靜電場

6-1.直角三角形ABC的4點(diǎn)上，有電荷力=1.8xl0-9c,8點(diǎn)上有電荷

%=—4.8x10-9(3,試求。點(diǎn)的電場強(qiáng)度(設(shè)6C=0.04m,A

AC=0.03m)。

解：力在c點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)：E=—JJ,

4。Gc

生在C點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)：E2——%]—j,"卜、

4冗20Gc

；.C點(diǎn)的電場強(qiáng)度：￡=￡1+￡,=2.7xlO4F+1.8xlO4j；叔彳'B

C點(diǎn)的合場強(qiáng)：E=jE『+相=3.24x104%,'■"

1Q

方向如圖：a=arctan—=33.7°=33°42'。

2.7

6-2.用細(xì)的塑料棒彎成半徑為50cm的圓環(huán)，兩端間空隙為2cm,電量為3.12xlO^c的

正電荷均勻分布在棒上，求圓心處電場強(qiáng)度的大小和方向。

解：?.?棒長為/=2萬廠一"=3.12機(jī)，

電荷線密度：/L=%=1.0xl(y9c.m-\

可利用補(bǔ)償法，若有一均勻帶電閉合線圈，則圓心處的合場強(qiáng)為0,有一段空隙，則圓

心處場強(qiáng)等于閉合線圈產(chǎn)生電場再減去d=0.02加長的帶電棒在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，即所求

問題轉(zhuǎn)化為求缺口處帶負(fù)電荷的塑料棒在。點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)。

解法1：利用微元積分：

九Rd。

dE()xCOS。，

卞

Eo=Pcosddd=——?2sina?！?la=，=0.72V-m\

4TTQR414萬

解法2：直接利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式：

由于d?r,該小段可看成點(diǎn)電荷：/=2d=2.0x10-”C,

9

則圓心處場強(qiáng)：E()=4,=9.0xlOx20xl°=072y.m-\

22

04TT￡0R(0.5)

方向由圓心指向縫隙處。

6-3.將一“無限長”帶電細(xì)線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，電

OO

R\

一OO

B

荷線密度為X,四分之一圓弧AB的半徑為R,試求圓心。點(diǎn)的場強(qiáng)。

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立X。），坐標(biāo)，如圖所示。

①對于半無限長導(dǎo)線48在。點(diǎn)的場強(qiáng):

2/71、

EAX(COSy-COS^)

4兀4R

有：,

2

%(sin^-sin")

4萬%R

②對于半無限長導(dǎo)線38在。點(diǎn)的場強(qiáng):

廠之/?.冗、

ERV=---------(sinsin-)

外4叫R2

「人,冗、

ER=---------(cos——COS71)

yV

B4兀％R2

③對于A8圓弧在。點(diǎn)的場強(qiáng)：有:

*2-zcosOdG=-A-(sin--sinn)

1)4乃￡()/?4乃4R2

2

EAI)y=-sin0d0=———(cos--cos

■小4?￡0&4兀％R2

422

???總場強(qiáng)：E0y

EOx=得：EoG+J)。

4〃￡()R4TT￡0R4兀￡°R

V22

或?qū)懗蓤鰪?qiáng):E=M+E1方向450。

4兀4R

6-4.?個半徑為R的均勻帶電半圓形環(huán)，均勻地帶有電荷，電荷的線密度為A，和;心處。

點(diǎn)的場強(qiáng)E。

dq

解：電荷元為產(chǎn)生的場為：dE=

4萬備用?

根據(jù)對稱性有：\dEy=0,貝小

2/?sinOdO

E=\dEx=\dEsinO=[

4萬2兀%R

方向沿尤軸正向。即：E=——

2兀S&R

6-5.帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度

X

y

為2=4（^119，式中幾0為一常數(shù)，0為半徑R與x軸

所成的夾角，如圖所示.試求環(huán)心。處的電場強(qiáng)度。

Zdl/insin6?<76?

