全等三角形

一、選擇題

1.（2018?四川成都?3分）如圖，已知乙ABC=乙DCB,添加以下條件，不能判定

里MC5的是（

A.N/=N力B.乙ACB=ADBC

C.AC=DBD.AB=DC

【答案】C

【考點】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：A、VZA=ZD,ZABC=ZDCB,BC=CB.'.AABC^ADCB,因此A不符合

題意；B、VAB=DC,ZABC=ZDCB,BC=CB

.,.△ABC^ADCB,因此B不符合題意；

C、VZABC=ZDCB,AC=DB,BC=CB,不能判斷AABC絲aDCB,因此C符合題意;

D、VAB=DC,ZABC=ZDCB,BC=CB

.二△ABC絲△DCB,因此D不符合題意;

故答案為：C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理及圖中的隱含條件，對各選項逐一判斷即可。

2（2018年江蘇省南京市?2分）如圖，AB±CD,且AB=CD.E、F是AD上兩點，CE±AD,BF

±AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為（）

【分析】只要證明△ABFgACDE,可得AF=CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b

-c；

【解答】解：VAB1CD,CEXAD,BF1AD,

，/AFB=/CED=90°,ZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,

.,.NA=NC,VAB=CD,

.,.△ABF^ACDE,

；.AF=CE=a,BF=DE=b,

VEF=c,

.\AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c,

故選：D.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，

屬于中考?？碱}型.

3.（2018?ft東臨沂?3分）如圖，ZACB=90°,AC=BC.AD±CE,BE1CE,垂足分別是

點D、E,AD=3,BE=1,則DE的長是（）

A.-|B.2C.2D.V1C

【分析】根據(jù)條件可以得出NE=NADC=90°,進而得出4CEB絲/XADC,就可以得出BE=DC,

就可以求出DE的值.

【解答】解：；BEJ_CE,AD_LCE,

NE=NADC=90°,

.,.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

.,.ZEBC=ZDCA.

在ACEB和AADC中，

"ZE=ZADC

?ZEBC=ZDCA>

BC=AC

.,.△CEB^AADC(AAS),

?,.BE=DC=LCE=AD=3.

ADE=EC-CD=3-1=2

故選：B.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題

的關鍵，學會正確尋找全等三角形，屬于中考?？碱}型.

4（2018?臺灣?分）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,ZE=115",

則/BAE的度數(shù)為何？（）

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質得出4ABC與4AED全等，進而得出/B=/E,利用

多邊形的內角和解答即可.

【解答】解：???正三角形ACD,

；.AC=AD,ZACD=ZADC=ZCAD=60°,

VAB=DE,BC=AE,

.'.△ABC^AAED,

.,.ZB=ZE=115°,NACB=/EAD,ZBAC=ZADE,

ZACB+ZBAC=ZBAC+ZDAE=180°-115°=65°,

AZBAE=ZBAC+ZDAE+ZCAD=650+60°=125°,

故選：C.

【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質得出aABC

與4AED全等.

5.（2018?廣西桂林?3分）如圖，在正方形ABCD中，AB=3,點M在CD的邊上，且DM=1,

△AEM與△ADM關于AM所在的直線對稱，將△ADM按順時針方向繞點A旋轉90°得到△ABE,

連接EF,則線段EF的長為（）

AD

A.3B.2布C.713D.715

【答案】C

【解析】分析：連接BM.證明△AFE四△AMB得FE=MB,再運用勾股定理求出BM的長即

可.詳解：連接BM,如圖,

?..四邊形ABCD是正方形，

,,.AD=AB=BC=CD,ZBAD=ZC=90",

VAAEM與^ADM關于AM所在的直線對稱，

ZDAM=ZEAM.

VZDAM+ZBAM=ZFAE+ZEAM=90°,

ZBAM=ZEAF,

.'.△AFE^AAMB

；.FE=BM.

在Rt/XBCM中,BC=3,CM=CD-DM=3-1=2,

BM=A/BC2+CM2=^32+22=V13

.??FE=7H.

故選c.

點睛：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段

的夾角等于旋轉角：旋轉前、后的圖形全等.也考查了正方形的性質.

6.（2018四川省眉ft市2分）如圖，在ABCD中，CD=2AD,BEJ_AD于點E,F為DC的中點,

連結EF、BF,下列結論：①/ABC=2NABF；②EF=BF；③$0?=25^?；④NCFE=3NDEF,

其中正確結論的個數(shù)共有（）o

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【考點】全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線，平行四

邊形的性質

【解析】【解答】解：①???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,AD=BC,AD〃BC,

，ZCFB=ZABF,

又；CD=2AD,F為CD中點,

；.CF=DF=AD=BC,

.".ZCFB=ZCBF,

ZABF=ZCBF,

.?.BF平分NABC,

ZABC=2ZABF,

故①正確.

