shù)的解析

式是解題的關(guān)鍵.

例4.（2020?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）某一房間內(nèi)A、B兩點(diǎn)之間設(shè)有探測(cè)報(bào)警裝置，小車（不計(jì)大

?。┰诜块g內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車從AB之間（不包括A、B兩點(diǎn)）經(jīng)過(guò)時(shí)，將觸發(fā)報(bào)警.現(xiàn)將A、B兩點(diǎn)放置于

平面直角坐標(biāo)系xoy中，（如圖），已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0,4）,（4,4）,小車沿拋物線y=ax2-2ax-3a

（?<0）運(yùn)動(dòng).若小車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觸發(fā)兩次報(bào)警裝置，則。的取值范圍是.

【分析】先把拋物線解析式分解因式，得其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，再分別代入臨界點(diǎn)的坐標(biāo)（0,4）

和（4,4）,結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)大小與開(kāi)口大小及與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)等即可解答.

【解析】解：拋物線y=雙2-2ar—3a=a（x+l）（x-3），

,其對(duì)稱軸為：x=l,且圖象與x軸交于（—1,0）,（3,0）.

?.?拋物線頂點(diǎn)為（1,—4a）,當(dāng)頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，有Ya=4,則a=—l；

4

當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)（0,4）時(shí)，代入解析式得：-3a=4：

由對(duì)稱軸為x=l及圖象與x軸交于（-1,0）,（3,0）可知，

4

當(dāng)-§Va時(shí)，拋物線與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)；

4

二小車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觸發(fā)兩次報(bào)警裝置，則a的取值范圍是-,va<-\.

4

故答案為：—L

【點(diǎn)睛】本題實(shí)質(zhì)是二次函數(shù)圖象與線段交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，需要綜合分析二次函數(shù)開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，與x

軸交點(diǎn)情況等，難度較大.

例5.（2020?四川省中考真題）三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當(dāng)水面

剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時(shí)，單個(gè)

小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個(gè)小孔的水面寬度為（）

*I

A.4G米B.5女米C.2至米D.7米

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可以畫(huà)出相應(yīng)的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點(diǎn)為A的小

孔所在拋物線的解析式，將x=-10代入可求解.

3

【解析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得MN=4,EF=14,BC=10,DO=-,

2

233

0),0=aX(-5)"+一/.a=------

250

33

大孔所在拋物線解析式為y=-而x2+g,設(shè)點(diǎn)A(b,0),

則設(shè)頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=m(x-b)2,

36362

?.?EF=14,.?.點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-7,.?.點(diǎn)E坐標(biāo)為(-7,--),------=m(x-b)

2525

99,

；.m=q，，頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為丫=-攝(x-b)2,

999,

,?,大孔水面寬度為20米，.,.當(dāng)x=-10時(shí),y=—>-------(x-b),

■2225

*4.x?=—5/2+b,X2=-3JZ+b,單個(gè)小孔的水面寬度=i(—V2+b)-(—V2+b)=5y/2(米)

2222、

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

例6.(202()?江蘇省中考真題)加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的顆粒的百分比稱為“可食用率”.在特定條件

下，可食用率)'與加工時(shí)間x(單位：min)滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.2/+1.5%—2,則最佳加工時(shí)間為

min?

【答案】3.75

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式直接計(jì)算即可.

2a

.b1.5…

【解析】；y=—0.2/+1.5%—2的對(duì)稱軸為》=一五=一百mj=3.75（min）,

故：最佳加工時(shí)間為3.75min,故答案為：3.75.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及求頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程等，記住拋物線頂點(diǎn)公式是

解題關(guān)鍵.

例7.（2020?揚(yáng)州市江都區(qū)國(guó)際學(xué)校初二期中）如圖，線段AB的長(zhǎng)為6夜，C為4B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以

AC.8C為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACQ和△BCE,那么。E長(zhǎng)的最小值是.

【答案】3亞

【分析】根據(jù)題意利用等腰直角三角形的特點(diǎn)知道AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,NECB=NB=45°,

ZDCE=900.利用勾股定理得出DE的表達(dá)式，進(jìn)而設(shè)AC=x,BC=&應(yīng)一X,利用配方法即可求出DE的

最小值.

