自動(dòng)控制原理習(xí)題及其解答

第一章(略)

第二章

例2-1彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示，系統(tǒng)為無(wú)質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方

程。

解：(1)設(shè)輸入為％,輸出為加。彈簧與阻尼器并聯(lián)平行移動(dòng)。

(2)列寫(xiě)原始方程式，由于無(wú)質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時(shí)刻，均滿足Z尸=0,則

對(duì)于A點(diǎn)有

Ff+FK\-FK2=0

其中，號(hào)為阻尼摩擦力，F(xiàn)KI，&2為彈性恢復(fù)力。

(3)寫(xiě)中間變量關(guān)系式

火%-X))

dt

"冬（，-°）

FK2~K2yo

(4)消中間變量得

吟一吟+?〃—冬i2凡

(5)化標(biāo)準(zhǔn)形

其中：T=_5_為時(shí)間常數(shù)，單位［秒］。

Ki+K2

K

K=?為傳遞函數(shù),無(wú)量綱。

儲(chǔ)+七

例2-2已知單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如圖2-2示。

(1)寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程式

(2)求取線性化方程

解：(1)設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角。，擺球質(zhì)量為加。

(2)由牛頓定律寫(xiě)原始方程。

%）=-mgsh\8-h

dr

其中，/為擺長(zhǎng)，/。為運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)，〃為空氣阻力。

(3)寫(xiě)中間變量關(guān)系式

h=a(l—)

dt

式中，。為空氣阻力系數(shù)/也為運(yùn)動(dòng)線速度。

dt

(4)消中間變量得運(yùn)動(dòng)方程式

圖2-2單擺運(yùn)動(dòng)

(2-1)

dt2dt&

此方程為二階非線性齊次方程。

(5)線性化

由前可知，在9=0的附近，非線性函數(shù)sin?-e,故代入式(2-1)可得線性化方程為

在也+,/也+領(lǐng)=0

dt1dt$

例2?3已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。

<344

圖2-3機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

解：(1)設(shè)輸入量作用力矩必，輸出為旋轉(zhuǎn)角速度。。

(2)列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程式

dO)「一

Jr-j-=—fco+M/.

式中，a為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。

(3)整理成標(biāo)準(zhǔn)形為

d(6〃,,

Jr—/ky=M,

此為一階線性微分方程，若輸出變量改為夕則由于

d0

(0--

dt

代入方程得二階線性微分方程式

dt2dt

例2-4設(shè)有一個(gè)倒立擺安裝在馬達(dá)傳動(dòng)車上。如圖2-4所示。

y

倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒(méi)有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦妫鼘㈦S時(shí)可能向任何方向傾

倒，這里只考慮二維問(wèn)題，即認(rèn)為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。控制力〃作用于小車

上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心人試求該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。

解：（1）設(shè)輸入為作用力”，輸出為擺角6。

（2）寫(xiě)原始方程式，設(shè)擺桿重心力的坐標(biāo)為（X”，M）于是

J

XA=Xt-h\n6

Xy=/COS。

畫(huà)出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖2—5所示。

圖2-5隔離體受力圖

擺桿圍繞重心Z點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:

J巴：二以sine—a/cose(2-2)

dt2

式中，/為擺桿圍繞重心力的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

擺桿重心/沿X軸方向運(yùn)動(dòng)方程為:

m^-=H

dt2

,2

即m--(x+/sin0)=H(2-3)

dt

擺桿重心Z沿y軸方向運(yùn)動(dòng)方程為:

dr

即m(/cos8)=V-mg

小車沿x軸方向運(yùn)動(dòng)方程為:

一d?x

M——=u-Hrr

dt2

方程(2-2),方程(2-3)為車載倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程組。因?yàn)楹衧in。和cos。項(xiàng)，所以

為非線性微分方程組。中間變量不易相消。

(3)當(dāng)。很小時(shí)，可對(duì)方程組線性化，由sine^e,同理可得到cosF則方程式(2-2)式

(2-3)可用線性化方程表示為：

d2A

dt2

d2x,d-eu

m——+ml———=ri

dt2dt2

0=V-mg

,d2x

Mz——-u-rrH

dt2

用S2=J的算子符號(hào)將以上方程組寫(xiě)成代數(shù)形式，消掉中間變量/、H、X得

dt2

、八

(/-Ml/--A--f-+--W-J)s20n+(/Mlz+m)gO-u

ml

將微分算子還原后得

…MJJ、d?e3、do

(Mld------F-)——-(M+m)g——=-u

mlIdt1dt

此為二階線性化偏量微分方程。

例2?5RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖2—6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞

函數(shù)a(s)/a(s)。

R,

圖2-6RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)

解：在線性電路的計(jì)算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、復(fù)阻抗之間的關(guān)系，滿足

廣義的歐姆定律。即：

U(s)

=Z(s)

如果二端元件是電阻R、電容C或電感L,則復(fù)阻抗Z(s)分別是R、1/Cs或Lso

(1)用復(fù)阻抗寫(xiě)電路方程式：

/2(S)="|(S)-UC2(S)〕；

“2

K，2(S)=/2(5)-!-

C2s

(2)將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得KC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見(jiàn)圖2—6(〃)。

(3)用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)的過(guò)程見(jiàn)圖2—6(°)、3)、(e)o

R}?C2s

(b)

RGs

1

1+R仆l+/2Gs

(c)

I

化GRCZ+(R]G+R＜；+RC)s+l

(d)

圖2-6AC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

(4)用梅遜公式直接山圖2—6(份寫(xiě)出傳遞函數(shù)a(s)/U,.(s)o

A

獨(dú)立回路有三個(gè):

R2C2sR2c2s

1___1_-1

C}SR2-7?2cls

回路相互不接觸的情況只有L,和L2兩個(gè)回路。則

=L、L^=~

R[C[R2c2s2

由上式可寫(xiě)出特征式為:

1111

A=1—(A1+L)+L3)—L[L?=]+---------1-----------1-----------1-----------------

RiGSR2c2sR2GsR[C]R2c2s2

通向前路只有??條

J___1___1___1__]

RtGSR2C2S-&R2cle2s2

由于G1與所有回路〃，L2,乙3都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為

A1=1

代入梅遜公式得傳遞函數(shù)

]

G_G]A]_H]C]R2c2s之

=△=:iiii

1+--------1----------1---------1---

2

RgsR2c2sR2clsR}C}R2C2S

________________1_______________

R]R2cle2$2+(R]G+R2c2+R\C2)s+1

例2-6有源網(wǎng)絡(luò)如圖2—7所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果，直

接用于圖2—8所示PI調(diào)節(jié)器，寫(xiě)出傳遞函數(shù)。

解：圖2?7中Z.和4表示運(yùn)算放大器外部電路中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗，假設(shè)4點(diǎn)

為虛地，即以n0,運(yùn)算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是：/1=/2

q(s)=/1(s)4(s)

則有：

U/s)=—，2(s)Z/(s)

故傳遞函數(shù)為

4(s)Z/(s)

G(s)=(2-4)

Z,(s)

對(duì)于由運(yùn)算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式(2-4)可看作計(jì)算傳遞函數(shù)的一般公式，對(duì)于圖2-8所

示P1調(diào)節(jié)器，有

Zj(s)=&

Zy(5)=??,+—

故

Z/(s)&+衣RCS+1

G(s)=----------=------------=------------

Zj⑸&R}CS

例2?7求下列微分方程的時(shí)域解x(r)o已知x(0)=0,攵(0)=3。

d2x?

--4-3—+6x=0

dt2dt

解：對(duì)方程兩端取拉氏變換為：

S2X(s)-Sx(0)-x(0)+3斯(s)-3x(0)+6X(s)=0

代入初始條件得到

(S2+3S+6)X($)=3

解出X(s)為：

A

X(c=3_2.F

SFS+6石(S+L?+(爭(zhēng)2

反變換得時(shí)域解為：

,八2百15一而,、

x(/)=^^esin(^-Z)

例2?8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2?9所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

歐s)_G+H]?

r

1+GH2'

圖2-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化

解：(1)首先將含有G2的前向通路上的分支點(diǎn)前移，移到下面的回環(huán)之外。如圖2-10(。)

所示。

(2)將反饋環(huán)和并連部分用代數(shù)方法化簡(jiǎn)，得圖2-10(b).

(3)最后將兩個(gè)方框串聯(lián)相乘得圖2-10(c)o

例2-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解：

(1)將兩條前饋通路分開(kāi)，改畫(huà)成圖

2-12(a)的形式。

(2)將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2-12

⑹。

(3)先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式

R(,s)C(s)

AG|3+G?+1

圖2-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將支路化簡(jiǎn)為圖2-12(c)。

例2-10已知機(jī)械系統(tǒng)如圖2-13(a)所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13⑹所示,試畫(huà)出兩系統(tǒng)

結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。

由i毋…

(b)電氣系統(tǒng)

(")機(jī)械系統(tǒng)3

圖2-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：(D若圖2-13(a)

所示機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，

遵循以下原則并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動(dòng)，位移相同，串聯(lián)元件各元