解：如圖，dE=M―一匕工，

47r￡0R~4TTS0R

dEx=dEcos(p

考慮到對稱性,有:Ex=0；

dEy=dEsin(p

-

20sin(pd(p_Ao(1-cos2(p')d(p_4)

E=JjEv=p/Esin(p=

114萬/R4兀％R284R

方向沿y軸負(fù)向。

6-6.一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為。，求球心。處的電場強(qiáng)度。

解：如圖，把球面分割成許多球面環(huán)帶，環(huán)帶寬為=所帶電荷：dq=2兀rbdl。

6-7.圖示一厚度為△的“無限大”均勻帶電平板，電荷體密度為。。求

板內(nèi)、外的場強(qiáng)分布，并畫出場強(qiáng)隨坐標(biāo)X變化的圖線，即E-x圖線（設(shè)

原點(diǎn)在帶電平板的中央平面上，Ox軸垂直于平板）。

解：在平板內(nèi)作一個被平板的中間面垂直平分的閉合圓柱面S,為高斯面,

當(dāng)卜歸卷時,由［后dS=2E-AS和Zq=2x/?AS,

JS］

有：E=吐:

*0

當(dāng)■時，由［E-dS=2E-AS和=,

LJ5‘2

有：E=也。圖像見右。

2號

6-8.在點(diǎn)電荷q的電場中，取一半徑為R的圓形平面（如圖所示）,

R

平面到q的距離為d,試計(jì)算通過該平面的E的通量.

d

解：通過圓平面的電通量與通過與A為圓心、AB為半徑、圓的平面

為周界的球冠面的電通量相同。

【先推導(dǎo)球冠的面積：如圖，令球面的半徑為r,有r7d2+可,

球冠面--條微元同心圓帶面積為：dS=2兀rsinBrdB

O

球冠面的面積：S=12萬rsinO"de=2%/cos。°d

JOcosG=—

=2萬/(1-4)】

r

?球面面積為：S球面=4〃/，通過閉合球面的電通量為：①閉八球面=2，

￡。

小.①球冠上理1S1(1—4).2=JL(1--d

??①球冠

①球面球冠s2r%2%^R~+d2

6-9.在半徑為R的“無限長”直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為p,求圓柱體內(nèi)、外的

場強(qiáng)分布，并作?關(guān)系曲線。

解：由高斯定律,考慮以圓柱體軸為中軸，半徑為廣，長為/的高斯面。

(1)當(dāng)r<R時，2兀rl,E=P，r/,有后=":

42

(2)當(dāng)，>??時,2兀rl-E=空巴貝U：E=^--

2￡。r

2%r

圖見右。

6-10.半徑為叫和R?(R<危)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度分別帶有電量義和-丸，

試求：(1)r<&；(2)R,<r<R2；(3)r>此處各點(diǎn)的場強(qiáng)。

4后抵=:牛。

解：利用高斯定律:

占0S內(nèi)