【解析】解：在等腰Rt^ACD和等腰RtZXCBE中AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,ZECB=ZB=45°

NDCE=90°AD2+CD2=AC2,CE2+BE2=CB?，；.CD2=-AC2,CE2=-CB2,

22

*/DE2=CD2+CE1，,DE2=-(AC2+CB2),

2

設(shè)AC=x,8C=60—x,即有。6=；[f+(6夜—X)2]=(X-30)2+18,

...當(dāng)x=30時(shí)，。爐有最小值為18,

.?.當(dāng)AC=3上時(shí)，DE的值最小，即OE=JiM=3j2.故答案為：3亞.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的特點(diǎn)及二次函數(shù)求最值的方法，解答的關(guān)鍵是利用設(shè)參法和配方法進(jìn)

行分析計(jì)算.

例8.（2020?山東省中考真題）某快遞公司在甲地和乙地之間共設(shè)有29個(gè)服務(wù)驛站（包括甲站、乙站），一

輛快遞貨車由甲站出發(fā)，依次途經(jīng)各站駛往乙站，每?？恳徽?，均要卸下前面各站發(fā)往該站的貨包各1個(gè)，

又要裝上該站發(fā)往后面各站的貨包各1個(gè).在整個(gè)行程中，快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多是個(gè).

【答案】210

【分析】根據(jù)理解題意找出題目中所給的等量關(guān)系，找出規(guī)律，寫(xiě)出貨包數(shù)量的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次

函數(shù)最值的求法求出快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多的站.

【解析】當(dāng)一輛快遞貨車停靠在第X個(gè)服務(wù)驛站時(shí)，

快遞貨車上需要卸下己經(jīng)通過(guò)的(X-1)個(gè)服務(wù)驛站發(fā)給該站的貨包共(X-1)個(gè)，

還要裝上下面行程中要?？康?n-x)個(gè)服務(wù)驛站的貨包共(n-x)個(gè).

根據(jù)題意，完成下表：

服務(wù)驛站序號(hào)在第X服務(wù)驛站啟程時(shí)快遞貨車貨包總數(shù)

1n-1

2(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)

32(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

43(n-3)-3+(n-4)=4(n-4)

54(n-4)-4+(n-5)=5(n-5)

n0

由上表可得y=x(n-x).當(dāng)n=29時(shí)，y=x(29-x)=-x2+29x=-(x-14.5)2+210.25,

當(dāng)x=l4或15時(shí)，y取得最大值210.

答：在整個(gè)行程中，快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多是210個(gè).故答案為：210.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值在x

=-時(shí)取得.

知識(shí)點(diǎn)3-2實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值

1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知：函數(shù)的頂點(diǎn)為竺二］故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最值，即：

1244al2a

①當(dāng)a>0時(shí)，x=-2時(shí)函數(shù)有最小值，最小值y=4'"二I

2a4a

②當(dāng)a<0時(shí)，x=-2時(shí)函數(shù)有最大值，最大值嚴(yán)處至

2a

2)在實(shí)際問(wèn)題中，由于受自變量取值的限制，自變量有可能無(wú)法取到x=-2,這是就需要根據(jù)二次函數(shù)

2a

的性質(zhì)進(jìn)一步分析了。因此，在解決實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值范圍非常重要，必須要著重考慮，則解決

實(shí)際問(wèn)題的步驟為：

①根據(jù)題意和實(shí)際問(wèn)題涉及的類型，建立等量關(guān)系式；

②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)出2個(gè)變量，注意區(qū)分自變量和因變量；

③依據(jù)等量關(guān)系式和變量建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題；

④根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，確定自變量的取值范圍；（添加步驟）

⑤解決二次函數(shù)，并解答。

例1.某商品現(xiàn)在的銷售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若果每降價(jià)1元，每星期多

少賣20件。已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，商務(wù)部規(guī)定商品價(jià)格不得低于56元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

【答案】每件降價(jià)5元利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為：6250元

【解析】①建立等量關(guān)系式：

此題是利潤(rùn)問(wèn)題，等量關(guān)系式為：總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X售出的件數(shù)

②設(shè)出2個(gè)變量：

???題目研究總利潤(rùn)，，設(shè)總利潤(rùn)為因變量y,便于研究

?；每件的利潤(rùn)與售出的件數(shù)都與商品降價(jià)有關(guān)，???設(shè)每件降價(jià)x元

③建立函數(shù)關(guān)系式：總利潤(rùn)：y；每件的利潤(rùn)：（60—x—40）=（20-x）元；售出的件數(shù)：（300+20x）件

