PAGE21-浙江省九加一聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選，錯(cuò)選均不得分）1.設(shè)集合，，則方程表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有()A.6個(gè) B.8個(gè) C.12個(gè) D.16個(gè)【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，對(duì)A中元素進(jìn)行分析即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，一共有6個(gè)符合要求的橢圓，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓焦點(diǎn)的位置，屬于簡(jiǎn)單題.2.設(shè)，則是成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉镽上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，所以由可得（），由可得（），故是成立的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，必要不充分條件，屬于中檔題.3.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)各函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性逐個(gè)推斷即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),不滿意條件．B.函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),為減函數(shù),不滿意條件．C.為增函數(shù),為非奇非偶函數(shù),不滿意條件．D.令，定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù),滿意條件,故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題型.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“…”時(shí)，由到時(shí)，不等試左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別代入，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)．【詳解】由n=k時(shí)，左邊為，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為所以增加項(xiàng)為兩式作差得：，選C.【點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立，其次步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從n0起先的全部的正整數(shù)都成立，兩步缺一不行．5.現(xiàn)某路口對(duì)一周內(nèi)過往人員進(jìn)行健康碼檢查支配7名工作人員進(jìn)行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙兩人須要支配在相鄰兩天，且甲不排在周三，則不同的支配方法有()A.1440種 B.1400種 C.1320種 D.1200種【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①將甲、乙按要求支配，②將剩下的5人全排列，支配在剩下的5天，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析:①要求甲、乙支配在相鄰兩天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、、周六周日看作6個(gè)位置，任選一個(gè)位置，排上甲乙兩人，有種方法，其中甲排在周三去掉，則甲乙的支配方法有種,②將剩下的5人全排列，支配在剩下的5天，有種狀況；由分步計(jì)數(shù)乘法原理知，則有種支配方法.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)肯定值的性質(zhì)，可以化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，運(yùn)用解除法可以選出正確的答案.【詳解】，當(dāng)x＜0時(shí)，．令，由，得，當(dāng)x∈（﹣∞，）時(shí)，，當(dāng)x∈（，0）時(shí)，．所以有極大值為．又，所以的最大值小于0．所以函數(shù)在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，這樣可以解除A、B、C，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.7.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A.減小，減小 B.增大，增大C.增大，減小 D.減小，增大【答案】B【解析】【分析】分別計(jì)算和表達(dá)式，再推斷單調(diào)性.【詳解】,當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),增大，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),增大故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了和計(jì)算，函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合題型.8.已知定義在上的函數(shù)，設(shè)兩曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同，則值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同，得出方程組，即可求解，得到答案.【詳解】依題意，設(shè)曲線與在公共點(diǎn)處的切線相同.因?yàn)?，則，所以，即，∵，解得，.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題，其中解答中嫻熟導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出相應(yīng)的方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，，.分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為12，則取得最大值時(shí)，該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)軸且過左焦點(diǎn)可得，由題意知的周長(zhǎng)為周長(zhǎng)的2倍，可得，化簡(jiǎn)得，轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)確定取最值時(shí)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋园汛腚p曲線方程可得：，故，因?yàn)椋?，周長(zhǎng)為12，所以的周長(zhǎng)為24，即，所以，化簡(jiǎn)得：，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)函數(shù)有唯一極大值也是最大值，此時(shí)，，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義、離心率等,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求詳細(xì)函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬中檔題.10.下列函數(shù)使方程的實(shí)根個(gè)數(shù)最多的為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，寫出詳細(xì)方程，轉(zhuǎn)化為推斷對(duì)應(yīng)的方程有解無解，有解時(shí)根的個(gè)數(shù)問題.【詳解】對(duì)于A，由可得，即，解得共有2個(gè)實(shí)數(shù)根；對(duì)于B，由可得，因?yàn)椋?，所以方程無實(shí)根；對(duì)于C，由可得，在區(qū)間上，所以成立，明顯時(shí)也成立，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)知，方程只有一解；對(duì)于D，由，可解的，所以原方程等價(jià)于或，解得，故方程有4個(gè)根.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了推斷方程的根的個(gè)數(shù)問題，涉及函數(shù)與方程思想，分類探討，屬于難題.二、填空題（本大題共7題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）11.若全集，，，______；______.【答案】(1).(2).或【解析】【分析】依據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，即可求解.【詳解】，，，，或，故答案為：；或【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.12.已知隨機(jī)變量X，Y滿意，，則______；______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用公式，干脆計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，又?,故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)分布及期望、方差的運(yùn)算，考查了推理運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.13.