件受力相同，總位移等于各元件相對(duì)位移之和。

微分方程組為：

F=F[+F2=fi(xi-x0)+Kl(xi-x0)

，尸=力(即-))

F=K2y

取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有:

尸(S)=(/s+K|)[(x，(s)-x0(S)]

y(s)=；F(s)

Xo(s)=jF(s)+y(s)

fiS

畫(huà)結(jié)構(gòu)圖如圖2—14：

X,

圖2-14機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求傳遞函數(shù)為:

I1ff

~、K+小）（丁+―）（？S+I）（A+I）

A

0（5）_k2j2s_k［K2

X（s）1+（占+加）（；+；）（A5+1）（A5+1）+AS

K2J2、K,?zv2rv?

（2）寫(xiě)圖2-13（6）所示電氣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，按電路理論，遵循的定律與機(jī)械系統(tǒng)相似,

即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各元件

分電壓之和，可見(jiàn)，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。

運(yùn)動(dòng)方程可直接用復(fù)阻抗寫(xiě)出：

/（s）=小+/，⑸=；［片（s）-片⑸］+Gs［（g（s）-E0（s）］

K\

"（s）=；［￡0（s）—名2（s）］

尺2

/（5）=C2s+EC2（S）

整理成因果關(guān)系:

/(s)=(；+Gs)[(E,(s)-Eo(s)l

火1

Ec2(S)=不1/G)

Eo(s)=瓜2+&2(s)

畫(huà)結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所示:

圖2-15電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求傳遞函數(shù)為:

(g+Gs)(4

火](RCS+1XR2C2S+D

E,(s)(KGS+l)(R?C、s+1)+7?1CjS

對(duì)上述兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出。兩個(gè)系統(tǒng)是相似的。機(jī)一電系

統(tǒng)之間相似量的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表2-1。

表2-1相似量

機(jī)械系統(tǒng)XiX。yFF\出KiUK?f2

電氣系統(tǒng)iiil/RR

6%e<?2GC2

例2-11RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-16所示，其中均為網(wǎng)絡(luò)輸入量，"2為網(wǎng)絡(luò)輸出量。

(1)畫(huà)出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖；

(2)求傳遞函數(shù)5⑸/5⑸。

解：(1)用復(fù)阻抗寫(xiě)出原始方程組。

輸入回路17]=&]/]+(/]+/2)---

C2s

輸出回路。2=尺2,2+(，1+，2)不一

C2s

中間回路/內(nèi)=(火2+4一)42

(3)整理成因果關(guān)系式。

715—(/]+，2)/-

C]5

，2=

色G$+1

U?=RJ?+3+^2)7^~

C2s

即可畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。

圖2-17網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖(4)用梅遜公式求出:

U2G(A|+G2A2+G3A3

~U\~A-

—+—...—+——R

_R]C2s&GS+1C2sH2GS+I2

=；1+---i--+----c->---?—i

R]C2sR2C1S+1C2s

R]R2clC2s2+(K]+7?2)GS+1

R]R2cle2s2+(7?]C2+R?Ci+&G)s+1

例2?12已知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/H(s)。

圖2-18信號(hào)流圖

解：?jiǎn)为?dú)回路4個(gè)，即

="GI~G2~G3~GtG2

兩個(gè)互不接觸的回路有4組，即

^LbLc-GlG2+GlGi+G2G3+GiG2G3

三個(gè)互不接觸的回路有1組，即

也"=-G]G2G3

于是，得特征式為

=1+G]+G?+G3+2G]G2+6)(?3+G2G3+2G1G2G3

從源點(diǎn)R到阱節(jié)點(diǎn)C的前向通路共有4條,其前向通路總增益以及余因子式分別為

Pi=GQ2G3K△1=1

「G2G3KA2=1+G]

P3=GQ3K△3=1+62

P4=—G[G2G3K△4=1

因此，傳遞函數(shù)為

c(s)=々A+P?Z+P3X+

G2G3^(1+G[)+G]G3K(1+G?)