.,.函數(shù)關(guān)系式為：y=（20-x）（300+20%）化簡(jiǎn)得：y=-10/+加?！?6000

④確定自變量取值范圍：

根據(jù)題意，xW60—56,且x>0,且x為整數(shù).?.自變量的取值范圍為：0WxW4（x為整數(shù)）

⑤解決二次函數(shù)問(wèn)題，并解答：??％=-10<0,.?.函數(shù)有最小值

當(dāng)戶一二=1=5時(shí)有最小值，但是x無(wú)法取到5

2a2（-10）

根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，當(dāng)x=4時(shí)，有最大值，最大值產(chǎn)6240

例2.（2020.湖北省初三模擬）受“新冠”疫情的影響，某銷售商在網(wǎng)上銷售A、B兩種型號(hào)的“手寫(xiě)板”，

獲利頗豐.已知A型，3型手寫(xiě)板進(jìn)價(jià)、售價(jià)和每日銷量如表格所示：

進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）售價(jià)（元/個(gè)）銷量（個(gè)/日）

A型600900200

8型8001200400

根據(jù)市場(chǎng)行情，該銷售商對(duì)A型手寫(xiě)板降價(jià)銷售，同時(shí)對(duì)8型手寫(xiě)板提高售價(jià)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)A型手寫(xiě)板每降

低5元就可多賣1個(gè)，8型手寫(xiě)板每提高5元就少賣1個(gè)，要保持每天銷售總量不變，設(shè)其中4型手寫(xiě)板每

天多銷售X個(gè)，每天總獲利的利潤(rùn)為)'元(1)求了與％之間的函數(shù)?關(guān)系式并寫(xiě)出龍的取值范圍；(2)要使

每天的利潤(rùn)不低于234000元，直接寫(xiě)出x的取值范圍；(3)該銷售商決定每銷售一個(gè)B型手寫(xiě)板，就捐。

元給(0<aW100)因“新冠疫情”影響的困難家庭，當(dāng)304x440時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為229200元，求a

的值.

【答案】(1)y=-10x2+900x+220000(04x460),且x為整數(shù)；(2)20<x<60,且x為整數(shù)；

(3)a=30

【分析】(1)設(shè)A型手寫(xiě)板每天多銷售為個(gè)，則8型手寫(xiě)板每天少銷售％個(gè)，根據(jù)總獲利的利潤(rùn)y等于銷

售A型手寫(xiě)板所獲利潤(rùn)加上銷售B型手寫(xiě)板所獲利潤(rùn)，根據(jù)每件銷售的利潤(rùn)，每日的銷量都為非負(fù)數(shù)且X為

非負(fù)整數(shù)求出x的取值范圍；(2)結(jié)合(1)將總利潤(rùn)函數(shù)進(jìn)行配方，求出當(dāng)y=234000時(shí)的x值，結(jié)合圖

象得到每天的利潤(rùn)不低于234000元時(shí)的x的取值范圍，進(jìn)而求解；(3)設(shè)捐款后每天的利潤(rùn)為W元，則

卬=丁_(400-x)a,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【解析】⑴y=(900-600-5x)(200+%)+(1200-800+5x)(400—x),

x>0

化簡(jiǎn)得，y=-10x2+900x+220000,由題意知，<300—5x20,解得，04x460,

400-x>0

故X的取值范圍為0460且X為整數(shù)；

(2)x的取值范圍為20WXW60，

理由如下：y=-1()/+900x+22000()=-1O(X-45)2+240250,

當(dāng)y=234000時(shí)，-10(x-45)2+240250=234000,

.\(X-45)2=625,X-45=±25,x=20或x=70,

要使yN2340(X),由圖象知，20<x<70；

0<x<60,.-.20<x<60,且x為整數(shù)；

(3)設(shè)捐款后每天的利潤(rùn)為W元，

則w——10x~+900x+220000—(400—=-10x~+(900+a)x+220000—400a,

對(duì)稱軸為x=+"=45+<-,0<fl<100,45+—>45,

202020

拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)304x440時(shí)，w隨X的增大而增大,

當(dāng)X=40時(shí)，w最大，一16000+40（900+a）+220000-400a=229200,解得，a=30.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，列出二次函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，第（2）（3）題

可結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解.