(1)r<R］時，高斯面內(nèi)不包括電荷，所以:&=0；

2/2

（2）&＜r＜此時，利用高斯定律及對稱性，有：2萬尸/馬=」，貝小E2

￡（）27T￡or

（3）廠＞&時，利用高斯定律及對稱性，有：2兀嶼=0,貝小芻=0；

E0r<Rt

即：E---------rR]<r<R2,,

27C￡ar

E=0>R2

6-11.一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為0的正電荷，若保持電荷分布不變,

隹”球體中挖去半徑為r的一個小球體，球心為。'，兩球心間距離

00,,如圖所示。求：

（1）在球形空腔內(nèi)，球心。'處的電場強(qiáng)度E。：

（2）在球體內(nèi)尸點(diǎn)處的電場強(qiáng)度E,設(shè)。'、。、P三點(diǎn)在同一直徑上，且。P=d。

解：利用補(bǔ)償法，可將其看成是帶有電荷體密度為夕的大球和帶有電荷體密度為一P的小球

的合成。

（1）以。為圓心，過。'點(diǎn)作一個半徑為d的高斯面，根據(jù)高斯定理有：

f-=2±wd3=E『小,方向從。指向O'；

及￡。33%

（2）過P點(diǎn)以。為圓心，作一個半徑為d的高斯面。根據(jù)高斯定理有：

fE-dG=2?七兀cPnEp、=過，方向從。指向P,

過P點(diǎn)以。'為圓心，作一個半徑為2d的高斯面。根據(jù)高斯定理有：

IE-dS=----=>=

h網(wǎng)32

3sod

E=Ep+Ep=0(d----7)>方向從。指向尸o

44344d2，

6-12.設(shè)真空中靜電場后的分布為E=cxf,式中c為常量，求空間電荷的分布。

解：如圖，考慮空間一封閉矩形外表面為高斯面,

有：ff￡-JS=cx0-A5

由高斯定理：j|￡JS=—

q，

一％5內(nèi)

[p(x)NSdx

設(shè)空間電荷的密度為夕（X），有:cx0-AS=

￡。

/.j°p(x)rfx=°￡ocdX,可見P(x)為常數(shù)=>p-S^Co

6-13.如圖所示，一錐頂角為。的圓臺，上下底面半徑分別為凡和A2，在它的側(cè)面上均勻

帶電，電荷面密度為求頂點(diǎn)。的電勢.（以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)）

解：以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，沿軸線方向豎直向下為X軸，在側(cè)面上取環(huán)面元，I

ndx

如圖示，易知，環(huán)面圓半徑為：r=xtan—,環(huán)面圓寬：d1=

2e

cos—

2

dS-Inr-dI-In-xtan—?"—,

2e

cos

2

利用帶電量為q的圓環(huán)在垂直環(huán)軸線上X。處電勢的表達(dá)式:

1_q_

V，+

c0dx

bln-xtan---------人

20

COS-A

12b夕/

有：dU—?-=-------tan—ax,

/7-0722242

《(xtan-)+x

nn

考慮到圓臺上底的坐標(biāo)為：Xj=/?jCOt-,X2=R2cot-,

r<2cr0.a0「曲84」(7(R)_RJ

：.U-----tan-Jx--------tan-dx=—^——U

%242242加co*24

6-14.電荷量Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試求：離球心廠處（r<R）尸點(diǎn)的電勢。

解：利用高斯定律：J[,月1~2夕可求電場的分布。

,./s內(nèi);

Q__lL,有.

⑴"R時，4s24E_加

qR內(nèi)4萬￡（陽3

Q

（2）r>R時，4萬外:—5有：￡外=--------

%4%%廠

,R產(chǎn)o

離球心尸處（r<R）的電勢：U，=[E內(nèi)-dr+lE外?[/?，即:

Qr.Q3QQr2

3=—~v-dr+

,r4乃％R卜44￡(/284%7?8兀

6-15.圖示為一個均勻帶電的球殼，其電荷體密度為夕，球殼內(nèi)表面半徑為飛,外表面半

徑為寵2.設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電勢。

解：當(dāng)r<R]時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：￡\=0,

4a3

P）聯(lián)r-R、）_兇3吊）

當(dāng)A<r</?2時，有：E[=4叫廠23獷

。3膜段一用）_。（段-吊）

當(dāng)r〉7?2時，有：

E323獷

4^0r

以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，有:

市>-,r°F4p(/一R；),

UTT=邑dr+E.-dr=---------^-dr-{-

兒-M3434戶7小嗤⑻-"

6-16.電荷以相同的面密度◎分布在半徑為八=10c機(jī)和々=20?！钡膬蓚€同心球面上，設(shè)