1+G]+G?+G3+2G]G2+GQ3+G2G3+2GQ2G3

第三章

例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示。

已知傳遞函數(shù)G(s)=10/(0.2s+l)。今欲采用加負(fù)反饋的辦法，將過(guò)渡過(guò)程時(shí)間4減

小為原來(lái)的01倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)心和Ko的數(shù)值。

解首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)0(s),并整理為標(biāo)準(zhǔn)式，然后與指標(biāo)、參數(shù)的條件對(duì)照。

-階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間。與其時(shí)間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應(yīng)為

10

。(5)=

(0.25/10+1)

即

C(s)_K°G(s)_10K。

~R(s)~1+KHG(S)~0.2s+1+10/Cw

10K。

5+1)

1+lOK”

比較系數(shù)得

1+10K”

1+10Ka=10

解之得

KH=0.9、I=10

解畢。

例3-10某系統(tǒng)在輸入信號(hào)，⑺=(1+。1⑺作用下，測(cè)得輸出響應(yīng)為:

<?(/)=(/+0.9)-0.9e-1°,(r20)

已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(s)。

解因?yàn)?/p>

n/、11S+l

10.90.910(5+1)

C(s)=L[c(f)]=

7+T~5+1052(5+10)

故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

R(s)O.b+1

解畢。

例3-3設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-2所示。

試分析參數(shù)b的取值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能的影響。

解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為

°“(s、)=-----K-----

(T+/>K)s+l

系統(tǒng)是一階的。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為

td=0.69(7+6K)

/,=2.2(7+6K)

ts=3(T+6K)

因此，/>的取值大將會(huì)使階躍響應(yīng)的延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都加長(zhǎng)。解畢。

例3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍

fllrilI.；,

解首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3,故此系統(tǒng)的增益不是1,而是

3。系統(tǒng)模型為

…一3洸

$2+2初+

然后由響應(yīng)的“2％、5及相應(yīng)公式，即可換算出

K

c(乙)一巡知4-3

M%===上=33%

peg3

tp^0.1(s)

由公式得

//,%=e-吟必=33%

兀

0.1

換算求解得：4=0.33、(0?=33.2

解畢。

例3-13設(shè)系統(tǒng)如圖3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于15%,峰值時(shí)間等于0.8s,

試確定增益&和速度反饋系數(shù)K,。同時(shí)，確定在此K和尤數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時(shí)間、上升時(shí)

間和調(diào)節(jié)時(shí)間。

TK\

s(s+1)

1+K/S

圖3-35

解由圖示得閉環(huán)特征方程為

S?+(l+&K,)s+K1=0

即

1+K。；

K\=%。

2?！?/p>

由己知條件

Mp%=I嗚樂(lè)=0.15

=0.8

解得

￡=0.517,0“=4.588.「

于是

K.=21.05儲(chǔ)=2"“=0.178

降

=1+0.61+0常=0297s

①"

產(chǎn)產(chǎn)￡==生平咨=0.538s

①“41-3①”戊一針

3.5

=1.476s

解畢。

例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-36所示。試設(shè)計(jì)反饋通道傳遞函數(shù)”(s),使系統(tǒng)阻尼比提高到

希望的。值，但保持增益K及自然頻率必不變。

J+等班+/

解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)4⑸

*、圖3-36睇怎百控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

52+2弧s+或+Ka)；H(s)

在題意要求下，應(yīng)取H(s)=K,s

此時(shí)，閉環(huán)特征方程為：

/+(2J+KK,a)n)a)?s+a);=0

令：2J+KKQ”=2。，解出，K,=2(。-4)/K@,

故反饋通道傳遞函數(shù)為：

解畢。

例3-15系統(tǒng)特征方程為

56+30ss+2054+1053+552+20=0

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解特征式各項(xiàng)系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中s一次項(xiàng)的系數(shù)

為零，故系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。

例3-16已知系統(tǒng)特征方程式為

54+853+1852+165+5=0

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。

解勞斯表為

541185

38160

8x18-1x168x5—1x0=

52----------------=1o-------------=5

88

16x16-8x5?r廠八

S----------------=13.50

16

13.5x5-16x0u

S。------------------=5

13.5

由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第?列的所有項(xiàng)均具有正號(hào),

滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。

例3-17已知系統(tǒng)特征方程為

55+/+253+252+35+5=0

試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的?種特殊情況。如果在勞斯行列表中某行

的第一列項(xiàng)等于零，但其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有，這時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù)￡來(lái)代替為零的一

項(xiàng)，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。

勞斯行列式為

55123

54125

53￡=0-2

22e+2

s--------3

E

?-4S-4-5E2

s--------

2￡+2

由勞斯行列表可見(jiàn)，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個(gè)很小的正數(shù)￡來(lái)代替；第四行第一

列系數(shù)為（2汁2/￡,當(dāng)e趨于零時(shí)為正數(shù)；第五行第一列系數(shù)為（一生一4—55）/（2汁2）,當(dāng)

￡趨于零時(shí)為-2。由于第一列變號(hào)兩次，故有兩個(gè)根在右半s平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

