專題03實(shí)際應(yīng)用綜合題

1.(2021?揚(yáng)州)甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段

對(duì)話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛

汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月

維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月

維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元.

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤(rùn)差=月利潤(rùn)較

高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn).

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

(1)當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是元；當(dāng)每個(gè)公司租

出的汽車為

輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；

(2)求兩公司月利潤(rùn)差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出。元(a>0)給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公

司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的

月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求?的取值范圍.

【答案】(1)48000元；37(2)33150元；(3)5畸以150

【詳解】(1)[(50-10)X50+3000]X10-200X10=480007C,

當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是48000元；

設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛，

由題意可得：1(50-x)x50+3000Jx-200x=3500x-1850.

解得：x=37或x=-l(舍)，

當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為37輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；

(2)設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為即，無，月利潤(rùn)差為y,

貝IJ為，=[(5()-x)x50+300()]x-200x,

y乙=3500x-1850,

當(dāng)甲公司的利潤(rùn)大于乙公司時(shí)，0<x<37,

y=昨一丫乙=[(50-x)X50+3000]x-200x-(3500x-1850)

=-50x2+1800%+1850,

當(dāng)％%=18時(shí)，利潤(rùn)差最大，且為18050元；

-50x2

當(dāng)乙公司的利潤(rùn)大于甲公司時(shí)，37＜工,50,

y=y乙一用=3500X-1850-[（50一力x50+3000]x+200x

=50X2-1800X-1850,

，對(duì)稱軸為直線％=-匚陋=18,

50x2

當(dāng)x=50時(shí)，利潤(rùn)差最大，且為33150元；

綜上：兩公司月利潤(rùn)差的最大值為33150元；

（3）.?捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，

則利潤(rùn)差為y=-50/+1800x+1850-"=-50x2+（18（X）-?）x+1850,

對(duì)稱軸為直線x=18（冷一",

100

x只能取整數(shù)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，月利潤(rùn)之差最大，

二16.5蕤頤-。17.5.

100

解得：5噫女150.

2.（2020?揚(yáng)州）閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題,欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值,

如以下問題：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答

案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大.其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可

以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得x-4），=-2,由①+②x2可得

lx+5y=l9.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

解決問題：

（1）已知二元一次方程組=?則》一丁=,x+y=；

（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39

支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多

少元？

（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y,定義新運(yùn)算：x*y=ax+by+c,其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊

是通常的加法和乘法運(yùn)算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

【答案】（1）-1:5.（2）購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元：（3）-11

2x+y=7①

【詳解】（1）

x+2y=8②

由①-②可得：x-y=-1,

由;（①+②）可得：x+y=5.

（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為〃元，日記本的單價(jià)為p元，

依題意，得：pn+3〃+2P=32巴

[39/M+5〃+3p=58②

由2x①一②可得》?+〃+/?=6,

5m+5〃+5P=5x6=30.

答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元.

（3）依題意，得：《,

[4a+7b+c=28②

住I3x①-2x②可得：a+b+c=-\\,

即

3.（2018?揚(yáng)州）''揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30

元/件，每天銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的

利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程，為了保

證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價(jià)的范圍.

【答案】⑴y=-10x+700；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)

是3840元；（3）見解析

【詳解】（1）^y=kx+b,

.?直線丫="+b經(jīng)過點(diǎn)（40,300）,（55,150）,

40k+b=300

55k+h=\50

解得：1=T°.

h=700

故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=—10x+700；

(2)由題意，得

-1Ox+700..240,

解得X,46,

.,.30〈國(guó),46,

設(shè)利潤(rùn)為卬=(x-30)?y=(x-30)(-10x+700),

w=-10x2+lOOOx-21000=-10(X-50)2+4000,

?.--10<0,

.?.x<50時(shí)，卬隨x的增大而增大，

，x=46時(shí)，%大=-10(46-50)2+4000=3840,

答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元;

(3)VP-150=-10X2+1000X-210(X)-150=3600,

-10(x-50)2=-250,

x—50=±5,

%1=55，%2=45，

如圖所示，由圖象得：

當(dāng)45效k55時(shí)，捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元.