例3.（2020.廣東省初三期末）網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門(mén)的銷售方式為了減少農(nóng)產(chǎn)品的庫(kù)存，我市市長(zhǎng)親

自在某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售大別山牌板栗.為提高大家購(gòu)買的積極性，直播時(shí)，板栗公司每天拿出2000

元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購(gòu)買者.已知該板栗的成本價(jià)格為6元/kg,每日銷售量y（kg）與銷售單價(jià)K元/kg）

滿足關(guān)系式：y=-100%+5000.經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)格且不高于30元/kg.當(dāng)每日銷售

量不低于4000kg時(shí)，每千克成本將降低1元設(shè)板栗公司銷售該板栗的日獲利為W（元）.（1）請(qǐng)求出日獲

利卬與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤(rùn)為

多少元？（3）當(dāng)W240000元時(shí)，網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)將向板栗公可收取〃元/kg（a<4）的相關(guān)費(fèi)用，若此時(shí)日獲利

的最大值為42100元，求a的值.

[套案](1)卬_1一100尤2+550()%—27000(64尤410)

卬一1一1OOf+5600%—32000(10〈尤W30)（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，日獲利最大,

FL最大為46400元；(3)a=2

【分析】（1）首先根據(jù)題意求出自變量x的取值范圍，然后再分別列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）對(duì)于（1）得到的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式在其自變量取值范圍內(nèi)求出最大值，然后進(jìn)行比較，即可得到結(jié)果:

（3）先求出當(dāng)w=40000,即一100%2+5600彳一32000=40000忖的銷售單價(jià)，得當(dāng)

w>40000,20<x<36,從而204x<30,得不=(x—6—a)(—100x+5000)—2000,可知，當(dāng)

x=28+；a時(shí)，臉=42100元，從而有(28+ga-6—a)[—100(28+；a)+5000-2000=42100,

解方程即可得到a的值.

【解析】(1)當(dāng)y之4000,即—100x+5000N4000,."=10.

.:當(dāng)6WxW10時(shí)，w=6+1)(-100x+5000)-2000=-100/+5500A:-27000

2

當(dāng)10<xW30時(shí)，卬=(%—6)(—100x+5000)—2000=-1()()X+5600x-32(X)0.

_J-100x2+5500%-27000(6<x<10)

,,次一[—lOOf+560Gx_32000(10<x<30)

(2)當(dāng)6WxW10時(shí)，w=-100x2+5500x-270(X).

???對(duì)稱軸為x==_c55,?=學(xué)〉］0,.?.當(dāng)x=l(H寸，叫皿=5x4000—2000=18000元.

2a2x(-100)2?

當(dāng)10<x<30時(shí)，w=-100x2+5600x-32000.

二對(duì)稱軸為x=一二=一、；=28,.?.當(dāng)尤=28時(shí)，叱皿=22x2200—2000=46400元.

2。2x(-100)

46400>18000.?.綜合得，當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，日獲利最大，旦最大為46400元.

(3)40000>18000,/.10<x<30,則w=TOO%2+5600%-32000.

令川=40000,則一100/+5600%—32000=40000.解得：石=20,9=36.

在平山直角坐標(biāo)系中畫(huà)出W與X的數(shù)示意圖.觀察示意圖可知：w>40()00,20<^<36.

”=(x—6—a)(-l00%+5000)-2000=-1OOx2+(5600+100a)x-32000—5000a.

b5600+1004-c1

對(duì)稱軸為x-------------------=28-1—a

2a2x(-100)2

a<4,...對(duì)稱軸x=28+'a<30..?.當(dāng)》=28+!”時(shí)，叱11ax=42100元.

22

28+—fz—6—izj—100(28+—1t/j+5000—2000=42100—88a+172=0,q=2,4=86,

2

又a<4,:.a=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程在銷售問(wèn)題中的應(yīng)用，明確成本利潤(rùn)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系及

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

重難點(diǎn)題型

題型1.球類運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題

解題技巧：球類運(yùn)動(dòng)與拋物線息息相關(guān)，如運(yùn)動(dòng)軌跡、速度的變化等。在分析球類問(wèn)題時(shí)，題干一般并未

告知函數(shù)的解析式，僅告知了某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，因此，球類問(wèn)題的解題步驟為：

①根據(jù)圖形中的特殊點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，求解函數(shù)解析式；②轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，并解答

1.（2020?吉林省初三二模）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員在距離籃圈中心水平距離4.4機(jī)處跳起投籃，球沿條拋

物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為2.4加時(shí)，達(dá)到最大高度4m，然后準(zhǔn)確落入籃篋內(nèi).已知籃圈中心距離地

面的高度為3m，則這位運(yùn)動(dòng)員投跳時(shí)，球出手處距離地面的高度力為m.

