2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

核心知識目標核心素養(yǎng)目標

了解雙曲線的簡單幾何通過探索雙曲線的幾何性質(zhì)，提高數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

性質(zhì).等核心素養(yǎng).

----------------q知摳探您一素藕培意___________________

。探究點一范圍、對稱性和頂點

［問題1］你能類比研究橢圓范圍、對稱性和頂點的方法得出雙曲線的范圍、對

稱性和頂點嗎？

提示:如果雙曲線方程為(a>0,b>0),則言+忘可得x2^a2,即x^-a,x2

a,yER,即雙曲線在直線x二-a,x二a及其外側(cè)；如果雙曲線方程為

^7-77=1(a>0,b>0),則yW-a或者y》a,x《R,即雙曲線在直線y=-a,y=a及其外

側(cè).

根據(jù)方程可得雙曲線關(guān)于X軸、y軸、坐標原點對稱.

22

雙曲線合31(a>0,b>0)與x軸的交點為A.(-a,0),A2(a,0),與y軸沒有交點;雙

22

曲線合一臺1S>0,b>0)與y軸的交點為At(0,-a),A2(0,a),與x軸沒有交點?

知識點1:范圍、對稱性和頂點

22

雙曲線￡31(a>0,b>0):|x|2a,y￡R;關(guān)于x軸、y軸對稱,關(guān)于坐標原點對稱,

坐標原點叫作雙曲線的中心;頂點為&(-a,0),A2(a,0),線段A也叫作雙曲線的實

軸,實軸長為2a;把y軸上的兩個點B,(0,-b),B2(0,b)之間的線段BB叫作雙曲線

的虛軸,虛軸長為2b.

雙曲線(a>0,b>0):|yI2a,x￡R;關(guān)于x軸、y軸對稱,關(guān)于坐標原點對稱,

坐標原點叫作雙曲線的中心;頂點為&(0,-a),A2(0,a),線段A也叫作雙曲線的實

軸，實軸長為2a;把x軸上的兩個點B^-b,0),B2(b,0)之間的線段B區(qū)叫作雙曲線

的虛軸，虛軸長為2b.

［思考1］根據(jù)上述知識，你對雙曲線中a,b,c的幾何意義有什么認識？

提示:a為實半軸長、b為虛半軸長、c為半焦距，實軸的端點與虛軸端點的距離

等于半焦距.

［例1-1］(2020?赤峰二中高二月考)設(shè)經(jīng)過點M(3,1)的等軸雙曲線的焦點為

F?F2,此雙曲線上一點N滿足麗，可,，則△NFE的面積為()

(A)4(B)8(C)12(D)16

解析:設(shè)等軸雙曲線的方程為x2-y2=入(入#0),將點M(3,1)代入可得入二8,所以

22

雙曲線的標準方程為

88

所以|INF1HNF2I|二4四,IF1F2I=8.又危，兩，所以|NFi|2+|NF2|2二|nF2『,

所以(|帽|-|帆|)2二|麗|2+|陽|2-2|照|-

INBHIF^I^INFJ|NF2|,

即32=64-2|NFj?|帕|,所以|陽|?|陽|二16,所以△NFF2的面積為

S用NF」?|NF2|=8.

故選B.

［例?2］(2020?上海建平中學(xué)高一月考)設(shè)連接雙曲線W-*l(a>0,b>0)與

a，bz

g-^=l(a>0,b>0)的四個頂點所成的四邊形的面積為Sb連接四個焦點所成的四

邊形的面積為s,則金的最大值是________.?

2S2

解析:設(shè)雙曲線唾-署二1的右頂點為A,其坐標是(a,0),右焦點為C,坐標為

a2匕2

22

(Va+bf0).

設(shè)雙曲線1-鎮(zhèn)1的上頂點為B：坐標是(0,b),上焦點為D,坐標為(0,仿E?).

b2a2

0為坐標原點，根據(jù)對稱性得S尸4s△。后2ab,

02/20

S2=4s△OCD=2(a^+b"),

所以F虧記"W黑-當(dāng)且僅當(dāng)a二b時取等號.

