高級中學名校試卷PAGEPAGE2上海市2024屆高考數(shù)學模擬測試卷06（臨考押題卷03）一、填空題1．已知集合，，則．〖答案〗〖解析〗由題意，，，．故〖答案〗為：2．復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.故〖答案〗為：.3．函數(shù)的定義域為．〖答案〗〖解析〗要使有意義，則當且僅當，解得，即函數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.4．已知的展開式中項的系數(shù)為，則．〖答案〗〖解析〗由題意得，解得，故〖答案〗為：5．若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗當時，不等式為，顯然不符合題意；當時，因為關于的不等式的解集為，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是，故〖答案〗為：6．已知，則．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，所以．故〖答案〗為：.7．等差數(shù)列中，若，，則的前10項和為.〖答案〗〖解析〗等差數(shù)列，，，解得，故，則的前10項和為.故〖答案〗為：.8．同時拋擲三枚相同的均勻硬幣，設隨機變量表示結果中有正面朝上，表示結果中沒有正面朝上，則.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，，所以，所以．故〖答案〗為：.9．已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則．〖答案〗〖解析〗如圖所示，因為，且則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗為：.10．已知平面向量滿足，則的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗不妨設，則，由，可得，則，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.11．已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．〖答案〗13〖解析〗∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故〖答案〗為：13.12．對于定義在非空集上的函數(shù)，若對任意的，當，有，則稱函數(shù)為“準單調遞增函數(shù)”,若函數(shù)的定義域，值域，則在滿足這樣條件的所有函數(shù)中，為“準單調遞增函數(shù)”的概率是．〖答案〗〖解析〗若函數(shù)的值域為，則有1個函數(shù)，所以值域為單元素的函數(shù)有3個，若值域為，將定義域中的元素分組為3,3，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,4，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,5，則有個函數(shù)，則共有個函數(shù)，所以值域為雙元素的函數(shù)共有個函數(shù)；若值域為，將定義域中的元素分組為1,2,3，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,2,2，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,1,4，則有個函數(shù)，則共有個函數(shù)，綜上可知，共有個函數(shù)，其中，若函數(shù)為增函數(shù)，當值域為單元素集合，有3個函數(shù)，滿足條件，當值域有2個元素，將元素1,2,3,4,5,6中間隔1塊板，有5種方法，則有個函數(shù)，若值域有3個元素，則將元素1,2,3,4,5,6中間隔2塊板，有種方法，即有10個函數(shù)，綜上可知，為增函數(shù)的函數(shù)有個函數(shù)，所以為增函數(shù)的概率.故〖答案〗為：二、單選題13．已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又因為，所以，即“”是“”的充分條件；如圖，在長方體中，設面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．某單位共有A、B兩部門，1月份進行服務滿意度問卷調查，得到兩部門服務滿意度得分的頻率分布條形圖如下.設A、B兩部門的服務滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A．， B．，C．， D．，〖答案〗C〖解析〗根據(jù)頻率分布條形圖可知，，即；顯然A部門得分數(shù)據(jù)較B部門更為集中，其方差更小，即；故選：C15．設，利用函數(shù)單調性比大小，可得（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令，則，當時，在上單調遞減，又，所以在上恒成立，所以，即，因為，所以，又，所以，即，又，所以，因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.16．中國結是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復雜奇妙的曲線．用數(shù)學的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對應著數(shù)學曲線中的雙紐線．在平面直角坐標系中，把與定點、距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，記為曲線.關于曲線，有下列兩個命題：①曲線上的點的橫坐標的取值范圍是；②若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為.則（

）A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題C．①為真命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題〖答案〗B〖解析〗對于①：由伯努利雙紐線的定義可知，曲線C的方程為:，化簡得，設，則方程化為設上述方程的兩個根為,則至少有一個大于等于0則需有由于，，解得，①為假命題；對于②：直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，將代入曲線方程中得，方程無非零解，即無實數(shù)解，故有，所以，解得或，故②為真命題.故選：B.三、解答題17．在中，、、分別是內角、、的對邊，，，.(1)求的值；(2)求的值.解：(1)由余弦定理知，即，整理得，解得或（舍負），故.(2)∵，且，∴，由正弦定理知，即，得，∴.18．如圖，三棱柱是所有棱長均為2的直三棱柱，分別為棱和棱的中點．(1)求證：面面；(2)求二面角的余弦值大?。?1)證明：為棱中點，為正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；(2)解：由(1)得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值為．