4.（2017?揚(yáng)州）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售

量〃（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:

銷售價(jià)格X（元/千克）3035404550

日銷售量P（千克）6004503001500

（1）請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定P與

X之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)最大？

（3）若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出“元①>0）的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)4（度上45時(shí),

農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求”的值.（日獲利=日銷售利潤(rùn)-日支出費(fèi)用）

【答案】（1）p=-30X+1500；（2）這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為40元，才能使日銷售利潤(rùn)

最大；（3）2

【詳解】（1）假設(shè)p與x成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為0=丘+〃，

[30A;+/?=600

則《，

[40%+8=300

解得：％=-30,。=1500，

.'.p=-30x+1500,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=35,2=450；當(dāng)x=45,p=150；當(dāng)x=50,p=0,符合一次函數(shù)解析式,

所求的函數(shù)關(guān)系為p=-30x+1500；

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)w=p（x-30）=（-30x+1500）（%-30）

即卬=-30A-2+2400x-45000,

.當(dāng)x=_2400=40時(shí),卬有最大值3000元，

2x（-30）

故這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為40元，才能使日銷售利潤(rùn)最大；

(3)日獲利卬=p(x-30-a)=(-30%+1500)(%-30-a),

即卬=-30x2+(2400+30a)x-(1500“+45000),

j2400+30?！鞍?

對(duì)稱軸為x=-----------=40H■—a,

2x(-30)2

①若a>10，貝U當(dāng)x=45時(shí)，卬有最大值,

即卬=2250-150a<2430（不合題意）；

②若a<10，則當(dāng)x=40+L時(shí)，w有最大值,

2

將x=40+ga代入，可得w=30(；/-10a+100),

當(dāng)w=2430時(shí)，2430=30(；/-10a+100),

解得4=2,4^=38(舍去)，

綜上所述，〃的值為2.

5.（2021?廣陵區(qū)校級(jí)一模）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種新商品在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤(rùn)為10元時(shí),

每天可銷售70件；當(dāng)每件商品每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件，但每天的銷售量不得低

于35件.據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答下列問題.

（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利元，商品每天可銷售件；

（2）在商品銷售正常的情況下，每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利可達(dá)到1500元；

（3）若商場(chǎng)的每天盈利能達(dá)到最大.請(qǐng)直接寫出每天的最大盈利為元.

【答案】（1）（10+x）,（70-x）；（2）每件商品漲20元時(shí)商場(chǎng)每天盈利可達(dá)1500元；（3）

1600元

【詳解】（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利（10+x）元，商品每天可銷售（70-x）件;

(2)根據(jù)題意得：(10+x)(70—x)=1500,

解得：x=20或x=40（不合題意，舍去），

答：每件商品漲20元時(shí)商場(chǎng)每天盈利可達(dá)1500元.

（3）設(shè)總利潤(rùn)為w元，則卬=（10+X）（70-X）=-（X-30）2+1600,

???總利潤(rùn)的最大值為1600元.

6.（2021?揚(yáng)州模擬）在我校藝術(shù)節(jié)的各項(xiàng)比賽中，七年級(jí)（1）班同學(xué)取得了優(yōu)秀的成績(jī),

為了表彰同學(xué)們，林老師特意到瑞安書城買書給學(xué)生作為獎(jiǎng)勵(lì)，書城二樓專設(shè)8折售書架,

銷售文教類圖書，部分書籍和標(biāo)價(jià)如下表：

原價(jià)（元）

中國(guó)歷史故事50

名人名言20

幻夜25

（1）若林老師在書城買了《中國(guó)歷史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元錢,

請(qǐng)求出這兩種書林老師各買了多少本？

（2）若林老師買了以上三種書（每種都有）20本，共付了360元錢，其中《名人名言》書

買了本.（直接寫出答案）

【答案】（1）《中國(guó)歷史故事》買了5本，《名人名言》買了15本；（2）15

【詳解】（【）設(shè)《中國(guó)歷史故事》買了x本，《名人名言》買了y本，

x+y=20

由題意得

50x0.8》+20x0.8〉=440

x=5

解得

)=15

答：《中國(guó)歷史故事》買了5本，《名人名言》買了15本;