S?2(。~十。~)2ab2

答案4

■方法總結(jié)

(1)實軸長度和虛軸長度相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，所有的等軸雙曲線的方

程可以統(tǒng)一為x2-y2=X(XWO),求等軸雙曲線只需根據(jù)已知確定X的值即可；

(2)雙曲線上的點P與其焦點F.,Fz構(gòu)成三角形時,仿照橢圓中導(dǎo)出橢圓焦點三角

形面積公式的方法可得雙曲線的焦點三角形的面積為(其中b為雙曲線

tan一

虛半軸的長度)，本例如果使用這個公式,則△NFF?的面積為］*=8;

(3)與雙曲線有關(guān)的面積問題,要充分考慮曲線的對稱性簡化運算1

變式訓(xùn)練1-1:(2020?河南高二月考)已知雙曲線E:1-^=l(b>0)的左、右焦點

分別為Fl,F2,過點F2作直線交雙曲線E于點A,C,連接A0(0為坐標原點)并延長

交雙曲線E于點B.若F；C=3欣，且NBF2c=60°,則四邊形AF%的面積

為.?

解析:因為A,B關(guān)于原點對稱,FbF2關(guān)于原點對稱，由雙曲線的對稱性可知，四邊

形AF1BF2是平行四邊形.

設(shè)IAF21由F；C=3A/,得|CF21=3m.

又a=3,由雙曲線的定義得|AFJ初+6,

|CFi=3m+6.

因為NBF2c=60°,所以N*AC=600.

在AMAC中，由余弦定理得|FC|2二|AF-2+|AC|2-2|AF』-|AC|cos60°,

即(3m+6)2=(m+6)2+(4m)2~2(m+6)X4mx1,

化簡得m3-12m=0,解得m=12.

所以S四邊形""*的福二2X：|AFJ?|AF2|-sin

60°-2x1x18X12X^-10873.

答案：1088

變式訓(xùn)練1-2:(2020?四川成都外國語學(xué)校高二期中)與雙曲線1-：二1有相同

42

焦點的等軸雙曲線的標準方程為.?

解析:設(shè)與雙曲線1-:二1有相同焦點的等軸雙曲線的標準方程為次-九=1,

則a+a=4+2?a=3,所以所求雙曲線的標準方程為?=L

答案:咨1

。探究點二離心率

［問題2］你能根據(jù)研究橢圓的經(jīng)驗,研究刻畫雙曲線開口大小的幾何量嗎？

提示:在雙曲線m-21(a>0,b>0)中，|y|上行混，對于相同的x值，2越大，|y|

越大,雙曲線的開口就越大是刻畫雙曲線開口大小的量.由于b=VFG,可得

a

^=JQ2-I,也可以使用?刻畫雙曲線的開口大小.

知識點2:離心率

規(guī)定:焦距與實軸運的比值￡為雙曲線的離心率,常用表示,顯然e=->l.

----------aea~

［思考2］e的大小與雙曲線開口大小的關(guān)系如何？

提示:e越大雙曲線開口就越大.

［例2-1］(2020?石家莊第二十七中學(xué)高二月考)已知FbF2分別是雙曲線

C:^-^=l(a,b>0)的左、右焦點，點P在C上,若PF.IF.F2,M|PF.|=|FF21,則C

的離心率是()

(A)V2-1(B)也

(OV2+1(D)V5-1

04/20

解析:因為用為雙曲線(a,b>。)的左焦點，且PF-FR,則點P在雙曲線

的左支上，如圖.

因為IPF/二|FRI=2c,由勾股定理可得|PF?|二］|P&12+|F/2I2=2V2C.

由雙曲線的定義可得2a二|PF2HPFJ=2V2c-2c,

所以雙曲線C的離心率為e=^=-^-=V2+l.

a2V2-2

故選C.

