章末綜合檢測(cè)(三)(時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．雙曲線(xiàn)eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為()A．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：選D.由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a2＝10，b2＝2，則c2＝a2＋b2＝12，所以2c＝4eq\r(3)，故選D.2．拋物線(xiàn)y2＝2x上的一點(diǎn)A(2，y0)(y0＞0)到其焦點(diǎn)的距離是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,2)C．3 D．eq\f(1,8)解析：選B.方法一：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，y0)(y0＞0)在拋物線(xiàn)y2＝2x上，所以y0＝2.又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，所以點(diǎn)A(2，2)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋（2－0）2)＝eq\f(5,2)，故選B.方法二：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，y0)(y0＞0)在拋物線(xiàn)y2＝2x上，所以由焦半徑公式知，點(diǎn)A到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離d＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).故選B.3．已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a＝3和a＝5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡分別為()A．雙曲線(xiàn)和一條直線(xiàn)B．雙曲線(xiàn)的一支和一條直線(xiàn)C．雙曲線(xiàn)和一條射線(xiàn)D．雙曲線(xiàn)的一支和一條射線(xiàn)解析：選D.因?yàn)閨F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以當(dāng)a＝3時(shí)，2a＝6＜|F1F2|，為雙曲線(xiàn)的一支；當(dāng)a＝5時(shí)，2a＝10＝|F1F2|，為一條射線(xiàn)．4．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，則該橢圓的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：選A.因?yàn)閨BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝eq\r(3).所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.5．已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線(xiàn)C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C2的漸近線(xiàn)方程為()A．x±eq\r(2)y＝0 B．eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析：選A.設(shè)橢圓和雙曲線(xiàn)的半焦距為c1，c2，則e1·e2＝eq\f(c1,a)·eq\f(c2,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(a4－b4),a2)＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以雙曲線(xiàn)C2的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0.6．已知等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)，O為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△AOB的面積是()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2解析：選B.因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2＝2px(p＞0)的對(duì)稱(chēng)軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，且OA⊥OB，所以由對(duì)稱(chēng)性，知直線(xiàn)AB與x軸垂直，從而直線(xiàn)OA和直線(xiàn)OB與x軸的夾角均為45°.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x,y2＝2px))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2p,y＝2p))，不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，則易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.7．已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線(xiàn)方程為y＝x，點(diǎn)P(eq\r(3)，y0)在雙曲線(xiàn)上，則PF1·PF2＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：選C.由漸近線(xiàn)方程為y＝x，知雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，所以雙曲線(xiàn)方程是x2－y2＝2.于是兩焦點(diǎn)分別是F1(－2，0)和F2(2，0)且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1).不妨取點(diǎn)P(eq\r(3)，1)，則PF1＝(－2－eq\r(3)，－1)，PF2＝(2－eq\r(3)，－1).所以PF1·PF2＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.8．如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB，CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線(xiàn)PB的中點(diǎn)．已知過(guò)CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)是以E為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離為()A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(6) D．eq\f(\r(10),2)解析：選D.如圖(1)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H.因?yàn)镋是母線(xiàn)PB的中點(diǎn)，所以O(shè)H＝EH＝1，所以O(shè)E＝eq\r(2).如圖(2)，在平面CDE中，以E為原點(diǎn)，EO所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，將C(eq\r(2)，2)，代入y2＝2px，解得p＝eq\r(2)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，即F為OE的中點(diǎn)．連接PF，所以在Rt△PFE中，EF＝eq\f(\r(2),2)，EP＝eq\r(2)，根據(jù)勾股定理得PF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋（\r(2)）2)＝eq\f(\r(10),2).二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．對(duì)拋物線(xiàn)y＝4x2，下列描述正確的是()A．開(kāi)口向上，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－eq\f(1,16)B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為(1，0)D．開(kāi)口向右，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－1解析：選AB.拋物線(xiàn)可化為x2＝eq\f(1,4)y，故開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－eq\f(1,16).10．下列雙曲線(xiàn)中，以y＝±2x為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1C．y2－eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,4)＝1解析：選ABD.x2－eq\f(y2,4)＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±2x；eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±2x；y2－eq\f(x2,4)＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(1,2)x；eq\f(y2,16)－eq\f(x2,4)＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±2x.