方法二：以為原點，建立直角坐標系如圖：則，，，設平面、平面的法向量分別為，，可以是可以是，二面角的余弦值為．19．生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學生80604020大學生30202010假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關系.（結論不要求證明）解：(1)從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.(2)因為抽取的人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，，所以的分布列為：所以.(3)，證明如下：，，所以.，，所以.數(shù)據(jù)：，，，，，，，，對應的平均數(shù)為所以所以.20．如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓：的左，右焦點外別為，，設P是第一象限內上的一點，、的延長線分別交于點、．(1)求的周長；(2)求面積的取值范圍；(3)設、分別為、的內切圓半徑，求的最大值．解：(1)，為橢圓的兩焦點，且，為橢圓上的點，，從而的周長為．由題意，得，即的周長為.(2)由題意可設過的直線方程為，聯(lián)立，消去x得，則，所以，令，則（當時等號成立，即時）所以,故面積的取值范圍為.(3)設，直線的方程為：，將其代入橢圓的方程可得，整理可得，則，得，，故．當時，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，因為，所以，當且僅當時，等號成立.若軸時，易知，，，此時，綜上，的最大值為.21．已知.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求證：；(3)若，，數(shù)列滿足，．求證：當時，．(1)解：當時，，所以曲線在點處的切線方程為.；(2)證明：由，得：，令，則，原方程可化為：①，則是方程①的兩個不同的根，所以，解得，所以，因為，所以，所以；(3)證明：由題意可知，，所以，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，因為，所以，，以此類推，當時，，又，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以，所以，即，故.上海市2024屆高考數(shù)學模擬測試卷06（臨考押題卷03）一、填空題1．已知集合，，則．〖答案〗〖解析〗由題意，，，．故〖答案〗為：2．復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.故〖答案〗為：.3．函數(shù)的定義域為．〖答案〗〖解析〗要使有意義，則當且僅當，解得，即函數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.4．已知的展開式中項的系數(shù)為，則．〖答案〗〖解析〗由題意得，解得，故〖答案〗為：5．若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗當時，不等式為，顯然不符合題意；當時，因為關于的不等式的解集為，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是，故〖答案〗為：6．已知，則．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，所以．故〖答案〗為：.7．等差數(shù)列中，若，，則的前10項和為.〖答案〗〖解析〗等差數(shù)列，，，解得，故，則的前10項和為.故〖答案〗為：.8．同時拋擲三枚相同的均勻硬幣，設隨機變量表示結果中有正面朝上，表示結果中沒有正面朝上，則.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，，所以，所以．故〖答案〗為：.9．已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則．〖答案〗〖解析〗如圖所示，因為，且則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗為：.10．已知平面向量滿足，則的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗不妨設，則，由，可得，則，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.11．已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．〖答案〗13〖解析〗∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故〖答案〗為：13.12．對于定義在非空集上的函數(shù)，若對任意的，當，有，則稱函數(shù)為“準單調遞增函數(shù)”,若函數(shù)的定義域，值域，則在滿足這樣條件的所有函數(shù)中，為“準單調遞增函數(shù)”的概率是．〖答案〗〖解析〗若函數(shù)的值域為，則有1個函數(shù)，所以值域為單元素的函數(shù)有3個，若值域為，將定義域中的元素分組為3,3，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,4，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,5，則有個函數(shù)，則共有個函數(shù)，所以值域為雙元素的函數(shù)共有個函數(shù)；若值域為，將定義域中的元素分組為1,2,3，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,2,2，則有個函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,1,4，則有個函數(shù)，則共有個函數(shù)，綜上可知，共有個函數(shù)，其中，若函數(shù)為增函數(shù)，當值域為單元素集合，有3個函數(shù)，滿足條件，當值域有2個元素，將元素1,2,3,4,5,6中間隔1塊板，有5種方法，則有個函數(shù)，若值域有3個元素，則將元素1,2,3,4,5,6中間隔2塊板，有種方法，即有10個函數(shù)，綜上可知，為增函數(shù)的函數(shù)有個函數(shù)，所以為增函數(shù)的概率.故〖答案〗為：二、單選題13．已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又因為，所以，即“”是“”的充分條件；如圖，在長方體中，設面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．某單位共有A、B兩部門，1月份進行服務滿意度問卷調查，得到兩部門服務滿意度得分的頻率分布條形圖如下.設A、B兩部門的服務滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A．， B．，C．， D．，〖答案〗C〖解析〗根據(jù)頻率分布條形圖可知，，即；顯然A部門得分數(shù)據(jù)較B部門更為集中，其方差更小，即；故選：C15．設，利用函數(shù)單調性比大小，可得（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令，則，當時，在上單調遞減，又，所以在上恒成立，所以，即，因為，所以，又，所以，即，又，所以，因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.16．中國結是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復雜奇妙的曲線．用數(shù)學的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對應著數(shù)學曲線中的雙紐線．在平面直角坐標系中，把與定點、距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，記為曲線.關于曲線，有下列兩個命題：①曲線上的點的橫坐標的取值范圍是；②若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為.則（

）A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題C．①為真命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題〖答案〗B〖解析〗對于①：由伯努利雙紐線的定義可知，曲線C的方程為:，化簡得，設，則方程化為設上述方程的兩個根為,則至少有一個大于等于0則需有由于，，解得，①為假命題；對于②：直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，將代入曲線方程中得，方程無非零解，即無實數(shù)解，故有，所以，解得或，故②為真命題.故選：B.三、解答題17．在中，、、分別是內角、、的對邊，，，.(1)求的值；(2)求的值.解：(1)由余弦定理知，即，整理得，解得或（舍負），故.(2)∵，且，∴，由正弦定理知，即，得，∴.18．如圖，三棱柱是所有棱長均為2的直三棱柱，分別為棱和棱的中點．(1)求證：面面；(2)求二面角的余弦值大小．(1)證明：為棱中點，為正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；(2)解：由(1)得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值為．

方法二：以為原點，建立直角坐標系如圖：則，，，設平面、平面的法向量分別為，，可以是可以是，二面角的余弦值為．19．生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學生80604020大學生30202010假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