［例2-2］(多選題)(2020?河北廊坊高二期中)已知點3,F2分別為雙曲線

22

巳-巳=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F2的直線交雙曲線于A,B兩點(點A在點B

a2b2

的上方)，且AF」AB,|AFJ：|AB|二3：4,則該雙曲線的離心率可能為()

(A)?(B)2(C)V5(D)713

解析：由題意可設(shè)IAFJ=3m(m>0),則|AB|=4m,|BF.|=5m,

當(dāng)A,B均在雙曲線的右支上時，由雙曲線的定義可知，|AF2|=3m-2a,所以

IBF21=m+2a,

所以|BFi|-|BF2|=5m-(m+2a)=2a,所以m=a,所以|AF1|二3a,IAF2I=a.

在RtAAF^^,由勾股定理可得4c2=9a2+a2=10a2,所以e二孚.

當(dāng)點A在雙曲線的左支上時，由雙曲線的定義可知，|BF2|=5m-2a,所以

IAF2|=9m-2a,

所以|AF21-1AF/二9m-2a-3ni=2a,所以m=|a,所以|AF」=2a,|AF21=4a.

在RtZkAFE中，由勾股定理可得4c2=4a2+16a2=20a2,所以e=V5.

當(dāng)A,B分別在雙曲線的右支、左支上時，

由3m-|AF2|=4m+|AF2|-5m,

得IAF21=3m-2a=2m,即m=2a,

貝ijFIF2|=V13m=2V13a,所以e=V13.

故選ACD.

7方法總結(jié)

求雙曲線的離心率即求出聃天小，解題時要根據(jù)雙曲線的定義、方程、對稱性

等靈活分析.

變式訓(xùn)練2-1:（2020?廣東中山華僑中學(xué)高二月考）已知橢圓C：3+1二l的離心

1612

率與雙曲線C:^-g=l（b>0）的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，則b二.?

解析：由橢圓方程知e4即雙曲線的離心率為2,所以?二4,解得b=-2/（舍去）

24

或b=2V3.

答案：2百

變式訓(xùn)練2-2:

（2021?陜西西安長安一中高二期末）如圖，中心均為坐標原點。的雙曲線與橢圓

在x軸上有共同的焦點FbF2,點M,N是雙曲線的左、右頂點，點A,B是橢圓的左、

右頂點.若FbM,0,N,F2將線段AB六等分,則雙曲線與橢圓的離心率的乘積

為.?

解析:令0N|=t,則|0F21=2t,IOB|=3t,所以橢圓的離心率已二萼W，

06/20

雙曲線的離心率ez=%2.

所以雙曲線與橢圓的離心率的乘積為eie2=|.

答案？

《探究點三漸近線

22

［問題3］在雙曲線2-9=1(a>0,b>0)中，當(dāng)曲線上的點在第一象限時,可得

a2b2

V上用隨著x的逐漸增大，你能說明雙曲線的變化趨勢嗎?你能根據(jù)雙曲線

a

的對稱性,得出雙曲線的整體變化趨勢嗎？

提示：由于a為常數(shù)，隨著x的逐漸增大,彼街也逐漸增大,且衍淳</二x,

即y<-x.當(dāng)x無限增大時、y的值無限接近1的值,反映在幾何圖形上,就是在第

aa

一象限時雙曲線上的點在直線y=-x的下方無限逼近于直線y=-x.根據(jù)中心對稱

aa

性,在第三象限,雙曲線上的點在直線y=-x的上方無限逼近于直線y*x;根據(jù)軸

aa

對稱性,在第二象限,雙曲線上的點在直線y二上x的下方無限逼近于直線y二上x,

aa

在第四象限,雙曲線上的點在直線燈上x的上方無限逼近于直線y=--x.

aa

知識點3:漸近線

直線y=±-x稱為雙曲線二白1(a>0,b>0)的漸近線;直線y二±白稱為雙曲線

l(a>0,b>0)的漸近線.

a2b2

［思考3］雙曲線的漸近線方程是否有更加便于記憶的形式？

提示:［一*1(a>。，b>0)的漸近線可寫為±±白0的形式,也可以把方程。*1中

a2b2aba2b2

的1換為0,即捻4=0(開方即為y=±^x);對雙曲線(a>0,b>0)類似.