（2）設(shè)三種書分別是x本、y本、z本，由題意得

x+y+z=20

50x0.8x+20x0.8y+25x0.8z=360

消去z得20x-4y=-40

/.y=5x+10

%、y都是正整數(shù)，

x-1

，<y=15.

z=4

7.（2021?寶應(yīng)縣一模）某商店銷售進(jìn)價(jià)為30元/件的某種商品，在第x（諼*90）天的售價(jià)

與銷量的相關(guān)信息如下表:

時(shí)間X（天）L,X<505滕上90

售價(jià)（元/件）x+4090

每天銷量（件）200-2%

設(shè)銷售商品的每天利潤(rùn)為y元.

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

（3）現(xiàn)該商店決定每銷售1件該商品就捐贈(zèng)a元（。>0）給貧困地區(qū)，在銷售的前50天內(nèi)該

商店當(dāng)日最大利潤(rùn)為5832元，求a的值.

【答案】⑴丫=儼2+18°》+2吧,,'<50）；（2）該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，

[-120X+12000（50^iJc90）

最大利潤(rùn)是6050元；（3）2

【詳解】（1）當(dāng)L,x<50時(shí)，y=（200-2x）（x+40-30）=—2x：+180x+2000,

當(dāng)5魄上90時(shí)，

y=(200-2x)(90-30)=-120x+l2000,

-2x2+180x+2000(1,,x<50)

綜上所述：y=

-120x+12000(50giJt90)

(2)當(dāng)L,x<5()時(shí),

y=-2x2+180x+2000,

)，=-2(x-45尸+6050.

a=-2v0,

二次函數(shù)開口下，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=45,

當(dāng)x=45時(shí)，y員大=6050,

當(dāng)50xx!k90時(shí)，y隨x的增大而減小，

當(dāng)x=50時(shí)，為大=6000,

綜上所述，該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元：

（3）根據(jù)題意得，y=（200-2x）（x+40-30-a）=-2（x-100）（x+10-“）,

函數(shù)的對(duì)稱軸x=l°°+aT°=45+-a,

22

當(dāng)0<W,10時(shí)，

=—2(45+ga-100)(45+；a+10-a)=5832,

解得a=2或218(舍去).

當(dāng)a>10時(shí),

在45Vx<50時(shí)，第49天，y取得最大值，

y?ulx=-2（49-100）（49+10-a）=5832

解得4=2（舍去）.

17

故。的值為2.

8.（2021?江都區(qū)模擬）某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是40元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：

在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是50元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲2元，就會(huì)少售出

20件玩具.

（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x>50）,請(qǐng)你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量

y件和銷售該品牌玩具獲得利潤(rùn)w元，并把結(jié)果填寫在表格中:

銷售單價(jià)（元）X

銷售量y（件）①

銷售玩具獲得利潤(rùn)w（元）②

（2）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于54元，且商場(chǎng)要完成不

少于400件的銷售任務(wù)，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】（1）①：y=-10x+1100,②：w--1Ox2+1500%-44000；（2）12000元

【詳解】（1）①：y=-10x+1100,

②：w=-y(x-40)=-10/+1500x-44000：

X..54

（2）由題得

-10x+1100..400

解得：54羽Jc7（）,

w=-1Of+1500x-44000=-10(x-75)2+12250,

a=-10<0,對(duì)稱軸是直線x=75,

.?.當(dāng)54領(lǐng)k70時(shí)，。隨x增大而增大.

.?.》=70時(shí)取最大值，最大值為12000,

答：商場(chǎng)的最大利潤(rùn)為12000元.