②延長EF交BC于點G,

G

.,.ZD=ZFCG,

在ADEF和ACGF中，

[ZD=LFCG

\DF=CF

\/.DFE=乙CFG,

.,.△DEF絲ZXCGF(ASA),

；.EF=FG,

XVBE1AD,AD〃BC,

.,.ZAEB=ZEBC=90°,

/.△BEG為直角三角形，

又?.?F為EG中點,

，EF=BF,

故②正確.

③由②知ADEF絲△CGF,

SADEF-SACCF>

S㈣DEBITSAHEG,

又：F為EG中點，

SAUEF=S&BGF>

S&BEG_2SABEF,

即SBDEBC-2SABBF,

故③正確.

④設NFEB=x,

由②知EF=BF,

；.NFBE=NFEB=x,

AZBFE=180°-2x,

XVZBED=ZAED=ZEBC=90°,

/DEF=/CBF=90°-x,

VCF=BC,

/.ZCFB=ZCBF=90°-x,

故④正確.故

答案為：D.

【分析】①根據(jù)平行四邊形的性質得AB//CD,AD=BC,AD〃BC,根據(jù)平行線的性質得/CFB=

ZABF,由中點定義結合已知條件得CF=DF=AD=BC,根據(jù)等邊對等角得NCFB=NCBF,等量代

換即可得NABF=NCBF,從而得①正確.

②延長EF交BC于點G,根據(jù)平行線的性質得ND=NFCG,根據(jù)全等三角形的判定ASA得ADEF

^△CGF,再由全等三角形的性質得EF=FG,根據(jù)平行線的性質和垂直定義得/AEB=/

EBC=90°,故4BEG為直角三角形，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

即知②正確.

③由②知△DEFgaCGF,根據(jù)全等三角形的定義得S-后SAW,Sw卿￡=$△.,又F為

EG中點得SABEMSABGF>故SABBGUZSABEF,即SBDBBC-2SABEF，得③正確.

④設/FEB=x,由②知EF=BF,根據(jù)等邊對等角得/FBE=/FEB=x,由三角形內角和得/

BFE=180°-2x,根據(jù)三角形內角和和等邊對等角得NCFB=/CBF=90°-x,由/CFE=NCFB+

ZBFE,代入數(shù)值化簡即可得④正確.

二.填空題

1.（2018?廣東廣州?3分）如圖9,CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，

垂足為點0,CE與DA的延長線交于點E,連接AC,BE,DO,DO與AC交于點F,則下

①四邊形ACBE是菱形；②/ACD=NBAE

③AF：BE=2：3④S,0E：SAC0D=2：3

其中正確的結論有。（填寫所有正確結論的序號）

【答案】①②④

【考點】三角形的面積，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，平行四邊形的

性質，相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：?VCE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，...AOBO,ZA0E=Z

B0C=90°,BC〃AE,AE=BE,CA=CB,

Z0AE=Z0BC,

.,.△AOE^ABOC（ASA）,

；.AE=BC,

；.AE=BE=CA=CB,

...四邊形ACBE是菱形，

故①正確.

②由①四邊形ACBE是菱形，

I.AB平分NCAE,

ZCA0=ZBAE,

又,:四邊形ABCD是平行四邊形，

，BA〃CD,

ZCAO=ZACD,

...ZACD=ZBAE.

故②正確.

③..七后垂直平分線AB,

；.0為AB中點，

又四邊形ABCD是平行四邊形，

；.BA〃CD,A0=）AB=5CD,

.,?△AFO^ACFD,

,JFAO_1

t'CF~CD~2,

；.AF:AC=1:3,

VAC=BE,

.，,AF:BE=1:3,

故③錯誤.

?VSJC0D=5-CD-OC,

由③知AF:AC=1:3,

3,5.1400='*$*AOxOC=1xax§CDxOC=.S」C0Q，

S%0E=5AOOE=印X|CD-OC=/cOD，

,,Sj￡0E=+Sjj0E==S」COD+：S」COD=^JCOD=J^JCOD,

SAFOESAC0D=23

故④正確.

故答案為：①②④.

【分析】①根據(jù)平行四邊形和垂直平分線的性質得AO=BO,ZA0E=ZB0C=90°.BC/7AE,

AE=BE,CA=CB,根據(jù)ASA得AAOE彩△BOC,由全等三角形性質得AE=CB,根據(jù)四邊相等的

四邊形是菱形得出①正確.

②由菱形性質得/CAO=/BAE,根據(jù)平行四邊形的性質得BA〃CD,再由平行線的性質得N

CAO=ZACD,等量代換得/ACD=NBAE；故②正確.

③根據(jù)平行四邊形和垂直平分線的性質得BA〃CD,A0=1AB=ICD,從而得△AFOS^CFD,

由相似三角形性質得若=言=從而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③錯誤.