［例3］(2020?四川雅安中學(xué)高二期中)已知雙曲線E的對稱軸為坐標軸,過點

P(2,1),且與x2-6y2-l有相同的漸近線,則該雙曲線的方程為()

(A)x2-6y2=2(B)6y2-x2=2

“2

(C)y-y2=l(D)x2-y2=3

解析:法一雙曲線x2-6y2=l的漸近線方程為y二土獸x,點P(2,1)在該直線y=^x

66

上方,故所求的雙曲線的焦點在y軸上,設(shè)其方程為弓=1(a>0,b>0),則其漸近

a2b2

線方程為y二士隊根據(jù)已知得-11且解得a24b2=2,所以所求雙曲線的

bazbzb63

22

方程為一一2二1,B|J6y2-x2=2.故選B.

W2

法二雙曲線E與x2-6y2=l有相同的漸近線,則可設(shè)雙曲線E的方程為x2-6y2=

入(入W0).

將點P(2,1)代入可得22-6=入，即入=-2,所以雙曲線E的方程為x2-6y2=-2,即

6y2寸二2.故選B.

?方法總結(jié)

具有某種共同性質(zhì)的所有曲線的集合，稱為一個曲線系.我們研究雙曲線烏-1二

m2nz

人(n>0,n>0,入WO),當(dāng)人>0時方程可化為^該雙曲線的漸近線方

(VXm)(Vin)

程為y二土爭X,即y=±-x.同理可得入<0時,漸近線方程也是y二土二X.而雙曲線

yJAmmm

2222

三號z二1(m>0,n>0)的漸近線也是y=±-x,這說明雙曲線夫z號二人(m>0,n>0,入#

TH2nmm

0)與雙曲線三-*l(m>0,n>0)具有相同的漸近線y二土巴X；反之，以y二土巴x為漸

Mmm

近線的雙曲線,如果焦點在x軸上,設(shè)方程為馬-\二1(心0,b>0),則其漸近線方程

a1b2

為y=±-x,可得勺』,即巴上.因為a,b,m,n都是正數(shù),設(shè)上述比值為VX則

aammn

a=VXm,b=VIn,雙曲線方程為三-?二人(m>0,n>0,入WO);如果焦點在y軸上,設(shè)

m2nz

雙曲線方程為*(a>0,b>0),漸近線方程為尸士需則廿二,即也名設(shè)該比值

a'bomnm

2222

為t,則a=nt,b=mt,雙曲線方程為為一三日，即三一9二一自設(shè)-1,=X<0,則雙曲

線方程也為三-冷人(m>0,n>0,XWO).

2222

所以我們得出：與9衛(wèi)/1(m>0,n>0)共漸近線的所有雙曲線方程具有形式三-左

九nnz

人(n>0,n>0,入W0),該方程稱為同漸近線雙曲線系方程.

08/20

求與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程時可使用同漸近線雙曲線系方程.

變式訓(xùn)練3-1:(2021?吉林一中高二月考)直線l:x-2y-5=0過雙曲線

(a>0,b>0)的一個焦點且與其一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()

(A)次-匕1(B)匕匕1

205520

22

(C)--y2=l(D)x2-^=l

44

解析：由條件可知,雙曲線的焦點在x軸上,直線1:x-2y-5=0.當(dāng)y=0時,x=5,即雙

'c=5,

曲線的焦點坐標是⑸0),直線的斜率k=i所以所以|：=巳

2a2az

<a2+b2=c2,

解得a2=20,b2=5.

所以雙曲線的方程是親9L故選A.

變式訓(xùn)練3-2:(2021?河南許昌高二月考)己知雙曲線盤/二l(a>0,b>0)的一條

漸近線方程為2x-y=0,則該雙曲線的離心率為()

(A)y(B)V3(02(D)V5

解析:因為雙曲線的一條漸近線方程為2x-y=0,所以空2,所以雙曲線的離心率

a

e=/手小+飄=遍?故選以

變式訓(xùn)練3-3:(2021?復(fù)旦附中高二期末)已知雙曲線C：1-91(a>0)的左、右

a29

焦點分別為Fi,F2,過件的直線1交雙曲線C的左支于A,B兩點,且|AB|=6,%X

ABF2的周長為28,則雙曲線C的漸近線方程為()

(A)3x±4y=0(B)4x±3y=0

(C)3x±8y=0(D)8x±3y=0

解析:由雙曲線的定義，可得IAF21-1AFj=2a,

iBFzI-lBFj=2a,

所以IAF21所以|AFd,|BF21=2a+|BFJ,

fi|AF1|+|BF1|=|AB|,

則AABL的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=2|AB|+4a=12+4a=28,解得a=4.