9.(2021?黃岡一模)疫情期間，某銷售商在網(wǎng)上銷售A、3兩種型號(hào)的電腦“手寫板”,

其進(jìn)價(jià)、售價(jià)和每日銷量如表所示：

進(jìn)價(jià)(元/個(gè))售價(jià)(元/個(gè))銷量(個(gè)/日)

A型400600200

8型8001200400

根據(jù)市場(chǎng)行情，該銷售商對(duì)A型手寫板降價(jià)銷售，同時(shí)對(duì)3型手寫板提高售價(jià)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)力

型手寫板每降低5元就可多賣1個(gè)，5型手寫板每提高5元就少賣1個(gè).銷售時(shí)保持每天

銷售總量不變，設(shè)其中A型手寫板每天多銷售x個(gè)，每天獲得的總利潤(rùn)為y元.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；

(2)要使每天的利潤(rùn)不低于212000元，求出x的取值范圍；

(3)該銷售商決定每銷售一個(gè)B型手寫板，就捐助。元(0<4,100)給受''新冠疫情”影響

的困難學(xué)生，若當(dāng)3噫/40時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為203400元，求。的值.

【答案】(1)y=-|Ox2+800%+200000,(嘀ijc40且x為整數(shù))；(2)2猱改40；(3)a=35

【詳解】(1)由題意得，

y=(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x)=-10x2+800.r+200000,(O40

且x為整數(shù))，

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-10x2+800x+200000,(滕/40且x為整數(shù))；

(2)y=-1Ox2+800x+200000=-10(x-40)2+216000,

當(dāng)y=212000時(shí)，一10(x-40)2+216000=212000,

解得：王=20,9=60,

要使y..212000,則2噴火60,

O^'Jc40,

/.20^!k40,

即尤的取值范圍是：2噴改40；

(3)設(shè)捐款后每天的利潤(rùn)為w元，則

卬=-1Of+800%+200000-(400-x)a=-10x2+(800+a)x+200000-400a,

對(duì)稱軸為x=8(X)+-=40+—,

2020

0<0,5100?

45..40+—>40.

20

拋物線開口向下，當(dāng)3臉收40時(shí)，w隨x的增大而增大，

二當(dāng)x=40時(shí)，w最大，

.---10x402+40（800+a）+200000-400。=203400,

解得，a=35.

10.（2021?江都區(qū)一模）近年來，隨著盲盒經(jīng)濟(jì)的崛起，潮玩市場(chǎng)備受關(guān)注，盲盒里面通常

裝的是動(dòng)漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來的玩偶.某公司生產(chǎn)一種盲盒，在

自動(dòng)售賣機(jī)銷售，已知這種盲盒的成本是每盒40元，物價(jià)局規(guī)定，這種盲盒的市場(chǎng)銷售單

價(jià)不得高于60元，不得低于45元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不高于50元時(shí)，每月銷售

量與銷售單價(jià)成反比例函數(shù)關(guān)系；高于50元時(shí)，每月銷售量與銷售單價(jià)成一次函數(shù)關(guān)系，

下表是部分市場(chǎng)調(diào)查數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)/元4550545860

月銷售量/盒600540500460440

（1）設(shè)月銷售量為y盒，銷售單價(jià)為x元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)這種盲盒的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大？月最大銷售利潤(rùn)是多少元?

【答案】（1）y=x'':（2）當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大,

-1Ox+1040（50c%,60）

月最大銷售利潤(rùn)是8800元.

【詳解】（1）由題意得，當(dāng)45領(lǐng)Jc50時(shí)，y=^5x600=27000

XX

當(dāng)50<兀，60時(shí)，y=kx+b,

把（54,500）和（58,460）代入y=履+力得：

[54左+8=500

|58Z:+fe=460，

%=-10

解得:

6=1040

.\y=-10x+1040，

心（45熟50）

1.y與1之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=,X

一10x+1040（50<工,60）

（2）設(shè)這種盲盒的銷售單價(jià)為x元，月銷售利潤(rùn)為W元,

則W=（x—40）y,

1080000

①當(dāng)45麴k50時(shí)，W=(x-40)x=27000-,

XX

卬隨X的增大而增大，

.?.當(dāng)x=50時(shí)，W的最大值=27000—21600=5400(元)；

②當(dāng)50<%,60時(shí)，W=(x-40)(-10x+1040)=-10(x-72)2+10240,

-10<0,

.?.當(dāng)50<分,60時(shí)，卬隨x的增大而增大，

.,.當(dāng)x=60時(shí)，W的最大值=—10(60—72)2+10240=8800(元)，

8800>5400.