④由三角形面積公式得S」c0D=；?CD?OC,從③知AF:AC=1:3,所以

s^0E=s^F+s±i0E=1Sjcod+ISjcod^,S」C8=1s」cm從而得出

S.4F0E:S^cOD=2：3故④正確.

2.（2018?廣東深圳?3分）如圖，四邊形ACFD是正方形，NCEA和NABF都是直角且點E、

D

A、B三點共線，AB=4,則陰影部分的面積是

【答案】8

【考點】全等三角形的判定與性質，正方形的性質

【解析】【解答】解：；四邊形ACFD是正方形，

ZCAF=90°,AC=AF,

AZCAE+ZFAB=90°,

又ZCEA和ZABF都是直角，

：.ZCAE+ZACE=90°,

/./ACE=/FAB,

在4ACE和aFAB中，

[Z￡=LB

ZJC￡=4FAB

'：Lr=F-r,

AAACE^AFAB（AAS）,

VAB=4,

/.CE=AB=4,

11

.".SBI?=SAABC=2,AB,CE=2X4X4=8.

故答案為：8.

【分析】根據(jù)正方形的性質得/CAF=90°,AC=AF,再根據(jù)三角形內角和和同角的余角相等

得/ACE=NFAB,由全等三角形的判定AAS得4ACE絲Z\FAB,由全等三角形的性質得CE=AB=4,

根據(jù)三角形的面積公式即可得陰影部分的面積.

3.（2018?四川宜賓?3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點E為線段AB上

的動點，將4CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是①②③

（寫出所有正確結論的序號）

①當E為線段AB中點時，AF〃CE；

②當E為線段AB中點時，AF=g_；

5

132

③當A、F、C三點共線時，AE=-V13：

3

④當A、F、C三點共線時，△CEFgAAEF.

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質.

【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；

【解答】解：如圖1中，當A答EB時,

；.NEAF=NEFA,

?//CEF=/CEB,ZBEF=ZEAF+ZEFA,

.?.ZBEC=ZEAF,

；.AF〃EC,故①正確,

作EM_LAF,則AM=FM,

在RSECB舊君強

VZAME=ZB=90°,ZEAM=ZCEB,

.,.△CEB^AEAM,

-EC

EB一

一

AMA5E

3-

2

2-

-3

AM

2

.-.AM=_L,

10

.-.AF=2AM=2，故②正確,

5

如圖2中，當A、F、C共線時，設AE=x.

VAE=AF2+EF2,

AX2=(A/13-2)2+(3-x)2,

.V_13-2A/13

??A--------------------,

3

.?.AE-泛陽瓦，故③正確，

3

如果，aCEF畛ZiAEF,則NEAF=NECF=NECB=30°,顯然不符合題意，故④錯誤，

故答案為①②③.

【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質、勾股定理、矩形的性質、相似三角形的判

定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸

題.4.(2018?浙江衢州?4分)如圖，在△ABC和aDEF中，點B,F,C,E在同一直線上,

BF=CE,AB〃DE,請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC父ZkDEF,這個添加的條件可以是AB=ED

________________________________________________________________________(只需寫一

【考點】三角形全等的判定方法

【分析】根據(jù)等式的性質可得BC=EF,根據(jù)平行線的性質可得/B=/E,再添加AB=ED可

利用SAS判定△ABC絲4DEF.

【解答】解：添加AB=ED.

VBF=CE,；.BF+FC=CE+FC,即BC=EF.

'AB=ED

VAB#DE,ZB=ZE.在△ABC和aDEF中1/B=NE，-,?△ABC^ADEF

CB=EF

(SAS).故答案為：AB=ED.

【點評】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若

有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

5.（2018?湖南省永州市F分）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、

CE相交于點D,則NBDC=75°.

【分析】根據(jù)三角板的性質以及三角形內角和定理計算即可;

【解答】解：VZCEA=60°,ZBAE=45°,

:.ZADE=180°-ZCEA-ZBAE=750，

NBDC=/ADE=75°,

故答案為75°.

【點評】本題考查三角板的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知

識，屬于中考基礎題.

三.解答題

1.（2018年江蘇省泰州市州分）如圖，ZA=ZD=90°,AC=DB,AC、DB相交于點0.求證:

0B=0C.

D

【分析】因為NA=ND=90°,AC=BD,BC=BC,知RtABAC^RtACDB(HL),所以AB=CD,

證明aABO與aCDO全等，所以有OB=OC.

【解答】證明：在RtZ\ABC和RtaDCB中

(BD=AC

ICB=BC'

ARtAABC^RtADCB(HL),

：.ZOBC=ZOCB,

.\BO=CO.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證

明線段和角相等的重要工具.

2.(2018?ft東濱州?13分)己知，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC,點D為BC的中點.

