專題04解三角形小題一．正余弦定理解三角形1．（2324高一下·江蘇南京·月考）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，且，所以，即，所以由余弦定理得.故選：D2．（2324高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得.故選：A3．（2324高一下·廣東佛山·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，且，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由正弦定理角化邊得，又，所以①，由余弦定理得②，聯(lián)立①②求解得，所以.故選：D4．（2324高一下·湖南·期中）設的內角的對邊分別為，已知，且，則角（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，由正弦定理，得，或.又.故選：B.5．（2324高一下·重慶萬州·期中）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因為，所以.故選：A.二．三角形解的個數問題1．（2324高一下·福建南平·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，已知，則此三角形（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數不確定【答案】C【解析】由正弦定理，得，解得，因為，所以，又因為，所以或，故此三角形有兩解.故選：C.2．（2324高一下·福建廈門·月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數不確定【答案】A【解析】由，得，又，，故只能為銳角，即，故該三角形只有一解．故選：A.3．（2324高一下·遼寧·期中）在中，，，，則“恰有一解”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得，方程的判別式，①，解得．當時，轉化為，解得符合題意；當時轉化為，解得不符合題意；②，且兩根之積，可得有一正根和一負根，負根舍去，此時有一解，此時；③，且兩根之積，解得，當時，，解得符合題意；當時，解得不符合題意；故若有一解，則或，故“恰有一解”，是“”的必要不充分條件故選：B．4．（2324高一下·浙江寧波·期中）在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設，過作于，如下圖示，則，可得時，三角形有兩解.當，即時，三角形不存在；當或時，△分別對應等邊三角形或直角三角形，僅有一個三角形；當時，在射線方向上有一個△，而在射線方向上不存在，故此時僅有一個三角形；故選：B5．（2324高一下·河南周口·月考）在中，，，．若利用正弦定理解有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，，過作于，則，以為圓心，為半徑畫圓弧，要使有兩個解，則圓弧和邊應該有兩個交點，故且，即，解得．故選：B.三．三角形的形狀判斷1．（2324高一下·浙江·月考）已知，，分別是三內角，，的對邊，則“”是“為直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】在中，由正弦定理可得：，由，可得：，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以為直角三角形，故“”是“為直角三角形”的充分條件；若為直角三角形，設，，則，所以，所以，所以“”不是“為直角三角形”的必要條件；即“”是“為直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.2．（2324高一下·山東·期中）在中，若，則這個三角形是（

）A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因為，由正弦定理可得，化簡可得，即，即，所以或，即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故選：A3．（2324高一下·云南麗江·月考）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由及正弦定理可得，得，故（舍去）或，即，又，所以，因，，得，故，故是等邊三角形，故選：B4．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）已知中，角的對邊分別是，若，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，結合正弦定理可得，所以，又因為是的內角，故，所以是等邊三角形.故選：B.5．（2324高一下·河南安陽·期中）（多選）已知的內角所對的邊分別為下列說法錯誤的是（

）A．若，則是等腰三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是直角三角形D．“”是“是等邊三角形”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】對于A項，由和正弦定理，，即，故得或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A項錯誤；對于B項，因，由余弦定理，，代入化簡得，，即得，故是等邊三角形，故B項錯誤；對于C項，由和正弦定理，,化簡得，(*)，因,則,代入(*),得，因，，則，故,即C項正確；對于D項，若是等邊三角形，則,即必成立，故“”是“是等邊三角形”的必要條件，故D項錯誤.故選：ABD.四．三角形的面積與周長問題1．（2324高一下·云南·月考）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為，角是銳角，所以，由余弦定理，，解得，所以的面積.故選：B.2．（2324高一下·浙江麗水·期中）已知在中，三個內角的對邊分別為，若，，邊上的高等于，則的面積為（