故選ABD.11．已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,t)－eq\f(y2,9－t)＝1的離心率e＝eq\r(3)，則()A．t＝3或－9B．雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\r(2)xC．雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)等于2eq\r(3)D．雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于eq\r(3)解析：選BC.對(duì)于A，由方程eq\f(x2,t)－eq\f(y2,9－t)＝1表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，可得t(9－t)＞0，解得0＜t＜9，故雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在x軸上，c2＝t＋(9－t)＝9，故e2＝eq\f(9,t)＝3，解得t＝3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由t＝3，可得雙曲線(xiàn)C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1，故雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(\r(6),\r(3))x，即y＝±eq\r(2)x，故B正確；對(duì)于C，易知雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(3)，故C正確；對(duì)于D，雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于虛半軸長(zhǎng)，為eq\r(6)，故D錯(cuò)誤．故選BC.12．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1內(nèi)一點(diǎn)M(1，2)，直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(－2，0)B．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2eq\r(2)C．直線(xiàn)l的方程為x＋y－3＝0D．|AB|＝eq\f(4\r(3),3)解析：選CD.由橢圓方程可得a2＝8，b2＝4，則c＝eq\r(a2－b2)＝2，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0，2)，故A錯(cuò)誤；橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4eq\r(2)，故B錯(cuò)誤；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),8)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),8)＝1，兩式作差可得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＝－eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,8)，得到eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(2（x1＋x2）,y1＋y2)，又M(1，2)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(2×2,4)＝－1，即l的斜率為－1，則直線(xiàn)l的方程為y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0，故C正確；聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,\f(x2,4)＋\f(y2,8)＝1，))可得3x2－6x＋1＝0.因?yàn)棣ぃ?，所以x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝eq\r(1＋（－1）2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(4－\f(4,3))＝eq\f(4\r(3),3)，故D正確．故選CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線(xiàn)上．13．若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，(2，2)，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．解析：由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，(2，2)可得拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x2＝my，將(2，2)點(diǎn)代入可得22＝2m，可得m＝2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為x2＝2y，顯然eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))也在該拋物線(xiàn)上，符合題意．答案：x2＝2y14．已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)x＝eq\f(1,4)y2的焦點(diǎn)重合．若雙曲線(xiàn)的離心率等于eq\r(5)，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．解析：拋物線(xiàn)x＝eq\f(1,4)y2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則得a2＋b2＝1.又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(1,5))－eq\f(y2,\f(4,5))＝1.答案：eq\f(x2,\f(1,5))－eq\f(y2,\f(4,5))＝115．已知雙曲線(xiàn)x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P使∠PF2F1＝60°，則F2P·F2F1的值為_(kāi)_______．解析：易知|F2F1|＝2c＝4.在△PF1F2中，設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝x＋2或|PF1|＝x－2.當(dāng)|PF1|＝x＋2時(shí)，由余弦定理，得(x＋2)2＝x2＋42－2×4x×eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(3,2)，所以F2P·F2F1＝eq\f(3,2)×4×eq\f(1,2)＝3.當(dāng)|PF1|＝x－2時(shí)，由余弦定理，得(x－2)2＝x2＋42－2×4x×eq\f(1,2)，無(wú)解．故F2P·F2F1＝3.答案：316．過(guò)點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．若A為線(xiàn)段EB的中點(diǎn)且|AF|＝3，則p＝________．解析：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半徑公式，|AF|＝x1＋eq\f(p,2).又|AF|＝3，所以x1＝3－eq\f(p,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(x2－\f(p,2),2)，,y1＝\f(y2＋0,2)，))所以x2＝6－eq\f(p,2)，y2＝2y1，所以yeq\o\al(2,2)＝4yeq\o\al(2,1)，2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(p,2)))＝4yeq\o\al(2,1)＝4×2px1＝4×2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，結(jié)合p>0，解得p＝4.答案：4四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(本小題滿(mǎn)分10分)已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y＝±eq\f(2,3)x，焦距為2eq\r(26)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(2,3)，,c2＝a2＋b2＝26，))解得a2＝18，b2＝8，所以所求雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1.若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝\f(2,3)，,c2＝a2＋b2＝26，))解得a2＝8，b2＝18，所以所求雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(y2,8)－eq\f(x2,18)＝1.綜上，所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,8)－eq\f(x2,18)＝1.18．