(1)如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE±DF,求證：BE=AF；

(2)若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE1DF,那么BE=AF嗎？請利用圖②

說明理由.

【分析】(1)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質可得出AD=BD、ZEBD=ZFAD,根據(jù)同角的余

角相等可得出NBDE=NADF,由此即可證出△BDE^ZsADF(ASA),再根據(jù)全等三角形的性質

即可證出BE=AF；

(2)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出/EBD=/FAD、BD=AD,根據(jù)

同角的余角相等可得出NBDE=/ADF,由此即可證出4EDB絲4FDA(ASA),再根據(jù)全等三角

形的性質即可得出BE=AF.

【解答】(1)證明：連接AD,如圖①所示.

,.,ZA=90°,AB=AC,

...△ABC為等腰直角三角形，ZEBD=45°.

1,點D為BC的中點,

.\AD=1.BC=BD,ZFAD=45".

2

VZBDE+ZEDA=90°,ZEDA+ZADF=90°,

，ZBDE=ZADF.

'NEBD=NFAD

在ABDE和4ADF中，|BD=AD，

ZBDE=ZADF

.".△BDE^AADF(ASA),

.,.BE=AF；

(2)BE=AF,證明如下：

連接AD,如圖②所示.

VZABD=ZBAD=45",

.".ZEBD=ZFAD=135°.

VZEDB+ZBDF=90°,ZBDF+ZFDA=90°,

.\ZEDB=ZFDA.

'/EBD=/FAD

在4EDB和4FDA中，BD-AD,

ZEDB=ZFDA

.,.△EDB^AFDA(ASA),

.\BE=AF.

圖①

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形、補角及余角，解題的關鍵

是：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證出aBDE絲aADF：（2）根據(jù)全等三角形的判定定

理ASA證出AEDB絲ZXFDA.

3（2018?ft東荷澤?6分）如圖，AB〃CD,AB=CD,CE=BF.請寫出DF與AE的數(shù)量關系,

并證明你的結論.

，D

E

【考點】KD：全等三角形的判定與性質.

【分析】結論：DF=AE.只要證明△CDFZaBAE即可；

【解答】解：結論：

DF=AE.理由：VAB/7CD,

NC=NB,

VCE=BF,

；.CF=BE,VCD=AB,

.'.△CDF^ABAE,

.'.DF=AE.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件,

屬于中考?？碱}型.

4.(2018?湖南省衡陽?6分)如圖，已知線段AC,BD相交于點E,AE=DE,BE=CE.

(1)求證:AABE^ADCE；

(2)當AB=5時，求CD的長.

【解答】(1)證明：在aAEB和ADEC中,

'AE=DE

<NAEB=NDEC，

BE=EC

AAAEB^ADEC(SAS).

(2)解：VAAEB^ADEC,

；.AB=CD,

VAB=5,

；.CD=5.

5.(2018?湖北省武漢?8分)如圖，點E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF與DE

交于點G,求證：GE=GF.

Z°EAF\c

【分析】求出BF=CE,根據(jù)SAS推出△ABF/ZXDCE,得對應角相等，由等腰三角形的判定

可得結論.

【解答】證明：；BE=CF,

；.BE+EF=CF+EF,

.\BF=CE,

在aABF和4DCE中

'AB=DC

<ZB=ZC

BF=CE

.,.△ABF^ADCE(SAS),

.,.ZGEF=ZGFE,

.\EG=FG.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的

判定方法是解題的關鍵.

6.(2018?湖北省宜昌?11分)在矩形ABCD中，AB=12,P是邊AB上一點，把4PBC沿直

線PC折疊，頂點B的對應點是點G,過點B作BEXCG,垂足為E且在AD上，BE交PC于

點F.

(1)如圖1,若點E是AD的中點，求證：Z\AEBg△?￡(?；

(2)如圖2,①求證：BP=BF；

②當AD=25,且AEVDE時，求cos/PCB的值；

③當BP=9時，求BE?EF的值.

【分析】(1)先判斷出NA=ND=90°,AB=DC再判斷出AE=DE,即可得出結論；

(2)①利用折疊的性質，得出/PGC=/PBC=90°,ZBPC=ZGPC,進而判斷出/GPF=NPFB

即可得出結論；

②判斷出AABEs△[)￡(；,得出比例式建立方程求解即可得出AE=9,I)E=16,再判斷出4ECF

^△GCP,進而求出PC,即可得出結論；

③判斷出△GEFs^EAB,即可得出結論.