22

又由雙曲線C:a-$1(a>0),可得b=3,

所以雙曲線C的漸近線方程為y二士9，

即3x±4y=0.故選A.

?拓展探索素養(yǎng)培優(yōu)

橢圓與雙曲線的兩個共同性質(zhì)

性質(zhì)一曲線上的點到兩特定點的斜率之積為常數(shù)

2222

［問題1-1］給定橢圓Gj+%l(a>b>0)和雙曲線C2』-$l(a>0,b>0),以及曲

azb2azb2

線上任意一點Q,Q關(guān)于曲線中心的對稱點為Q,P為曲線上異于Q,Q的任意一點,

當(dāng)直線PQ,PQ的斜率都存在時,你能發(fā)現(xiàn)直線PQ,PQ的斜率之積是否存在某種規(guī)

律？

提示：設(shè)Q(xo,y0),則Q(-xo,-y0),P(x,y).

若點Q,Q,P在C上,則條喀部，,

即端6鬲),y2系(3x)

此時直線PQ,PQ的斜率之積為》?竺也二鑼二彩匕雀?警二-與

z

x-x^x+x0X￡-XQH-xgX^-XQa

若點Q,Q,P在C2±,則胃-善1,小《1，

a2b2a2b2

即%二%(%o-a2),yJ%(x2-a2).

此時直線PQ,PQ的斜率之積為》?竺也二鑼二土字但史當(dāng)?答馬

zlzz

x-x0x+x0x-x^x-x^aa

這說明直線PQ,PQ的斜率之積為定值.在橢圓中定值的范圍為(-1,0),在雙曲線

中定值的范圍為(0,+8).

特別地，當(dāng)Q(a,0),Q(-a,0)時上述結(jié)論也成立.

10/20

結(jié)論1-1:橢圓、雙曲線上任意一點與該曲線上關(guān)于中心對稱的兩點的連線的斜

率之積為定值.特別是橢圓G:斗*1（a>b>0）上任意一點與長軸端點的連線的

a2b2

斜率之積為定值-與雙曲線C2：?*l（a>0,b>0）上任意一點與實軸端點連線的

a2a2b2

斜率之積為定值與

a2

［問題1-2］考慮結(jié)論1-1的反面,即平面上與兩個關(guān)于原點中心對稱的定點連線

的斜率之積為定值的動點的軌跡是否是橢圓或雙曲線？

提示:在平面直角坐標系中，設(shè)定點為A（-%O）,A（a,0）,定值為人?滿足條件的點

P的坐標為（x,y）,則上?上=A,即入2-y2=入a2.

x+ax-ax

若入=0,則y=0,此時點的軌跡為直線AA（除去點A,A）.

22

若入H0,則方程入x2-y2=Xa?可化為今后？L

a2Aa2

若入>0,則點的軌跡為以A,A為頂點的雙曲線（除去點A,A）,若入4,則軌跡方程

a2

22

即為三-$1匕>0,b>0）;

a2b2

22

若入<0,則方程可化為臺+方1,則點的軌跡為以A,A為頂點、焦點在x軸上

a2-Aaz

的橢圓（除去點A,A）,若入二瑪則軌跡方程為當(dāng)?shù)?（a>b〉0）;

若入二T,則軌跡為圓（除去點A,A）,軌跡方程為x2+y2=a2;

若X<-1,則軌跡為焦點在y軸上的橢圓（除去點A,A）,此時短軸端點為A,A.

結(jié)論『2:平面內(nèi)與兩個關(guān)于原點中心對稱的定點連線的斜率之積為常數(shù)（不等

于0,-1）的動點的軌跡為橢圓（常數(shù)為負值）或雙曲線（常數(shù)為正值）.