【答案】2.56

【分析】先根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型，設(shè)球的運(yùn)動(dòng)軌跡y=ax2+c,代入函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出函數(shù)解析式，

再計(jì)算當(dāng)x=-2.4時(shí)y的值即可求解.

【解析】解：設(shè)球的運(yùn)動(dòng)軌跡y=ax?+c,4.4-2.4=2,；.y=ax;:+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,4）,（2,3）,

c=4

4=c?12

代入可得：仁,,解得：＜1,?,y——x+4,

3=4o+ca=——4

當(dāng)x=-2.40寸，y=2.4『+4=2.56,即球出手處距離地面的高度人為2.56m,故答案為：2.56m.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建

模的數(shù)學(xué)思想，難度不大，能夠結(jié)合題意利用二次函數(shù)不同的表達(dá)形式求得解析式是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?山西省初三期末）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為尸，羽毛球

123

飛行的水平距離S（米）與其距地面高度〃（米）之間的關(guān)系式為〃=一一?+-5+-,如圖，已知球網(wǎng)A3

1232

_9

距原點(diǎn)5米，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為了米，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為機(jī)，若乙原地起

跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則機(jī)的取值范圍是.

力/米

［答案J5<w<4+V?

o1?39

【解析】當(dāng)人=（時(shí)，-^52+15+|=^,解得S=4士行；

???扣球點(diǎn)必須在球網(wǎng)右邊,即機(jī)>5,，5<小<4+g.

點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題，求范圍的問(wèn)題，可以選取h等于最大高度，求自變量的值，再

根據(jù)題意確定范圍.

3.（2020?湖北初三期中）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：加）與水平距離x（單位：m）

125

之間的關(guān)系是丫=-丁/+%+求：（1）鉛球在行進(jìn)中的.最大高度；（2）該男生將鉛球推出的距離

1233

是多少m?

【答案】（1）鉛球在行進(jìn)中的最大高度為3m：（2）該男生把鉛球推出的水平距離是10m.

1751

【解析】（1）y=--x2+-x+1=-—（X-4）2+3,

?.?一5<0,???），的最大值為3,.?.鉛球在行進(jìn)中的最大高度為3m.

125

（2）令y=0得：----x2+—x+-=0

1233

解方程得，=10,X2=-2（負(fù)值舍去）.

,該男生把鉛球推出的水平距離是10m.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.

4.（2020?山西省中考真題）豎直上拋物體離地面的高度/?（〃?）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間《5）之間的關(guān)系可以近似地用公

式/1=-5/+%/+%表示，其中片（根）是物體拋出時(shí)離地面的高度，%（a/s）是物體拋出時(shí)的速度.某人

將一個(gè)小球從距地面1.5機(jī)的高處以20/〃/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20,5m

【答案】C

【分析】將4=1.5,%=20代入人=一55+%/+%,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，即可得出答案.

【解析】解：依題意得：%=1.5,%=20,

把％=1.5,%=20代入〃=-5/+卬+小得。=一5/+20/+1.5

20c

當(dāng)—訐聲2時(shí),

/7=-5X4+20X2+1.5=21.5

故小球達(dá)到的離地面的最大高度為：21.5加，故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用利用二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最值是解決本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?湖北省初三其他）小亮同學(xué)參加了學(xué)校體育興趣小組，在今年的校體育節(jié)中參加了跳遠(yuǎn)比賽，若

S7

函數(shù)h=—t--t2（t的單位：s,h的單位：m）可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化，則他起跳后到重心最高

22

時(shí)所用的時(shí)間是

【答案】3

【分析】重心最高點(diǎn)，就是求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)，將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，由此即可得.