【解答】解：(1)在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=DC,

是AD中點，；.AE=DE,

'AB=DC

在aABE和ADCE中，JZA=ZD=90°，>,?△ABE^ADCE(SAS)；

,AE=DE

(2)①在矩形ABCD,ZABC=90°,

「△BPC沿PC折疊得到△GPC,；./PGC=/PBC=90°,/BPC=NGPC,

VBE±CG,，BE〃PG,NGPF=NPFB,AZBPF=ZBFP,，BP=BF；

②當AD=25時，VZBEC=90°,AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB+ZABE=90°,AZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,.,.△ABE^ADEC,-DE,

AECD

設；.x=9或x=16,

x12

VAE<DE,.\AE=9,DE=16,；.CE=20,BE=15,

由折疊得，BP=PG,.\BP=BF=PG,VBE/7PG,

.,.△ECF^AGCP,.?里;.y=生,

PGCGy253

；腳=空在RtZXPBC^5^.,cos/PCB=W=^ZI^；

33PC10

③如圖，連接FG,

VZGEF=ZBAE=90°,

?；BF〃PG,BF=PG,.*.oBPGF是菱形，，BP〃GF,ZGFE=ZABE,

.,.△GEF^AEAB,...里HBE?EF=AB?GF=12X9=108.

GF~BE

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三

角形的判定和性質，折疊的性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

7.（2018?ft東泰安?11分）如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE_LAC于點E,F是AD

的中點，F(xiàn)GLBC于點G,與DE交于點H,若FG=AF,AG平分/CAB,連接GE,CD.

(1)求證：ZSECG絲△GHD；

(2)小亮同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學證明這一結論.

(3)若NB=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.

【分析】(1)依據(jù)條件得出/C=/DHG=90°,ZCGE=ZGED,依據(jù)F是AD的中點，F(xiàn)G〃AE,

即可得到FG是線段EI)的垂直平分線，進而得到GE=GD,ZCGE=ZGDE,利用AAS即可判

定

△ECG^AGHD；

(2)過點G作GP1AB于P,判定aCAG部△PAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即

可得到Rt^ECG絲RtaGPD,依據(jù)EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

(3)依據(jù)NB=30°,可得NADE=30°,進而得到IAD,故AE=AF=FG,再根據(jù)四邊形AECF是

2

平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形.

【解答】解：(1)VAF=FG,

/FAG=/FGA,

：AG平分NCAB,

.,.ZCAG=ZFGA,

.,.ZCAG=ZFGA,

；.AC〃FG,

VDE±AC,

.,.FG±DE,

VFG1BC,

；.DE〃BC,

.,.AC±BC,

AZC=ZDIIG=90°,ZCGE=ZGED,

：F是AD的中點,FG〃AE,

AHMED的中點，

???FG是線段ED的垂直平分線，

；.GE=GD,ZGDE=ZGED,

，NCGE=NGDE,

.,,△ECG^AGHD；

(2)證明：過點G作GPLAB于P,

***GC=GP>而AG—AG,

/.△CAG^APAG,

???AC=AP,

由⑴可得EG二DG,

.,.RtAECG^RtAGPD,

???EC=PD,

???AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四邊形AEGF是菱形，

證明：VZB=30°,

???NADE=30°,

.?.AE』D,

2

；.AE=AF=FG,

由⑴得AE〃FG,

四邊形AECF是平行四邊形，

四邊形AEGF是菱形.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性質，線段

垂直平分線的判定與性質以及含30。角的直角三角形的性質的綜合運用，利用全等三角形

的對應邊相等，對應角相等是解決問題的關鍵.

8.(2018?新疆生產(chǎn)建設兵團?8分)如圖，口ABCD的對角線AC,BD相交于點0.E,F是

AC上的兩點，并且AE=CF,連接DE,BF.

(1)求證：Z^DOE名△BOF；

(2)若BD=EF,連接FB,DF.判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由.

D

【分析】(1)根據(jù)SAS即可證明；

(2)首先證明四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是菱形即可證明;

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\OA=OC,OB=OD,

VAE=CF,

.\OE=OF,

在△口￡()和aBOF中，

'OD=OB

<ZDOE=ZBOF

OE=OF

/.△DOE^ABOF,

(2)解：結論：四邊形EBFD是菱

形.理由:VOD=OB,OE=OF,

二四邊形EBFD是平行四邊形，

VBD=EF,

.?.四邊形EBFD是菱形.

【點評】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練

掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

9(2018?四川宜賓?6分)如圖，已知N1=N2,ZB=ZD,求證：CB=CD.

C\2

D

【考點】KD：全等三角形的判定與性質.

【分析】由全等三角形的判定定理AAS證得△ABCgZ\ADC,則其對應邊相等.

【解答】證明：如圖，

ZACB=ZACD.

在AABC與4ADC中，

'NB=ND

<ZACB=ZACD'

AC=AC

/.△ABC^AADC（AAS）,

【點評】考查了全等三角形的判定與性質.在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的

公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形.

10.（2018?四川自貢?12分）如圖，已知NA0B=60°,在NA0B的平分線0M上有一點C,

將一個120。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線0A、0B相交于點D、E.

