1.1.2集合的基本關(guān)系1、理解集合之間包含與相等的含義能從教材實例中抽象出子集、真子集的概念；2、能識別給定集合的子集、真子集，掌握列舉有限集所有集合的方法；3、會判斷集合間的關(guān)系，并能用符號和維恩圖表示.注意空集在解題中的影響.知識點1子集與真子集1、韋恩圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．2、子集含義一般地，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．韋恩圖示性質(zhì)（1）任意一個集合都是它本身的子集，記作；（2）傳遞性：對于集合，如果，，則．3、真子集含義一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。記作AB或(BA)．讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．韋恩圖示性質(zhì)（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）傳遞性：對于集合，如果，，則．【注意】（1）子集是刻畫兩個集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整體之間的關(guān)系(而元素與集合之間的關(guān)系是個體與整體之間的關(guān)系)．（2）并不是任意兩個集合之間都具有包含關(guān)系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因為2∈A，但2?B，所以A不是B的子集；同理，因為3∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．知識點2集合的相等1、集合相等的定義含義給定兩個集合和，如果組成它們的元素完全相同，就稱這兩個集合相等，記作，讀作“A等于B”．韋恩圖示性質(zhì)（1）如果且，則；（2）如果，則且；（3）如果，，則．【注意】集合相等與集合的形式無關(guān)，形式不同的兩個集合也可以相等．2、韋恩圖表示集合間關(guān)系3、集合間關(guān)系與實數(shù)大小關(guān)系類比實數(shù)集合定義包含兩層含義：或包含兩層含義：或相等若且，則若，，則傳遞性若，，則若，，則．若，，則若，，則知識點3空集1、空集的定義一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：（1）空集只有一個子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}知識點4有限集的子集個數(shù)1、如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．2、集合中含有個元素，集合中含有個元素，且，則符合條件的集合有個．【常用方法技巧】1、判斷兩個集合是否相等的方法重點是要把握住兩個原則：（1）對于元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來，看兩個集合中的元素是否完全相同；（2）若兩個集合是無限集，則從“互為子集”入手進行判斷．2、子集、真子集的個數(shù)問題確定子集、真子集的三個關(guān)鍵：（1）確定所求的集合；（2）合理分類，若集合中的元素較少，則用列舉法按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出，一般按元素從少到多的順序逐個寫出滿足條件的集合；若集合中的元素較多，可根據(jù)結(jié)論計算出；（3）注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身．3、利用集合相等求參數(shù)從集合相等的概念入手，尋找兩個集合中元素之間的關(guān)系．首先分析一個集合中的元素與另一個集合中的哪個元素相等，共有幾種情況，然后通過列方程（組）求解．當(dāng)集合中未知元素不止一個時，往往要分類討論．求出參數(shù)值后要注意檢驗是否滿足集合中元素的互異性．4、根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍對于兩個集合和，或中含有待定的參數(shù)（字母），常采用分類討論或數(shù)形結(jié)合的方法：（1）分類討論：若，在未指明非空時，應(yīng)分為和兩種情況來討論．（2）數(shù)形結(jié)合：對這種情況，在確定參數(shù)時，需要借助數(shù)軸來完成，將兩個集合在數(shù)軸上表示出來，分清端點處是實心點還是空心點，確定兩個集合間的包含關(guān)系，列不等式（組）求解．題型一子集、真子集的確定【例1】（2324高一上·山西臨汾·月考）寫出集合的一個非空子集．【答案】(答案不唯一）【解析】根據(jù)非空子集定義得集合的一個非空子集為.故答案為：.【變式11】（2324高一上·天津濱海新·期中）已知集合，則集合的子集有.【答案】，，，【解析】∵，所以集合的子集有：，，，.故答案為：，，，【變式12】（2324高一上·四川成都·期中）集合的一個子集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以的子集有，；故選：D.【變式13】（2324高一上·廣東東莞·月考）（多選）若，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因為，所以或或.故選：ABC.題型二子集、真子集的個數(shù)問題【例2】（2324高一上·福建泉州·月考）集合，則集合A的真子集個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】由題設(shè)，令或，當(dāng)，則；當(dāng)，則，所以，故A的真子集個數(shù)為個.故選：B【變式21】（2324高一上·吉林·月考）集合的子集的個數(shù)是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】由題設(shè)，列舉法表示集合為，共有4個元素，所以子集的個數(shù)是.故選：C【變式22】已知集合滿足，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由題意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一個，所以集合的個數(shù)等價于集合的非空子集的個數(shù)，即，故選：C.