）A． B．9 C． D．【答案】A【解析】由，即，得，所以.故選：A.3．（2023·內蒙古赤峰·二模）在中，內角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【解析】，由正弦定理得，，又，所以，因為，所以，故，因為，所以，由三角形面積公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長為.故選：B4．（2324高一下·廣西欽州·期中）在中，角所對的邊分別為若且的外接圓的半徑為則面積的最大值為．【答案】【解析】在中，由正弦定理得由余弦定理得因為為的內角，則，所以因為的外接圓的半徑為由正弦定理得所以由余弦定理得即因為所以當且僅當時取等號，故的面積所以面積的最大值為5．（2324高一下·重慶渝中·期中）在中，角對應的邊分別為，已知，且，則，的面積為．【答案】/0.5【解析】因為，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，因為，所以；因為在中，由正弦定理，即，所以，所以，所以，所以，所以或（舍），因為的面積為．五．三角形的外接圓問題1．（2324高一下·江西·月考）在中，，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得的外接圓的半徑，所以的外接圓的面積．故選:．2．（2324高一上·甘肅定西·開學考試）如圖，內接于，若，，，則的半徑是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】中，由余弦定理知，，則，由正弦定理，外接圓半徑為R，則，所以的半徑是.故選：A3．（2324高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，若邊上的中線，則的外接圓面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，又是中點，所以，又，所以，即，解得（負值舍去），所以，則，所以，即，所以的外接圓面積為，故選：A.4．（2324高一下·浙江·月考）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則．【答案】3【解析】因為，所以，因為，所以，所以，，所以，又因為，所以，從而，又外接圓的半徑為，所以由正弦定理得．5．（2324高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，若，則外接圓半徑為.【答案】【解析】由及正弦定理得，即，即，由，則，所以，因為，所以，所以，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為.六．解三角形在幾何中的應用1．（2324高一下·山西·月考）已知非直角三角形，是的重心，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】因為是的重心，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以.故選：D2．（2324高一下·重慶·期中）內角對應邊分別為．若，，點在邊上，并且，為的外心，則之長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連結，因為，根據正弦定理得，則，即，且外接圓半徑，即在中，，，所以，且，在中，，所以.故選：B3．（2324高一下·江西撫州·期中）已知中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得D為BC中點，因為，故，在中，由正弦定理，①，在中，由正弦定理，②，兩式相除可得，；設，而，可得，則.故選：D.4．（2324高一下·重慶·期中）如圖，已知，，為邊上的兩點，且滿足，．則當取最大值時，的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設，分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：.故得：.設，在中，由余弦定理，，因，則，當且僅當時，等號成立，此時，因，故，取得最大值，此時的面積等于.故選：C5．（2324高一下·江蘇·月考）（多選）如圖，的角所對的邊分別為，，且，若點在外，，則下列說法中正確的有（

）A．B．C．四邊形面積的最大值為D．四邊形面積的最大值為【答案】ABC【解析】因為，由正弦定理得，即，因為，可得，所以，又因為，可得，所以，所以為等邊三角形，可得，，所以A、B正確；設，在中，由余弦定理得，且，可得，所以四邊形的面積為，當時，四邊形的面積最大，最大值為，所以C正確，D錯誤.故選：ABC.七．解三角形與向量結合1．（2324高一下·吉林長春·期中）在中，內角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，即，由余弦定理可得.因為，所以，故選：D.2．（2324高一下·吉林白城·月考）在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，向量，向量，且滿足，則角A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，向量，且，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，因為，所以，故選：C.3．（2324高一下·重慶渝中·月考）在中，角、、的對邊分別為、、，若，又的面積，且，則（

）A．64 B．84 C．69 D．89【答案】C【解析】由，得，所以，則，即，即，又，即，又，得，聯(lián)立、、，解得，則，即，由，平方知，所以.故選：C.4．（2324高一下·內蒙古赤峰·月考）中，、、分別是內角、、的對邊，若且，則形狀是（

）A．有一個角是的等腰三角形 B．頂角是的等腰三角形C．等腰直角三角形 D．不能確定三角形的形狀【答案】C【解析】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線交于點，則是邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：C5．（2324高一下·四川眉山·月考）設向量滿足，與的夾角為，則的最大值為【答案】4【解析】如圖所示，設因為，所以，因為，所以，，，所以四點共圓,因為，，所以，由正弦定理知，即過四點的圓的直徑為4，所以||的最大值等于直徑4.八．正余弦定理的實際應用1．（2324高一下·湖南·月考）某班同學利用課外實踐課，測量兩地之間的距離，在處測得兩地之間的距離是4千米，兩地之間的距離是6千米，且，則兩地之間的距離是（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【解析】由余弦定理可得，則.故選：A2．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）高一年級的全體同學參加了主題為《追尋紅色足跡，青春在歷練中閃光》的社會實踐活動.在參觀今世緣酒業(yè)廠區(qū)時，有一個巨大的方鼎雕塑.若在B?C處分別測得雕塑最高點的仰角為30°和20°，且，則該雕塑的高度約為（

）（參考數據）A．4.92 B．5.076 C．5.91 D．7.177【答案】C【解析】在中，由正弦定理得：，所以，在中，；故選：C.3．（2324高一下·河南商丘·月考）北京天安門廣場中心屹立著一座中國最大的紀念碑——人民英雄紀念碑，它專門為緬懷近現代英雄而建，它不僅僅是一個簡單的建筑，更是民族精神的象征.某學生為測量該紀念碑的高度，選取與碑基在同一水平面內的兩個測量點.現測得米，在點處測得碑頂的仰角為，則紀念碑高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．故選：A4．（2324高一下·遼寧·期中）2023年下半年開始，某市加快了推進“5G+光網”雙千兆城市建設.如圖，某市區(qū)域地面有四個5G基站A，B，C，D.已知C，D兩個基站建在江的南岸，距離為，基站A，B在江的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（

）A． B． C．40km