（1）當NDCE繞點C旋轉到CD與0A垂直時（如圖1）,請猜想0E+0D與0C的數(shù)量關系，并

說明理由；

（2）當/DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成

立？并說明理由；

（3）當/DCE繞點C旋轉到CD與0A的反向延長線相交時，上述結論是否成立？請在圖

3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段01）、0E與0C之間又有怎樣的數(shù)量關

明.

【分析】（1）先判斷出N0CE=60°,再利用特殊角的三角函數(shù)得出0D=Yi）C,同0E=叵C,

22

即可得出結論;

(2)同(1)的方法得V30C,再判斷出△CFDWZ\CGE,得出DF=EG,最后等量代換即可

得出結論；

(3)同(2)的方法即可得出結論.

【解答】解：⑴...OM是NAOB的角平分線,

AZAOC=ZBOC=iZAOB=30°,

2

VCD±OA,

?.Z0DC=90°,

AZ0CD=60°,

ZOCE=ZDCE-Z0CD=60°,

在RtZXOCD返OC,同理：OE=?)C,

22

.".OD+OD=V3OC；

(2)(1)中結論仍然成立，理由：

過點C作CF1,OA于F,CGJ_OB于G,

；./0FC=/0GC=90°,

VZA0B=60°,

AZFCG=120°,

同(1)的方法得，OF=?)C,OG=?)C,

22

.,.OF+OG=V3OC,

VCF±0A,CG1OB,且點C是/AOB的平分線OM上一點,

/.CF=CG,

VZDCE=120°,ZFCG=120°,

.,.ZDCF=ZECG,

/.△CFD^ACGE,

；.DF=EG,

.,.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,

.,.OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,

OD+OE=加oc

(3)(1)中結論不成立，結論為：0E-OD=V30C,

理由：過點C作CF±OA于F,CG±OB于G,

.".Z0FC=Z0GC=90°,

VZA0B=60",

/.ZFCG=120°,

同(1)的方法得，OF=KOC,OG=?)C,

22

.,.0F+0G=V30C,

VCF±OA,CG10B,且點C是NAOB的平分線OM上一點，

.?.CF=CG,VZDCE=120°,ZFCG=120°,

.,.ZDCF=ZECG,

.,.△CFD^ACGE,

，DF=EG,

AOF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

.,.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,

AOE-OD=V3OC.

【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的定義和定理，全等三角形的判定和

性質，特殊角的三角函數(shù)直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵.

11.(2018?湖北黃岡?8分)如圖，在DABCD中，分別以邊BC,CD作等腰ABCF,ACDE,

使BC=BF,CD=DE,ZCBF=ZCDE,連接AF,AE.

(1)求證：ZSABF絲4EDA；

(2)延長AB與CF相交于G,若AFLAE,求證BFJ_BC.

A

（第20題圖）

【考點】平行四邊形、全等三角形，等腰三角形.

【分析】（1）先證明NABF=NADE,再利用SAS證明AABF烏ZXEDA；

（2）要證BF1.BC,須證NFBC=90°,通過AFLAE挖掘角的量的關系。

【解答】（1）證：???Z7ABCD,

.\AB=CD=DE,BF=BC=AD

又NABC=/ADC,ZCBF=ZCDE,

.?.NABF=NADE；在

△ABF與AEDA中，

CAB=DE

(ZABF=ZADE

IBF=AD

.,.△ABF^AEDA.

（2）由（1）知/EAD=NAFB,/GBF=/AFB+/BAF,

由Z7ABCD可得:AD〃BC,

.,.ZDAG=ZCBG,

/FBC=ZFBG+ZCBG=ZEAD+ZFAB+ZDAG=ZEAF=90",

.\BF1BC.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性

質.難度一般。

12.（2018?湖北荊門?9分）如圖，在Rt/XABC中，（岫,N2）,ZBAC=30°,E為AB邊的中點,

以BE為邊作等邊△BDE,連接AD,CD.

（1）求證：ZXADE絲ZXCDB；

（2）若BC=遂，在AC邊上找一點H,使得BH+EH最小，并求出這個最小值.

B

￡

AC

【分析】（1）只要證明ADEB是等邊三角形，再根據(jù)SAS即可證明；

（2）如圖，作點E關于直線AC點E',連接BE'交AC于點H.則點H即為符合條件的點.

【解答】（1）證明：在RtZ\ABC中，ZBAC=30°,E為AB邊的中點，

.\BC=EA,ZABC=60°.

VADEB為等邊三角形，

；.DB=DE,ZDEB=ZDBE=60°,

AZDEA=120°,ZDBC=120°,

.".ZDEA=ZDBC

.,.△ADE^ACDB,

（2）解：如圖，作點E關于直線AC點E',連接BE'交AC于

點H.則點H即為符合條件的點.