解畢。

例3-18已知系統(tǒng)特征方程為

S6+2S5+8/+1253+2052+165+16=0

試求：（1）在s右半平面的根的個(gè)數(shù)；（2）虛根。

解如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的

實(shí)根，共朝虛根或（和）共糖復(fù)數(shù)根。此時(shí)，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，并對(duì)輔

助多項(xiàng)式求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計(jì)算勞斯行列表。對(duì)

原點(diǎn)對(duì)稱的根可由輔助方程（令輔助多項(xiàng)式等于零）求得。

勞斯行列表為

$6182016

5521216

5421216

00

由于一行中各項(xiàng)系數(shù)全為零，于是可利用Z行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，即

P(5)=254+1252+16

求輔助多項(xiàng)式對(duì)s的導(dǎo)數(shù)，得

^^=8,5+245

s

原勞斯行列表中◎行各項(xiàng),用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時(shí)，勞斯行列表變

為

561820

5521216

s421216

824

2

§616

s2.67

5°16

新勞斯行列表中第一列沒(méi)有變號(hào)，所以沒(méi)有根在右半平面。

對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根可解輔助方程求得。令

2s4+121+16=0

得到

5=±j\[2和s=±/2

解畢。

例3-19單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

K

G(s)=

s(as+DSs?+cs+1)

試求：（1）位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù);

(2)當(dāng)參考輸入為rxl(/),%xl")和〃2*1⑺時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解根據(jù)誤差系數(shù)公式，有

位置誤差系數(shù)為

K

Kn=limG(s)=lim----------；-------=8

STOSTOs(as+1)(加~+cs+1)

速度誤差系數(shù)為

K

Kv=limsG(s)=lim5-------------------=K

s->0STOs(as+1)(加~+cs+1)

加速度誤差系數(shù)為

7?2K

Ku=lim/G")=lim5-----------；--------=0

s’—。a。s(as+D(bs~+cs+1)

對(duì)應(yīng)于不同的參考輸入信號(hào)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。

參考輸入為尸x1(。，即階躍函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

rr

e=------=-----=0

"ss1+3l+oo

參考輸入為片x1(。，即斜坡函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

rr

e——二一

“K、,K

參考輸入為rt2x1(7),即拋物線函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

2r2r

---=---=OO

儲(chǔ)0

解畢。

例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

10

G（s）=

5（1+T]S）（1+丁此

輸入信號(hào)為r(?)=A+a>t,A為常量，co=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號(hào)，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號(hào)的組合。

此時(shí)，輸入信號(hào)的一般形式可表示為

/、12

r(t)=r0+r[t+-r2t-

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差

的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計(jì)算：

------1------1-----

1+KpK,K.

對(duì)于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

A+一co

1+5,Kv

本題給定的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以

Kp=8

10

K.limsG(s)=lims-10

5—>05->0s(l+7?(1+7>)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

A0)A000.5八”

ess+--=------+——=——=——=0.05

1+KpKv1+8101010

解畢。

例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-37所示。假設(shè)輸入信號(hào)為（）=卬（。為任意常數(shù)）。

證明：通過(guò)適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)儲(chǔ)的值，該系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差能達(dá)到零。

圖3-37例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

C(s)_K(K,s+l)

R(s)~s(Ts+1)+K

即

K(K.S+l)

c(s)?R(s)

TS2+S+K

因此

Ts2+s-KK^

R(s)-C(s)=R(s)

Ts2+s+K

當(dāng)輸入信號(hào)為《）=H時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

Ts2+s-KKaa(Ts+"KKj)

4,=lim5iSr=lim----；-------—

sss—o2

Ts+s+Ks'ST°Ts~+s+K

alTs+d-KK^]_aQ—KKJ

=lim

STOTs2+s+KK

要使系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即6=0,必須滿足

X-KK,=0

所以

Kj=1/K

解畢。

K

例3-22設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=跖,/上。如果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)

誤差4『=0,單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量M>%=4.3%,試問(wèn)Kp、Kg、T,各參數(shù)之間應(yīng)保持什么關(guān)系？

解開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

C⑹二跖40Kg/T比

￡(心+1)s(s+‘)s(s+2&“)

T

顯然

比=早

沏”=3

解得:

KpKJ=l應(yīng)2

由于要求

Mp%=e3gX1OO%<4.3%

故應(yīng)有J20.707。于是，各參數(shù)之間應(yīng)有如下關(guān)系

KpKJW0.5

本例為I型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差分產(chǎn)0的要求自然滿足。解畢。

例3-23設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-38所示。其中

&=2K2=1,T2=0.25s,K2K3=1

試求r(f)=(l+f+』/2)l⑺時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3-38復(fù)合控制系統(tǒng)

解閉環(huán)傳遞函數(shù)

//、1七)