無限遠(yuǎn)處電勢為零，球心處的電勢為a。=300V。

（1）求電荷面密度cr；

（2）若要使球心處的電勢也為零，外球面上電荷面密度〃為多少？

（4=8.85X10-I2C2-N-'m-2）

解（1）當(dāng)時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：芻=0,

ar：

當(dāng)/＜「＜，,時?，利用高斯定理可求得：

E2=—

￡。廠

cr（r2+片）

當(dāng)時，可求得：我3=-

「，b'i’,

t/0=E2-dr+JE,ydrI----Wr+-------------dr=—(r+r)

%￡。廠"4]2

那么：

8.85x10-X3Q0^85X1Q.9

-3

rx+r230xl0

（2）設(shè)外球面上放電后電荷密度b',則有：

or,c

Uo'=(<7^+a'r2)/s0=0,<T'=-------

r22

則應(yīng)放掉電荷為：

△q-4"乃(cr-b)=&cr?4〃在=4x3.14x8.85x10*12x300x0.2=6.67xlO-9C。

6-17.如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷＜?,沿某一半徑方向上有一均勻帶電

細(xì)線，電荷線密度為4,長度為/,細(xì)線左端離球心距離為不。設(shè)球和線上的電荷分布不受

相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能（設(shè)無窮遠(yuǎn)處的

電勢為零）。

解（1）以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一均勻帶電細(xì)線的方向?yàn)閤軸，V一、

均勻帶電球面在球面外的場強(qiáng)分布為：E=—J（，＞R）。[\）幺

4%￡。產(chǎn)〈二n

取細(xì)線上的微元：dq=Adl=Adr,有：dF=Edq,一L/_

人

：.F=[n+，—^Adr=一獨(dú)」一（機(jī)為尸方向上的單位矢量）

%4%￡。尤~4萬￡0々）（%+/）

（2）?.?均勻帶電球面在球面外的電勢分布為：U=--—（r＞R,8為電勢零點(diǎn)）。

4〃￡Or

對細(xì)線上的微元dq=/ldr,所具有的電勢能為：dW='一?Zdr,

4%￡（）r

...W=」_廠也=團(tuán)_5如。

4）r4〃4r0

6-18.一電偶極子的電矩為p,放在場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中，尸與E之間夾角為6,如圖

所示.若將此偶極子繞通過其中心且垂直于p、E平面的軸轉(zhuǎn)180°,外力需作功多少？

解：由功的表示式：dA=MdO

一—M+e

考慮到：M-pxE,有：pEsxnOdO-2pEcos3o

6-19.如圖所示，一個半徑為R的均勻帶電圓板，其電荷面密度為b（>0）今有一質(zhì)量為機(jī)，

電荷為的粒子（q>0）沿圓板軸線（X軸）方向向圓板運(yùn)動，已知在距圓心。（也是X軸

原點(diǎn)）為8的位置上時，粒子的速度為入，求粒子擊中圓板時的速度（設(shè)圓板帶電的均勻性

始終不變）。

解：均勻帶電圓板在其垂直于面的軸線上X。處產(chǎn)生的電勢為：

U=R-+X：—x0）>那么，

u°b=Uo-q,=F(R+b-正+/)，

2%

由能量守恒定律，—mv2=—m1一(一qUob)=~mvl+(R+b-《R?+〃),

2222

有：v=卜；+也(R+6_JR2+/)

Vtn￡o

思考題11

6-1.兩個點(diǎn)電荷分別帶電4和29，相距/，試問將第三個點(diǎn)電荷放在何處它所受合力為零?

答：由qQ,=2qQ2，解得：x=1（6—1）,即離點(diǎn)電荷q的距離為/（后一1）。

4%￡（）x~4^￡Q（l-x）

6-2.下列幾個說法中哪一個是正確的？

（A）電場中某點(diǎn)場強(qiáng)的方向，就是將點(diǎn)電荷放在該點(diǎn)所受電場力的方向；

（B）在以點(diǎn)電荷為中心的球面上，由該點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的場強(qiáng)處處相同；

（C）場強(qiáng)方向可由E=廠/自定出，其中q為試驗(yàn)電荷的電量，q可正、可負(fù)，尸為試驗(yàn)

電荷所受的電場力；

（D）以上說法都不正確。

答：（C）

6-3.真空中一半徑為R的的均勻帶電球面，總電量為q（q<0）,今在球面

面上挖去非常小的一塊面積/S（連同電荷），且假設(shè)不影響原來的電荷分

布，則挖去AS后球心處的電場強(qiáng)度大小和方向.