(本小題滿(mǎn)分12分)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為其對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為eq\f(π,4)的直線(xiàn)被拋物線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)為6，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：當(dāng)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，可設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，則過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為eq\f(π,4)的直線(xiàn)l的方程為y＝x－eq\f(p,2).設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).過(guò)點(diǎn)A，B向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)A1，B1(圖略)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，所以x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.因?yàn)棣ぃ?，所以x1＋x2＝3p.將其代入①式，得3p＝6－p，所以p＝eq\f(3,2).所以所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝3x.同理，當(dāng)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，可求得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝－3x.綜上，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x或y2＝－3x.19．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率．(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，求直線(xiàn)AB的方程．解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,4)＝1(a＞2)，其離心率為eq\f(\r(3),2)，故eq\f(\r(a2－4),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4，故所求橢圓C2的方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)若將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx.將y＝kx代入eq\f(x2,4)＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以xeq\o\al(2,A)＝eq\f(4,1＋4k2).將y＝kx代入eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以xeq\o\al(2,B)＝eq\f(16,4＋k2).又由eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，得xeq\o\al(2,B)＝4xeq\o\al(2,A)，即eq\f(16,4＋k2)＝eq\f(16,1＋4k2)，解得k＝±1.故直線(xiàn)AB的方程為x－y＝0或x＋y＝0.20．(本小題滿(mǎn)分12分)在①|(zhì)PF|＝x0＋1，②y0＝2x0＝2，③當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，|PF|＝2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答問(wèn)題．問(wèn)題：已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x0，y0)在拋物線(xiàn)C上，且________．(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)l：x－y－2＝0與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABF的面積．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：方案一：選擇條件①.(1)因?yàn)閨PF|＝x0＋eq\f(p,2)，又|PF|＝x0＋1，所以x0＋eq\f(p,2)＝x0＋1，解得p＝2.故拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝4x))，消去x整理得y2－4y－8＝0，因?yàn)棣ぃ?，則y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3)，故|AB|＝eq\r(1＋\f(1,kAB))·|y1－y2|＝eq\r(2)×4eq\r(3)＝4eq\r(6).因?yàn)辄c(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABF的面積為eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).方案二：選擇條件②.(1)因?yàn)閥0＝2x0＝2，所以y0＝2，x0＝1，又點(diǎn)P(x0，y0)在拋物線(xiàn)C上，所以yeq\o\al(2,0)＝2px0，即2p＝4，解得p＝2，故拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝4x))，消去x整理得y2－4y－8＝0，因?yàn)棣ぃ?，則y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3)，故|AB|＝eq\r(1＋\f(1,kAB))·|y1－y2|＝eq\r(2)×4eq\r(3)＝4eq\r(6).因?yàn)辄c(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABF的面積為eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).方案三：選擇條件③.(1)當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，|PF|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,2)＝p＝2，所以p＝2.故拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝4x))，消去x，整理得y2－4y－8＝0，因?yàn)棣ぃ?，則y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3)，故|AB|＝eq\r(1＋\f(1,kAB))·|y1－y2|＝eq\r(2)×4eq\r(3)＝4eq\r(6).因?yàn)辄c(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABF的面積為eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).21．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率e＝eq\f(\r(6),3)，它的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)x2＝4eq\r(2)y的準(zhǔn)線(xiàn)上．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C上兩點(diǎn)，已知m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,a)，\f(y1,b)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a)，\f(y2,b)))，且m·n＝0.求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范圍．解：(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)x2＝4eq\r(2)y的準(zhǔn)線(xiàn)為直線(xiàn)y＝－eq\r(2)，所以b＝eq\r(2).因?yàn)閑＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(2,3)，所以a＝eq\r(6).所以橢圓C的方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由m·n＝0，得x1x2＝－3y1y2.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)所在的直線(xiàn)為l.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，A(x1，y1)，B(x1，－y1)，所以xeq\o\al(2,1)＝3yeq\o\al(2,1).又因?yàn)閑q\f(xeq\o\al(2,1),6)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，所以yeq\o\al(2,1)＝1.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝2yeq\o\al(2,1)＝2.當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋3y2＝6))消去y并整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以Δ＝36k2m2－12(3k2＋1)(m2－2)＝12(6k2－m2＋2)＞0，則x1＋x2＝eq\f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3m2－6,3k2＋1).由x1x2＝－3y1y2＝－3(kx1＋m