由作圖可知：EH=HE',AE'=AE,ZE;AC=ZBAC=30°.

AZEAE'=60°,

??.△EAE）為等邊三角形，

???EE，=EA=yAB'

/.ZAE'B=90°,

在RtAABCBC=V3>

，AB=2?,AE'=AE=V3-

BE'=VAB2-AE/2=7（2V3）2-（V3）2=3'

ABH+EH的最小值為3.

【點評】本題考查軸對稱最短問題、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等

知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

13.（2018?浙江臨安?6分）已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,

AE=CF.

求證：(1)AADF^ACBE；

(2)EB〃DF.

【考點】三角形全等的判定方法

【分析】（1）要證△ADF0ZiCBE,因為AE=CF,則兩邊同時加上EF,得到AF=CE,又因為ABCD

是平行四邊形，得出AD=CB,ZDAF=ZBCE,從而根據(jù)SAS推出兩三角形全等；

（2）由全等可得到NDFA=NBEC,所以得到DF〃EB.

【解答】證明：（1）VAE=CF,

/.AE+EF=CF+FE,即AF=CE.

又ABCD是平行四邊形，

.\AD=CB,AD/7BC.

AZDAF=ZBCE.在

△ADF與4CBE中

rAF=CE

<ZDAF=ZBCE>

,AD=CB

.,.△ADF^ACBE（SAS）.

（2）VAADF^ACBE,

，ZDFA=ZBEC.

，DF〃EB.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

AAS、ASA、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若

有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

14（2018?浙江寧波70分）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點

（點D與A,B不重合），連結CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段

CE,連結DE交BC于點F,連接BE.

（1）求證:AACD^ABCE；

(2)當AD=BF時，求/BEF的度數(shù).

【考點】全等三角形的判定與性質

【分析】(1)由題意可知:CD=CE,ZDCE=90°,由于NACB=90°,所以NACD=NACB-ZDCB,

ZBCE=ZDCE-ZDCB,所以/ACD=NBCE,從而可證明4ACD絲ABCE(SAS)

(2)由△ACDgZ\BCE(SAS)可知：ZA=ZCBE=45°,BE=BF,從而可求出/BEF的度數(shù).

【解答】解：(1)由題意可知:CD=CE,ZDCE=90°,

VZACB=90°,

AZACD=ZACB-ZDCB,

ZBCE=ZDCE-ZDCB,

ZACD=ZBCE,

在4ACD與aBCE中，

"AC=BC

<ZACD=ZBCE

CD=CE

AAACD^ABCE(SAS)

(2)VZACB=90°,AC=BC,

.".ZA=45°,

由(1)可知:ZA=ZCBE=45°,

VAD=BF,

，BE=BF,

ZBEF=67.5°

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練運用旋轉的性質以及全等三

角形的判定與性質，本題屬于中等題型.

15.(2018?浙江衢州?6分)如圖，在n4用力中，AC是對角線，BE±AC,DF±AC,垂足

分別為點E,F,求證：AE=CF.

【考點】全等三角形的判定與性質

【分析】由全等三角形的判定定理AA$證得△ABEgZ\CDF,則對應邊相等：AE=CF.

【解答】證明：如圖，

?.,四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD,AB〃CD,

ZBAE=ZDCF.又BE_LAC,DF±AC,AZAEB=ZCFD=90°.

"ZAEB=ZCFD

在AABE與4CDF中，ZBAE=ZDCF>二得^ABE絲Z\CDF(AAS),/.AE=CF.

AB=CD

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖

是解題的關鍵.

16（2018?廣東廣州?9分）如圖，AB與CD相交于點E,AE=CE,DE=BE.求證：ZA=ZC?

【答案】證明：在4DAE和4BCE中,

L1E=CE

N。及4=乙BEG

lDF=KF

.".△DAE^ABCE(SAS),

.\ZA=ZC,

【考點】全等三角形的判定與性質

【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定SAS得三角形全等，再由全等三角形性質得證.

17（2018?廣東廣州?12分）如圖，在四邊形ABCD中，/B=NC=90°,AB>CD,

AD=AB+CD.

(1)利用尺規(guī)作NADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，①證明：AE1DE；

②若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點，求BM+MN的最小值。

連接EF,

VDE平分NADC,

.\ZFDE=ZCDE,

在ZXFED和ZXCDE中,

DF=DC,ZFDE=ZCDE,DE=DE

/.△FED^ACDE(SAS),

AZDFE=ZDCE=90°，ZAFE=1800-ZDFE=90°

.\ZDEF=ZDEC,

VAD=AB+CD,DF=DC,

/.AF=AB,

RtAAFE^RtAABE(HL)

NAEB=/AEF,

AZAED=ZAEF+ZDEF=5ZCEF+5ZBEF=5(ZCEF+ZBEF)=90°.