結(jié)論「3:橢圓、雙曲線可以看作是平面內(nèi)過定點A（-a,0）,B（a,0）的兩直線，當(dāng)

兩直線的斜率之積為定值土當(dāng)時,兩直線交點的軌跡，但是軌跡上缺少點

a2

A（-a,0）,B（a,0）.（這說明用該方法定義橢圓、雙曲線是不理想的）.

［例1-1］（2021?陜西西安長安一中高二期末）已知雙曲線

C：4-l（a>0,b>0）,A,B是雙曲線C上關(guān)于原點對稱的兩點,P是雙曲線C上異

a2b2

于A,B的一點,若直線PA與直線PB的斜率都存在且兩直線的斜率之積為定值2,

則雙曲線的離心率是()

(A)V2(B)V3(02(D)V5

解析:根據(jù)結(jié)論IT可知,黑2,所以若+(￡)2=V3.故選B.

[例1-2](2021?湖南師大附中高二月考)己知點A(l,0),B(-l,0),動點M滿足:

直線AM與直線BM的斜率之積為定值m(m/0).

⑴若點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去點A,B),則m的取值范圍

是；?

(2)若點M的軌跡是焦距為4的雙曲線(除去點A,B),則.?

解析：(1)設(shè)M(x,y),根據(jù)條件可知點M的軌跡方程為七?七二叫

x+lX-1

所以y2=mx2-m(x^±l),所以x2--1(x#:±l),即/=1(xW±l).

m-m

又因為點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去點A,B),所以-m>l,所以m<-l,即

m的取值范圍為(-8,-1).

(2)由(1)知點M的軌跡方程為X?-匕=16#±1).

m

當(dāng)點M的軌跡是焦距為4的雙曲線(除去點A,B)時,可知1+m=所以m=3.

答案：(1)(-8,-1)(2)3

7方法總結(jié)

在儺選擇題、填空題時可以直接使用我們得到的結(jié)論,也可以根據(jù)我們研究上述

結(jié)論的思想方法解決.需要注意的是求出的軌跡需要除去兩個定點.

[應(yīng)用1-1](多選題)(2021?廣州高二月考)已知A,B兩點的坐標分別是

(-1,0),(1,0),直線AP,BP相交于點P,且兩直線的斜率之積為m(m#0),則下列

結(jié)論正確的是()

12/20

(A)當(dāng)m=-l時，點P的軌跡為圓

(B)當(dāng)-l<m<0時，點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓(除去與x軸的交點)

(0當(dāng)0V水1時，點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線

(D)當(dāng)m>l時，點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(除去與x軸的交點)

解析:設(shè)點P的坐標為(x,y),直線AP,BP的斜率為1<,產(chǎn)七(:(工-1),kBP={(xWl).

x+lx-1

由已知得上?—=m(x^±l),

x+lx-1

化簡得點p的軌跡方程為

c曾2

x(xW±1,mWO),

-m

分析A,當(dāng)m=-l時,方程為xW=Kx^±l),軌跡為圓，但除去兩定點，故A不正

確；

分析B,當(dāng)時,方程為X2A1(X^±1),表示焦點在x軸上的橢圓，除去與

-m

x軸的交點，故B正確；

分析C,當(dāng)OW<1時,方程為X?+L1(x#±i),表示焦點在X軸上的雙曲線，但除

-m

去兩定點，故C不正確；

分析D,當(dāng)m>l時,方程為(xW±l),表示焦點在x軸上的雙曲線，除去與

x軸的交點，故D正確.故選BD.

[應(yīng)用1-2](多選題)(2020?廣東深圳高二期中)動點M(x,y)分別到兩定點

(-5,0),(5,0)連線的斜率的乘積為-登,設(shè)M(x,y)的軌跡為曲線C,FbF2分別為曲

線C的左、右焦點，則下列命題中正確的有()

(A)曲線C的焦點坐標為B(-3,0),Fz⑶0)

(B)若NFMF2=30。，貝孝

(0的內(nèi)切圓的面積的最大值為:

(D)設(shè)A(|,2),則|MA|+1MF』的最小值為當(dāng)