答：題意可知：b=—J,利用補(bǔ)償法，將挖去部分看成點(diǎn)電荷，

44■尸

有：E=襁5,,方向指向小面積元。

4乃

6-4.三個點(diǎn)電荷/、%和—%在一直線上，相距均為2R,以％與勺2的中心。作-半徑

為2R的球面，A為球面與直線的一個交點(diǎn)，如圖。求：

（1）通過該球面的電通量可％75；,/--'、、、

(2)A點(diǎn)的場強(qiáng)

4兀%（3R）-4兀￡（）R-4碼）R

6-5.有一邊長為a的正方形平面，在其中垂線上距中心。點(diǎn)。/2處,

有一電荷為4的正點(diǎn)電荷，如圖所示，則通過該平面的電場強(qiáng)度通量

為多少？

解：設(shè)想一下再加5個相同的正方形平面將q圍在正方體的中心,

通過此正方體閉合外表面的通量為：①閉合=g//，那么，

通過該平面的電場強(qiáng)度通量為：①=」匚。

6-6.對靜電場高斯定理的理解，下列四種說法中哪一個是正確的？

(A)如果通過高斯面的電通量不為零，則高斯面內(nèi)必有凈電荷；

(B)如果通過高斯面的電通量為零，則高斯面內(nèi)必?zé)o電荷；

(C)如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上電場強(qiáng)度必處處為零；

(D)如果高斯面上電場強(qiáng)度處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷。

答：(A)

6-7.由真空中靜電場的高斯定理可知

(A)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)一定為零：

(B)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)一定都不為零;

(C)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)不一定都為零；

(D)閉合面內(nèi)無電荷時，閉合面上各點(diǎn)場強(qiáng)一定為零。

答：(C)

6-8.圖示為一具有球?qū)ΨQ性分布的靜電場的r關(guān)系曲線.請指出該E

靜電場是由下列哪種帶電體產(chǎn)生的。

(A)半徑為R的均勻帶電球面；

(B)半徑為R的均勻帶電球體；

(C)半徑為R、電荷體密度p=Ar(A為常數(shù))的非均勻帶電球體；°

(D)半徑為R、電荷體密度0=4〃(A為常數(shù))的非均勻帶電球體。

答：(D)

6-9.如圖，在點(diǎn)電荷q的電場中，選取以q為中心、R為半徑的球面上一點(diǎn)P處作電勢零

點(diǎn)，則與點(diǎn)電荷q距離為r的點(diǎn)的電勢為

(A)—

4兀勺/4兀4rR

q

(c),

47i￡0(r-/?)

答：(B)

6-10.密立根油滴實(shí)驗(yàn)，是利用作用在油滴上的電場力和重力平衡而測量電荷的，其電場由

兩塊帶電平行板產(chǎn)生.實(shí)驗(yàn)中，半徑為「、帶有兩個電子電荷的油滴保持靜止時，其所在電

場的兩塊極板的電勢差為當(dāng)電勢差增加到4U。時，半徑為2r的油滴保持靜止，則該

油滴所帶的電荷為多少？

解：-p'—itr^g--(D>^12q'-p■—^(2r)3^--(2)

d3d3

，①②聯(lián)立有：q'=2q=4e。

6-11.設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零，則半徑為R的均勻帶電球體產(chǎn)生的電場的電勢分布規(guī)律為(圖

中的U。和b皆為常量)：

(a)(b)(c)(d)

答：(C)