,.5727/5、225

【解析】h=-t--t=-—（^-―）^+—

2221456

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，=上時(shí)，h取得最大值，故答案為:5

一s

1414

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（2019?安徽初三月考）如圖所示的是跳水運(yùn)動(dòng)員10機(jī)跳臺(tái)跳水的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)動(dòng)員從10m高A處的

跳臺(tái)上跳出，運(yùn)動(dòng)軌跡成拋物線狀（拋物線所在平面與跳臺(tái)墻面垂直）.若運(yùn)動(dòng)員的最高點(diǎn)M離墻1加，離

40一一

水面q-加，則運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)8離墻的距離OB是

A.2mB.3,mC.4mD.5m

【答案】B

/、,40

【解析】由題意，設(shè)拋物線解析式為y=〃（尢—1）+§,代入A（0,10）得，

10=4（0-1）+~y,解得--1，所以拋物線解析式為y=---（X—1）+}",

in40

-9

當(dāng)y=0時(shí)，——（%1）+?"=（）,解得玉=-1,X2=3.

因?yàn)?點(diǎn)在x軸正半軸，故8點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,所以。8=3,選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，并運(yùn)用拋物線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)題意設(shè)出合

適的解析式是解題的關(guān)鍵.

7.如圖I,排球場(chǎng)長(zhǎng)為18根，寬為9加，網(wǎng)高為2.24根.隊(duì)員站在底線。點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)。的正上方1.9〃?

的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88匹即區(qū)4=2.88九這時(shí)水

平距離08=7"，以直線03為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2.

（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（，w）與水平距離x（相）之間的函數(shù)關(guān)系

式（不必寫(xiě)出x取值范圍）.并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由；

（2）若球過(guò)網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)尸（如圖1,點(diǎn)尸距底線1〃?，邊線0.5機(jī)），問(wèn)發(fā)球點(diǎn)。在

底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：加取1.4）

【答案】（1）這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了，理由詳見(jiàn)解析；（2）發(fā)球點(diǎn)。在底線上且距右邊線0.1米處.

【分析】（1）求出拋物線表達(dá)式，再確定x=9和x=18時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的值即可求解；（2）當(dāng)y=0時(shí)，y=

1,L

--（x-7）-+2.88=0,解得：x=19或-5（舍去-5）,求出2。=60=8.4,即可求解.

【解析】

1

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：(x-7)?2+2.88,將x=0,y=1.9代入上式并解得：,

1

故拋物線的表達(dá)式為：y=~(X-7)7“+2.88；

1

當(dāng)x=9時(shí)，y=------(x-7)-+92.88=2.8>2.24,

50

當(dāng)x=18時(shí)，y=-1(%-7)2+2.88=0.64>0,故這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了；

(2)如圖，分別過(guò)點(diǎn)作底線、邊線的平行線PQ、。。交于點(diǎn)。，

在RtZ\OPQ中，Og=18-1=17,

當(dāng)y=0時(shí)，y=-—(x-7)2+2.88=0,解得：x=19或-5(舍去-5),

.?.OP=19,而。。=17,故2。=6&=8.4,

V9-8.4-0.5-0.1,...發(fā)球點(diǎn)。在底線上且距右邊線0.1米處.

【點(diǎn)睛】此題考查求二次函數(shù)的解析式，利用自變量求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的計(jì)算，勾股定理解直角三角形，二

次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，明確“能否過(guò)網(wǎng)”，“是否出界”詞語(yǔ)的含義找到解題的方向是解答此題

的關(guān)鍵.

題型2.拱橋問(wèn)題

解題技巧：此類題型，需要我們自己建立合適坐標(biāo)系，然后求解函數(shù)解析式，最后根據(jù)解析式求響應(yīng)問(wèn)題。

建立坐標(biāo)系原則：縱坐標(biāo)建在對(duì)稱軸上，橫坐標(biāo)依題意，可隨意選擇

優(yōu)點(diǎn)：①頂點(diǎn)坐標(biāo)容易得出，便于利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求解解析式；

②函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)解析式可設(shè)為：y=ax2+k

③二次函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，實(shí)際問(wèn)題方便求解

(2)解題步驟：

①建立合適的坐標(biāo)系(縱坐標(biāo)建在對(duì)稱軸上)，得出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值

②利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式

③實(shí)際問(wèn)題，需確定函數(shù)取值范圍

④根據(jù)題干要求，分析二次函數(shù)解析式，求解相應(yīng)內(nèi)容。

1.（2020?吉林省初三一模）如圖，有一座拋物線拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20加，如果水位上升

3〃?達(dá)到警戒水位時(shí)，水面CO的寬是10米，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果水位以

02"/〃的速度勻速上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過(guò)力水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)。.