【變式23】（2324高一上·安徽黃山·期中）已知集合，則集合A的真子集有個．【答案】15【解析】集合，所以集合A的真子集個數(shù)是.故答案為：15題型三判斷兩個集合是否相等【例3】（2324高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】A：根據(jù)集合元素具有無序性，則，故A正確；B：和是不同元素，故B錯誤；C：圖為中的元素是有序?qū)崝?shù)對，而中的元素是實數(shù)，所以C錯誤；D：因為中有兩個元素，即4，3，而中有一個元素，即，所以D錯誤.故選：A【變式31】（2324高一上·重慶云陽·月考）（多選）下列集合中，與集合相等的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，只有當(dāng)和時，，故，D正確.故選：BD【變式32】（2324高一上·河北石家莊·月考）（多選）給出以下幾組集合，其中是相等集合的有（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】為點集，為數(shù)集，所以，故A錯誤；，，所以，故B錯誤；，，所以，故C正確；，，所以，故D正確；故選：CD【變式33】（2324高一上·四川成都·期中）（多選）下列各組中M，P表示相同集合的是（

）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C．M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}【答案】ABC【解析】對于A，因為n∈Z，則n+1∈Z，因此集合M，P都表示所以偶數(shù)組成的集合，A正確，對于B，M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}，即B正確，對于C，M，P因此C正確，對于D，集合M的元素是實數(shù)，集合P的元素是有序?qū)崝?shù)對，因此D不正確.故選：ABC題型四根據(jù)集合相等求參數(shù)【例4】（2324高一上·四川綿陽·月考）若集合，，且，則.【答案】4【解析】∵，∴集合中的元素相同，故，則.故答案為：4【變式41】（2324高一上·陜西咸陽·月考）設(shè)全集，集合，，且，則實數(shù)．【答案】3或1/1或3【解析】由題意，或m=1.故答案為：3或1.【變式42】（2324高一上·甘肅蘭州·月考）已知集合，則.【答案】2或4或1【解析】，，，，，，，，若或，則或．當(dāng)時，，2，，，，即，解得或，此時或，當(dāng)時，，，，1，，即，解得，，所以或4或1，故答案為：2或4或1.【變式43】（2324高一上·上?！て谥校┖腥齻€實數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為.【答案】【解析】由題意，若，則或，檢驗可知不滿足集合中元素的互異性，所以，則，所以，則，故.故答案為：.題型五空集的概念與辨析【例5】（2324高一上·云南紅河·月考）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A選項，集合中顯然有元素0，不是空集，A錯誤；B選項，在R上無解，故，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，，D錯誤.故選：B【變式51】（2324高一上·重慶·期中）下列關(guān)于0與說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是不含任何元素的集合，故A正確，C不正確；對于選項B：，故B正確；對于選項D：因為是任何集合的子集，所以，故D正確；故選：C.【變式52】（2324高一上·廣東廣州·期中）下列關(guān)于空集的說法中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，因為用于元素與集合之間，故A錯誤；對于BD，因為空集是任何集合的子集，故BD正確；對于C，因為是集合中的元素，故C正確.故選：A.【變式53】（2324高一上·河北石家莊·期中）（多選）下列關(guān)系中，正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對于A，是任何非空集合的真子集，故A正確；對于B，為有理數(shù)集，而是有理數(shù)，故B正確；對于C，為整數(shù)集，為自然數(shù)集，故，故C錯誤；對于D，是任何集合的子集，故D錯誤.故選：AB題型六判斷兩個集合間的包含關(guān)系【例6】（2324高一上·廣東韶關(guān)·月考）若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，是以空集為元素的集合，不是集合A的子集，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D.【變式61】（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，所以.故選：A【變式62】（2223高一上·江蘇宿遷·月考）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，故，故選：B【變式63】（2324高一上·北京·月考）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可知，集合表示的是的奇數(shù)倍；由可知，集合表示的是的整數(shù)倍；即可知是的真子集，即.故選：B題型七根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)【例7】（2324高一上·河南開封·期末）已知集合，，若，則的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或【答案】C【解析】因為，，，所以或，即或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，都符合題意.故選：C.【變式71】（2324高一上·陜西西安·開學(xué)考試）（多選）已知集合，若，則實數(shù)a的值可以是（

）．A． B．