6-12.無限長均勻帶電直線的電勢零點(diǎn)能取在無窮遠(yuǎn)嗎？

答：不能。見書中例11-12。

穩(wěn)恒磁場

7-1.如圖所示的弓形線框中通有電流/,求圓心。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度與。

u,J0uJ

解：圓弧在。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：B,=,方向：；

4兀R6R

直導(dǎo)線在。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：B,=———^[sin60°—sin(—60°)]=」^,方向：?;

'4不Reos60°2兀R

二總場強(qiáng):B/吟々方向8。

7-2.如圖所示，兩個半徑均為R的線圈平行共軸放置，其圓心0、。2相距為。，在兩線圈

中通以電流強(qiáng)度均為/的同方向電流。

(1)以。。2連線的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，求軸線上坐標(biāo)為x的任

意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。?/p>

(2)試證明：當(dāng)a=R時，。點(diǎn)處的磁場最為均勻。

解：見書中教流圓線圈軸線上的磁場，有公式：B=

2(R2+Z2)^

(1)左線圈在X處P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：Bpi=-----5--------，

2R+(，+x)2]%

右線圈在X處P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：Bp2=——絢￡----7,

2/+《_幻2]%

月H和月P2方向一致，均沿軸線水平向右，

〃//?2/_3_3'

，P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度：B=B+[A?+(x+e2r+[/?2+(--)2pL

pplBP2=—-------x

(2)因?yàn)?隨x變化，變化率為絲，若此變化率在x=0處的變化最緩慢，則。點(diǎn)處的

「dx

磁場最為均勻，下面討論。點(diǎn)附近磁感應(yīng)強(qiáng)度隨x變化情況，即對8P的各階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論。

對8求一階導(dǎo)數(shù)：

dB3〃oIRci-)aa)ci—T

:=一一^—(x+-)[/?2+(x+-)2]2+(x--)[7?2+(x--)2]2

dx2[2222

aD

當(dāng)工=0時，一=0,可見在。點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度8有極值。

dx

對8求二階導(dǎo)數(shù)：

d,dB、d2B

dxdxdx2

3〃。衣15(X+$2i5(x-y

—----------Q------------<I-----------------------------------------5-----------------------------------------------2----丁I-----------------------------------------5-----------------------------------------------7-->

-n+(x+|)2]5[/?2+(x+|)2PM+(x-|汴[/?2+(x-j)2]2

當(dāng)x=0時，粵\"3打ma』，,

dX虛+(步

[2n

可見，當(dāng)a>R時，--l._>0,。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度8有極小值，

dx2'x~°0

d?R

當(dāng)a<R時，一l?<0,。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度8有極大值，

dx2r10

d?D

當(dāng)a=R時，fl、,。=0,說明磁感應(yīng)強(qiáng)度8在。點(diǎn)附近的磁場是相當(dāng)均勻的，可看成勻

強(qiáng)磁場。

【利用此結(jié)論，般在實(shí)驗(yàn)室中，用兩個同軸、平行放置的N匝線圈，相對距離等于線圈

半徑,通電后會在兩線圈之間產(chǎn)生一個近似均勻的磁場，比長直螺線管產(chǎn)生的磁場方便實(shí)驗(yàn),

這樣的線圈叫亥姆霍茲線圈】

7-3.無限長細(xì)導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀，其中c部分是在xoy

平面內(nèi)半徑為R的半圓，試求通以電流/時。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解：?.％段對。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可用月=求得，

y

4。/.5_"o/

有：B.7一二，??6〃二：―Z7

4TTR4TTR

6段的延長線過。點(diǎn)，Bb=O,

C段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：8,=生"?萬=也，，瓦=々2E

04萬R4R,4R

則：。點(diǎn)的總場強(qiáng)：8。=一空了+鷺萬，方向如圖。

°4兀R4R

7-4.如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈

均勻覆蓋住半個球面。設(shè)線圈的總匝數(shù)為N,通過線圈的電流為/,求球心。的磁感強(qiáng)度。

解：從。點(diǎn)引出一根半徑線，與水平方向呈。角，則有水平投影:

x=Rcos0,圓環(huán)半徑：r=Rsin。，取微元=

2NI

有環(huán)形電流：di=——de,

71

利用：B有:

2(斤+/)3/2

2

從Fdl_ANIR2sin?_^inNIsinOdO

2(r2+x2)3/2萬(R?sin?0+R2cos2。嚴(yán)TIR

NN71N°N1

:.B='sin?6

7rR兀R-?)24R

7-5.無限長直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)有一無限長直圓色形空腔（如圖所示），空腔與導(dǎo)體的兩軸線平

行，間距為。，若導(dǎo)體內(nèi)的電流密度均勻?yàn)榱?，J的方向平行于軸線。求腔內(nèi)任意點(diǎn)的磁感

應(yīng)強(qiáng)度月。

解：采用補(bǔ)償法，將空腔部分看成填滿了士7的電流，那么,

以導(dǎo)體的軸線為圓心，過空腔中任點(diǎn)作閉合回路，利用

-di=,有：2TCR-B[=兀R?,

同理，還是過這一點(diǎn)以空腔導(dǎo)體的軸線為圓心作閉合回路:

2兀r-B/NA-j）兀r：有：B2=———xr,

由圖示可知：R+（-r）=a

---unj_unji_

那么，B=B,+B2=^xR-^xr

12222"°，

7-6.在半徑R=1cm的無限長半圓柱形金屬片中，有電流/=5A自下而上通過，如圖所示。

試求圓柱軸線上一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。

解：將半圓柱形無限長載流薄板細(xì)分成寬為M=H46的長直電流,

.dldd工1

有:dIr=---=—,利用nzi［B］，=〃（）￡/。

7lR71

在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：=

2/rR2TT-R

/.dB=dBsin0=sin6d0,而因?yàn)閷ΨQ性，B=0

x2/R)

那么，B=Bx=\dBx=怨fsin?；睾?6.37x1。/。

7-7.如圖所示，長直電纜由半徑為R的導(dǎo)體圓柱與同軸的內(nèi)外半徑分別為心、心的導(dǎo)體圓

筒構(gòu)成，電流沿軸線方向由一導(dǎo)體流入，從另一導(dǎo)體流出，設(shè)電流強(qiáng)度/都均勻地分布在橫

截面上。求距軸線為，-處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小（0<r<8）。

解：利用安培環(huán)路定理［月-47=〃。工/分段討論。

7tr~I

（1）當(dāng)0<尸4%時，有:81?2萬廠二〃。獲

T；

(2)當(dāng)與WrW/?2時，有：B「2^r=Rol,：.

2冗丫

jrr1一4A；

(3)當(dāng)7?2工廠<氏3時，有：B-2^r=JLI(I-----------1-/),

3071R；-7lR；

,R_〃0/R；-?

32/rrRl-R；

(4)當(dāng))〉尺3時,有:B4-2^r=//0(7—/),/.B4=0o

(0<r</?,)

2*

Z￡O￡

(Rt<r<R2)

則:B=<2TTr

Ao7后一r?

(/?2<r</?3)

2兀r*局

0(r>&)

7-8.一橡皮傳輸帶以速度V勻速向右運(yùn)動，如圖所示，橡皮帶上均勻帶有電荷，電荷面密

度為<y。

（1）求像皮帶中部上方靠近表面一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大

??；

（2）證明對非相對論情形，運(yùn)動電荷的速度/及它所產(chǎn)生的

1_

磁場B和電場后之間滿足下述關(guān)系：B—vxE(式中c=,

c￡o〃o

解（1）如圖，垂直于電荷運(yùn)動方向作一個閉合回路aAda,考慮到橡皮帶上等效電流密

度為：i=crv,橡皮帶上方的磁場方向水平向外，橡皮帶下方的磁場方向水平向里，根據(jù)

安培環(huán)路定理有：

fBdl~/JnLiB-2L=/J0Lcrv,

Jabcd

，磁感應(yīng)強(qiáng)度8的大?。築=S—.