解析：由題意口」知

x+5X-525

即菱。l(xW±5),

Z5lo

A項,c2=a2-b2=25-16=9,c=3,即曲線C的焦點坐標為F.(-3,0),F2(3,0),故A項正

確；

B項.根據(jù)橢圓焦點三角形的面積公式得

Sz^MFiF2=16Xtan與^=16><(2-、")，故B項錯誤；

C項.在△FMF2中，設(shè)NFMF2二a,內(nèi)切圓的半徑為r,由橢圓定義得

2

IMF1|+|MF2|=10,IKK1=6,所以SAMFJ2glMFI|+|MF2|+|F1F2|)?r=btanp解得

r=2tan^(0<tan當(dāng)點M在上頂點時,tan咨，內(nèi)切圓半徑r取得最大值，

22424

則內(nèi)切圓最大面積為故C項正確；

4

D項.在△MFF2中，|MFJ+1MF2|=10,則|MA|+1MFJ=|MA|+10-1MF2|,當(dāng)M,A,F2三點

共線,并且M在A的上方時，|MA|+|MFJ有最小值,即

(|MA|+1MF/)min=10-1AF2|=10-1^,故D項正確.故選ACD.

性質(zhì)二曲線上的點到定點的距離和定直線的距離之比等于常數(shù)

22

［問題2-1］在前面我們探究橢圓，為驗證滿足方程三+*I(a>b>0)的點P(x,y)

a2bz

都在滿足以F.(-c,0),F2(C,0)為焦點且長軸長為2a的橢圓上,我們導(dǎo)出了

IPFj=a+-x,|PF|=a--x,也可變形為|PF1—|x-(--)

aa2aac

I,|PF21=a--x=-1X-—|;在驗證滿足方程學(xué)*1(a>0,b>0)的點P(x,y)都在

aaca2b2

F,(-c,0),F(C,0)為焦點且實軸長為2a的雙曲線上時,我們導(dǎo)出了IPFJ=-x+a或

2a0

|PFi|=-(-xo+a),BP|PFi|—|x-(--)I,|PF|=^|x-—|.

aacac2

14/20

其中"(-貯)|可以看作點P(x,y)到直線x=Q的距離dx-%可以看作點

CCC1；

P(x,y)到直線x=f的距離d2.你能據(jù)此得出橢圓和雙曲線上的任意點滿足的一個

幾何性質(zhì)嗎？

提示:在橢圓、雙曲線中均有牛二,*工.根據(jù)橢圓、雙曲線定義,R,F2為定

CLU2CL

2222

點，匕為定值,也即直線X二土匕為定直線.也說明橢圓2+*l(a>b>0)和雙曲線

ccazbz

g_g=l(a>0,b>0)上的點均滿足到定點F1(-C,0)和定直線的距離之比等于

2

工(離心率)；到定點F(C,0)和定直線X二匕的距離之比等于￡(離心率).

a2ca

2222

結(jié)論2-1:橢圓(a>b>0)和雙曲線巳-(a>0,b>0)上的點均滿足到定點

a2b2a2b2

F(-c,0)和定直線x-妙的距離之比等于工(離心率)；到定點F(C,0)和定直線

tca2

2

X二幺的距離之比等于￡(離心率).

ca

[問題2-2]是否平面內(nèi)到定點F.(-c,0)和定直線x二-貯的距離之比等于上的點的

ca

坐標x,y滿足方程管+g(a>b>0)或今(a>0,b>0)?是否平面內(nèi)到定點

222

F(C,0)和定直線x=上的距離之比等于￡的點的坐標x,y滿足方程弋+2口(a>b>0)

2caa2

或=l(a>0,b>0)?

azb2

提示:設(shè)滿足條件的軌跡上的點P的坐標為(x,y),則上當(dāng)二,即

|x—(W)|a

J(x+c)2+y2=￡|x+貯|,兩邊平方并整理,得(a2-c2)x2+a2y2=(a2-c2)a2.

若a>c,令b2=a2-c2,得，+章=](a〉b)0);

若a<c,令b2=c2-a2,得馬-[=1(a>0,b>0).即得平面內(nèi)到定點件(-c,0)和定直線

a2b2

222

X二，-的距離之比等于￡的點的坐標X,y滿足方程(a>b>0)或

caa2b2

g-g=l(a>0,b>0).