用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的6位自然數(shù).（1）可以組成______個(gè)不同的偶數(shù)；（2）若要求相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同，則可以組成______個(gè).（用數(shù)字作答）.【答案】(1).312(2).60【解析】【分析】(1)依據(jù)尾數(shù)為0或尾數(shù)2或4分別求解即可；(2)分首位為偶數(shù)和奇數(shù)分別求解即可.【詳解】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的6位自然數(shù)，（1）末位為0時(shí)有：個(gè)；末位為2或4時(shí)有：個(gè)，故共有個(gè)偶數(shù).（2）若首位為偶數(shù)，則首位不為0，有，若首位為奇數(shù)，則有：個(gè)；故共有：個(gè).故答案為：312；60【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，分類探討的思想，計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.14.設(shè)，則_______.【答案】5【解析】分析：先求出值，再賦值，即可求得所求式子的值.詳解：由題易知：令，可得∴＝5故答案為5點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理的有關(guān)學(xué)問，關(guān)鍵是依據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)合理賦值，屬于中檔題.15.已知定義在R上的奇函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，則使得成立的x的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到在是減函數(shù)，再依據(jù)為奇函數(shù)，（1），畫稀奇函數(shù)圖象的大致形態(tài)，數(shù)形結(jié)合即可解得的解集．【詳解】設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又為定義在上的奇函數(shù)，為奇函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減．再由，得（1）．作出函數(shù)圖象的大致形態(tài)如圖，由圖可知，當(dāng)，，時(shí)，，則．又為定義在上的奇函數(shù)，．綜上，使得成立的的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．16.已知橢圓，為y軸上一動(dòng)點(diǎn).若存在以點(diǎn)P為圓心圓P與橢圓C有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓P的方程，聯(lián)立橢圓方程，可得關(guān)于y的二次方程，利用判別式為0,以及圓P經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)，可得圓與橢圓有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，同理可得圓過且與橢圓有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合可求出的取值范圍.【詳解】由題意，設(shè)圓P的方程為，聯(lián)立橢圓可得：，由可得：①，由圓P過點(diǎn)，可得：②，由①②可得，同理，由圓P過點(diǎn)時(shí)可得，如圖，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，以P為圓心的圓與橢圓C有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算實(shí)力、推理實(shí)力，屬于中檔題.17.若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】函數(shù)不存在零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程無實(shí)根，等價(jià)于無解，求出的取值范圍，即可求解.【詳解】函數(shù)要有意義，則需，解得，所以，又，所以，函數(shù)定義域?yàn)?，因函?shù)不存在零點(diǎn)，所以方程無實(shí)根，平方可得：無實(shí)根，，，因?yàn)榉匠虩o實(shí)根，所以或，解得或，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)，方程的根的判定，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.三、解答題（本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18.一個(gè)袋子里裝有7個(gè)球，其中有紅球4個(gè).白球3個(gè).這些球除顏色外全相同.（1）若一次從袋中取出3個(gè)球，取出的球顏色不完全相同的概率；（2）若一次從袋中取出3個(gè)球.其中若取到紅球得0分，取到白球得1分，記隨機(jī)變量為取出的三個(gè)小球得分之和，求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)組合學(xué)問可知一次從袋中取出3個(gè)球的基本領(lǐng)件總數(shù)為，分類可知取出的球顏色不完全相同的取法總數(shù)，利用古典概型求解即可；（2）的可能取值為0,1,2,3，利用古典概型分別計(jì)算其概率，列出分布列，求期望即可.【詳解】（1）一次從袋中取出3個(gè)球的基本領(lǐng)件總數(shù)為種.設(shè)“取出的球顏色不完全相同”為事務(wù)A，共有兩大類，兩紅一白：，兩白一紅：，.（2）3個(gè)紅球得0分：；2紅1白得1分：；1紅2白得2分：；3個(gè)白球得3分：；0123.【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合的應(yīng)用，古典概型，隨機(jī)變量的分布列，期望，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，E為PB的中點(diǎn).（1）證明：平面平面PBC；（2）求直線PD與平面AEC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）可先證明，，從而平面PBC，由此能證明平面平面PBC；（2）推導(dǎo)出,以C為原點(diǎn)，在平面ABCD中過C作CD的垂線為x軸，CD為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法直線PD與平面AEC所成角的正弦值【詳解】（1）證明：由平面ABCD，故.又，，，所以.故，又，所以平面PBC，又平面所以平面平面PBC.（2）平面ABCD，故.又，.如圖建立坐標(biāo)系，，，，，，.∴，，.設(shè)平面ACE的一個(gè)法量為，由，得，取，則故，設(shè)直線PD與平面AEC所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等，屬于中檔題.20.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在處取得極大值.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若方程好有兩個(gè)不同的根求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題意知，且處取得極大值，即可求出的范圍；（2）依據(jù)（1）可求出函數(shù)在時(shí)的微小值，只需當(dāng)時(shí)，方程恰好有兩個(gè)不同的根，即可求解.【詳解】（1），，，，∴，由或，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得極大值，所以所以的取值范圍是.（2）由表：100遞增極大值遞減微小值遞增依題意得：，解得：，所以函數(shù)的解析式是：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，考查學(xué)生的分析實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.21.如圖，過點(diǎn)作直線l交拋物線C：于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在P，B之間），設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)A作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D.（1）求證：；（2）求的面積S的最大值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)即可得到證明；（2）由，求得的范圍，點(diǎn)A在P、B之間，可得，求得D的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解面積的最大值．【詳解】（1）由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，則所以．（2）由（1）可得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在P，B之間，所以，所以，由已知可設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)D在直線：上可得，所以的面積，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋傻脮r(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，