2

（2）非相對論情形下:

勻速運(yùn)動的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的磁場為：占=&."二，

4萬r

點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場為：￡=」一?§言,

4九r

?1一下一1q-Ao-

c2004fr24%r2

1_1

即為結(jié)論：B=—vxE（式中0=-^^=）。

7-9.一均勻帶電長直圓柱體，電荷體密度為夕，

半徑為R。若圓柱繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)，角速度為。,

求G）圓柱體內(nèi)距軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；

（2）兩端面中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。

解（1）考察圓柱體內(nèi)距軸線廠處到半徑R的圓環(huán)等效電流。

di=甄=「2；乙"=pwLrdr,."./=￡pcoLrdr=pa）L（R2-r2）,

選環(huán)路。bed如圖所示，

由安培環(huán)路定理：1加47=〃0、?，

有：8L=—/）

.?.8=維q（/?2_/）

2

（2）由上述結(jié)論，帶電長直圓柱體旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于螺線管，端面的磁感應(yīng)強(qiáng)度是中間磁感應(yīng)強(qiáng)

度的一半，所以端面中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

騎I即中心

7-10.如圖所示，兩無限長平行放置的柱形導(dǎo)體內(nèi)通過等值、反向電流/,電流在兩個陰影

所示的橫截面的面積皆為S,兩圓柱軸線間的距離OtO2=d,試求兩導(dǎo)體中部真空部分的

磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解：因?yàn)橐粋€陰影的橫截面積為S,那么面電流密度為：

i=%，利用補(bǔ)償法，將真空部分看成通有電流土i,設(shè)

其中一個陰影在真空部分某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁場為四，距離

為“，另一個為當(dāng)、G，有：“一尸2=1。

利用安培環(huán)路定理可得：

l2

S'

2萬八2s2萬r22S

±_4o/-2-

則：B,

ri±?2=2s出

2S，

一一一uJ人人uJd公

B=B\+B?=—(—-(r,r+rr)=—(—d.

NDN1D±221L

即空腔處磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3=j"-,方向向上。

2S

7-11.無限長直線電流L與直線電流乙共面，幾何位置如圖所示,

試求直線電流人受到電流4磁場的作用力。

解：在直線電流右上任意取一個小電流元乙力，

此電流元到長直線的距離為X,無限長直線電流6

在小電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

8=必

0,

2TTX

dx右JI?〃("也dx

再利用d尸=/B由,考慮到d/,有：dF=-------------

cos60°Inxcos60

￡h從01112dX"JI?1b

------------=-------In—o

'a2冗xcos607ia

7-12.在電視顯象管的電子束中，電子能量為12000eV,這個顯像管的取向使電子沿水平

方向由南向北運(yùn)動。該處地球磁場的垂直分量向下，大小為8=5.5X1()TT,問：(1)電

子束將偏向什么方向？(2)電子的加速度是多少？(3)電子束在顯象管內(nèi)在南北方向上通

過20cm時將偏轉(zhuǎn)多遠(yuǎn)？

解(1)根據(jù)f=月可判斷出電子束將偏向東。南北

1,“電子束方向

(2)利用E=—〃zv~,有：v

2

B

而/=qvB=ma,.**a-6.28xl0,4m.5~,

m

(3)yat2a(—)2-3mm?

7-13.一半徑為A的無限長半圓柱面導(dǎo)體，載有與軸線上的

長直導(dǎo)線的電流/等值反向的電流，如圖所示，試求軸線上長

直導(dǎo)線單位長度所受的磁力。

解：設(shè)半圓柱面導(dǎo)體的線電流分布為i=/L,

7LR

如圖，由安培環(huán)路定理，i電流在。點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:

ui

dB=-^nRd0,

2萬R

可求得：練邛4=