AAE±DE

②解：過點D作DPJ_AB于點P,

:由①可知，B,F關于AE對稱,BM=FM,

，BM+MN=FM+MN,

當F,M,N三點共線且FN_LAB時，有最小值，

VDP±AB,AD=AB+CD=6,

AZDPB=ZABC=ZC=90°,

四邊形DPBC是矩形，

，BP=DC=2,AP=AB-BP=2,

在RtAAPD中，DP=，心-,3=4收，

VFN±AB,由①可知AF=AB=4,

；.FN〃DP,

AAAFN^AADP

.一?FN

??AD~DP'

4FN

即釬雨,

解得FN=更，

3

；.BM+MN的最小值為生

3

【考點】全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，作圖一基本作圖，軸對稱的應用-

最短距離問題，相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分的做法即可畫出圖.（2）①在AD上取一點F使DF=DC,連

接EF；角平分線定義得/FDE=/CDE；根據(jù)全等三角形判定SAS得△FEDgZ\CDE,再由全

等三角形性質和補角定義得/DFE=/DCE=/AFE=90°,

ZDEF=ZDEC；再由直角三角形全等的判定IIL得RtAAFE^RtAABE,由全等三角形性質得

ZAEB=ZAEF,再由補角定義可得AEJ_DE.

②過點D作DPJ_AB于點P；由①可知，B,F關于AE對稱，根據(jù)對稱性質知BM=FM,

當F,M,N三點共線且FN1AB時，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在RtAAPD中，根

2

據(jù)勾股定理得DP=小山-AP;4舊；由相似三角形判定得△AFNS/XADP,再由相似三

角形

性質得嗡=第，從而求得FN,即BM+MN的最小值.

18.（2018?廣東深圳?9分）如圖：在0。中，BC=2,AB=AC,點D為AC上的動點，且

(1)求AB的長度;

(2)求AD?AE的值；

(3)過A點作AH_LBD,求證:BH=CD+DH.

【答案】（1）解：作AM_LBC,

VAB=AC,BC=2,AM1BC,

1

；.BM=CM=2BC=1,

在RtAAMB中，

BM—叵

VcosB=AB—10,BM=1,

I-

；.AB=BM+cosB=l+-TO-=V10.

(2)解：連接CD,VAB=AC,

???NACB=NABC,

???四邊形ABCD內接于圓0,

.\ZADC+ZABC=180°，又

VZACE+ZACB=180°,

AZADC=ZACE,

VZCAE=ZCAD,

AAEAC^ACAD,

AC_AE

???.AD-JC,

.\AD?AE=AC=AB2=(2=10.

(3)證明：在BD上取一點N,使得

BN=CD,在AABN和AACD中

AB=AC

N3=Z1

t3N=CD

/.△ABN^AACD(SAS),

.*.AN=AD,

VAH±BD,AN=AD,

；.NH=DH,

又：BN=CD,NH=DH,

.,.BH=BN+NH=CD+DH.

【考點】全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，圓內接四邊形的性質，相似三角形

的判定與性質，銳角三角函數(shù)的定義

1

【解析】【分析】(1)作AMLBC,由等腰三角形三線合一的性質得BM=CM=2BC=1,在RtA

BM—叵

AMB中，根據(jù)余弦定義得cosB=AB—10,由此求出AB.

(2)連接CD,根據(jù)等腰三角形性質等邊對等角得NACB=NABC,再由圓內接四邊形性質和

等角的補角相等得/ADC=/ACE；由相似三角形的判定得△EACs^CAD,根據(jù)相似三角形的

性質得

AC_AE

.IDAC；從而得AD,AE=AC2-AB-.

(3)在BD上取一點N,使得BN=CD,根據(jù)SAS得aABN絲4ACD,再由全等三角形的性質得

AN=AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得N11=DH,從而得BH=BN+NH=CD+DI1.

19.(2018?廣東?7分)如圖，矩形ABCD中，AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折

疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F,連接DE.

(1)求證：AADE^ACED；

(2)求證：4DEF是等腰三角形.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質可得出AD=BC、AB=CD,結合折疊的性質可得出AD=CE、AE=CD,

進而即可證出AADE絲ACED(SSS)；

(2)根據(jù)全等三角形的性質可得出NDEF=/EDF,利用等邊對等角可得出EF=DF,由此即可

證出aDEF是等腰三角形.

【解答】證明：(1)?四邊形ABCD是矩形，

；.AD=BC,AB=CD.

由折疊的性質可得：BC=CE,AB=AE,

AAD=CE,AE=CD.

AD=CE

在4ADE和4CED中，4AE=CD，

DE=ED

.".△ADE^ACED(SSS).

(2)由(1)得△ADEgACED,

NDEA=/E