2

同理可得,平面內(nèi)到定點F(C,0)和定直線x二匕的距離之比等于￡的點的坐標x,y

2ca

滿足方程馬+91(a>b〉0)或馬-去1(a>0,b>0).

aza2爐

結(jié)論2-2:平面內(nèi)到定點F(c,0)(或F(-c,0))的距離與到定直線x二貯(或x=--)

CC

的距離之比等于常數(shù)￡的點的軌跡方程為馬+91(a>b>0)或(a>o,b>0).

結(jié)論2-3:平面內(nèi)到定點和定直線(定點不在定直線上)的距離之比為常數(shù)e的點

的軌跡,當(dāng)0<晨1時為橢圓，當(dāng)e>l時為雙曲線.在這個定義下，定點叫作焦點、

定直線叫作準線、中心在坐標原點、焦距為2c、焦點在x軸上、長軸(實軸)長

為2a,橢圓(雙曲線)的準線方程為x二土匕.

C

[例2-1](2020?西安交大蘇卅附中高二期中)已知橢圓橙+之1上一點P到其左

1612

焦點的距離為6,則點P到右準線的距離為()

(A)4(R)6(C)8(D)12

解析:設(shè)點P的坐標為(x,y),則白白1,y2=12-^x2,且-4WxW4.

16124

22

對于橢圓弓+*1,a=4,b=2V5,c二被中二2.設(shè)其左、右焦點為件,F2,根據(jù)橢圓定

1612

義點P到右焦點的距離IPF2|=2a-|PF1|=8-6=2,橢圓的離心率e=-i設(shè)點P到右

a2

準線的距離為d2,則快二e,即所以d2=4.故選A.

U2?22

[例2-2](2020?南平第八中學(xué)高二期中)點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到

定直線l:x棄的距離的比是常數(shù)占求點M的軌跡方程.

45

解：因為點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到定直線1:x二手的距離的比是常數(shù)

4

4

所以國巨*4將此式兩邊平方,并化簡，得9x2+25y2=225,即1+91.

|--x|5259

g方法總結(jié)

平面內(nèi)到定點和定直線的距離之比等于常數(shù)的點的軌跡雖然為圓錐曲線，但由

于定點、定直線的位置不同,軌跡方程有可能不是標準形式,解題時仍然要按照

求一般軌跡方程的方法進行.

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［應(yīng)用2-1］如果橢圓1+1=1上的點A到右焦點的距離等于4,那么點A到兩條

2516

準線的距離分別是()

?8,^(B”o，m

(C)10,6(D)10,8

解析：由題意可得a2=25,b2=16,則a=5,b=4,c=Va2-fe2=3,

所以橢圓的離心率為e-4又由點A到右焦點的距離等于4,即|AF2=4.

根據(jù)橢圓的定義可得義可+1根21=2a=10,可得|AF.|=6.

根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得點A到左準線的距離為d尸上共6義I=10,

e3

點A到右準線的距離為d2二44x"W，

e33

所以點A到兩準線的距離分別為10,爭故選B.

［應(yīng)用2-2］(2020?江蘇鎮(zhèn)江高二月考)已知點P(x。,y。)是橢圓C:^+g=l上一點

716

(異于橢圓的頂點)，件,F2分別為C的左、右焦點,A,B分別是橢圓的左、右頂點,

則下列結(jié)論正確的是()

(A)ZkPFF2的周長為16

(B)PFJ的最大值為7

(C)準線方程為y=±|x

(D)直線PA與PB的斜率的乘積為--

解析:因為橢圓C:。魯1,故其焦點在y軸上,且a=4,b=V7,c=3,

因為點P在橢圓上，

故APFFz的周長為2a+2c=14,故A錯誤；

因為點P(x0,y°)異于橢圓的頂點,所以IPFi|<a+c=7,故B錯誤；

準線方程為y=±-故C錯誤；

C3

y

易知AH/7,0）,B（V7,0）,故kPA?k布備?°-而