【答案】5

【分析】設(shè)拋物線解析式為y=公2,先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法

可求出a的值，從而可得拋物線的解析式，然后可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，由此即可得.

【解析】由題意，設(shè)拋物線解析式為丁=這2

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于y軸對(duì)稱，A3=20,。。=10

所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為當(dāng)=10，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為W=5

22

100。=n

設(shè)點(diǎn)3（10,則點(diǎn)。（5,〃+3）將點(diǎn)B、D代入拋物線的解析式得：。

25。=〃+3

解得＜“=一天則拋物線解析式為丫=-專/

77=-4一」

1

當(dāng)x=5時(shí)，y=--x592=-l即水面CD到橋拱最高點(diǎn)。的距離為加

則所求的時(shí)間為1+0.2=5（份故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，依據(jù)題意，正確求出拋物線的解析式是解題關(guān)鍵.

2.（2020?東北師大附屬明達(dá)學(xué)校初三二模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋

面相交于AB兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C到AB的距離為4/?,AB=12m,D,E為拱橋底部的兩點(diǎn)，且QE//AB,若

DE的長(zhǎng)為18〃z,則點(diǎn)E到直線AB的距離為一m

【答案】5

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，X軸在直線OE上，y軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)C，設(shè)AB與》軸交于〃，然后

設(shè)該拋物線的解析式為：y=a（x-9）（x+9）,OH=m,代入4和C的坐標(biāo)，得到關(guān)于。和加的二元一次

方程，求解即可.

【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，》軸在直線OE上，）’軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)c.

???設(shè)該拋物線的解析式為：y=a（x-9）（x+9）,

AB=12，AH=BH=6,設(shè)OH=加，則A（-6,"Z）,C（0,m+4）,

m--45a1

代入可得：\,c,，解得。=一=，加=5,故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角坐標(biāo)系.

3.（2020?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1）,它由五個(gè)高度不同，跨徑也

不同的拋物線型鋼拱通過(guò)吊橋，拉鎖與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖

象-拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A,B兩點(diǎn)，拱高為78米（即最高點(diǎn)O到AB的

距離為78米），跨徑為90米（即AB=90米），以最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于AB的直線為X軸建立平面

直角坐標(biāo)系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達(dá)式為（）

13,

D.y=-----------X'

1350

【答案】B

【分析】設(shè)拋物線解析式為y=ax?,由已知可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（45,-78）,利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.

【解析】??,拱高為78米（即最高點(diǎn)O到AB的距離為78米），跨徑為90米（即AB=90米），以最高點(diǎn)O為坐

標(biāo)原點(diǎn)，以平行于AB的直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，

二設(shè)拋物線解析式為y=ax1點(diǎn)B(45,-78),，-78=45%,解得：a=-----

675

.?.此拋物線鋼拱的函數(shù)表達(dá)式為y=-笑V，故選B.

675

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

4.(2020?山西初三期末)如圖1所示的是山西大同北都橋的照片，橋上面的部分是以拋物線為模型設(shè)計(jì)而

成的，從正面觀察該橋的上面部分是一條拋物線，如圖2,若A8=60,OC=15,以A8所在直線為％軸,

拋物線的頂點(diǎn)。在軸上建立平面直角坐標(biāo)系，則此橋上半部分所在拋物線的解析式為()

圖1圖2

1

A.y=-----x2+15B.y=------x?—15c.y=--------x2+15D.y=x2-15

6060240240

【答案】A

【分析】首先設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,由題意可以知道A(-30,0)B(30,0)C(0,15)代入即可得

到解析式.

【解析】解：設(shè)此橋上半部分所在拋物線的解析式為y=ax'bx+c

VAB=60OC=15/.A(-30,0)B(30,0)C(0,15)將A、B、C代入y=ax?+bx+c中

得至I」y=-3x2+15故選A

60

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

5.(2020?浙江初三其他)一隧道內(nèi)設(shè)雙行公路，隧道的高M(jìn)N為6米.下圖是隧道的截面示意圖，并建立

如圖所示的直角坐標(biāo)?系，它是由一段拋物線和一個(gè)矩形CDEF的三條邊圍成的，矩形的長(zhǎng)DE是8米，寬

CD是2米.

?2

（1）求該拋物線的解析式；（2）為