.??當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，月最大銷售利潤(rùn)是8800元.

答：當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，月最大銷售利潤(rùn)是8800元.

11.(2021?揚(yáng)州模擬)某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元、工廠將

該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價(jià)y(元)與一次性批發(fā)量x(件)(x為正整數(shù))之間滿足如圖

所示的函數(shù)關(guān)系.

(1)直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí),工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？

【答案】(I)當(dāng)0<%,20且x為整數(shù)時(shí)，y=40；當(dāng)20<匕60且x為整數(shù)時(shí)，y=-gx+50；

當(dāng)x>60且x為整數(shù)時(shí)，y=20；(2)一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是578元

【詳解】(1)當(dāng)0<%,20且x為整數(shù)時(shí),y=40；

當(dāng)20<%,60且x為整數(shù)時(shí)，y=--x+50：

2

當(dāng)x>60且x為整數(shù)時(shí)，y=20；

(2)設(shè)所獲利潤(rùn)w(元)，

當(dāng)0<%,20且x為整數(shù)時(shí)，y=40,

..卬=(40-16)x20=480元,

.?.當(dāng)203,60且x為整數(shù)時(shí)，y=-gx+50,

/.w=(y-16)x=(-—x+50-16)x，

w=——x2+34x,

2

.,.當(dāng)x=34時(shí)，w最大，最大值為578元.

答：一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是578元.

12.（2017?黃岡）某電子科技有限公司用160萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，成功研制出了

一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售.已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為

4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價(jià)格x（元/件）的關(guān)系如

圖所示，其中轉(zhuǎn)為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分.設(shè)公司銷售

這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)為s（萬元）.（注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn)；

若上一年虧損，則虧損計(jì)作下一年的成本.）

（1）請(qǐng)求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)s（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求

出第一年年利潤(rùn)的最大值.

（3）假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤(rùn)s（萬元）取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)

根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格x（元）定在8元以上

*>8）,當(dāng)?shù)诙甑哪昀麧?rùn)不低于103萬元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤(rùn)s（萬元）與銷售價(jià)格x（元

/件）的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格無（元/件）的取值范圍.

產(chǎn)（萬件）

/（4,40）

5(820)

°481216202428x（元件）

網(wǎng)（4麴k8）

【答案】（1）y=\x（）:（2）當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤(rùn)

—X+28(8<x,,28)

的最大值為-16萬元；（3）見解析

【詳解】（1）當(dāng)4觸8時(shí)，設(shè)y將4(4,40)代入得A=4*40=160,

，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4：

x

當(dāng)8<%,28時(shí)，^y=k'x+b,將8(8,20),C(28,0)代入得，

『'”=20,1=一］,

128/+b=01b=28

r.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-%+28,

綜上所述，尸,竽例8)；

-》+28(8<蒼，28)

(2)當(dāng)4強(qiáng)!k8時(shí)，5=(x-4)y-160=(x-4).--160=--,

XX

,當(dāng)4效k8時(shí)，s隨著x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=8時(shí)，^=--=-80；

‘W8

當(dāng)8cx,28時(shí)，5=(x-4)y-160=(x-4)(-x+28)-160=-(x-16)2-16,

，當(dāng)無=16時(shí)，1ax=-16；

?.-16>-80,

???當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤(rùn)的最大值為-16萬元.

(3)第一年的年利潤(rùn)為-16萬元，

16萬元應(yīng)作為第二年的成本，

又,x>8,

二.第二年的年利潤(rùn)$=(%一4)(-x+28)—16=-V+32%-128,

令s=103,則103=-12+32%-128,

解得N=11,w=21，

在平面直角坐標(biāo)系中，畫出S與X的函數(shù)示意圖可得：

觀察示意圖可知,當(dāng)S..103時(shí)，1啜！k21,

???當(dāng)1壕121時(shí)，第二年的年利潤(rùn)s不低于103萬元.

13.（2020?廣陵區(qū)二模）如圖①，老舊電視機(jī)屏幕的長(zhǎng)寬比為4:3,但是多數(shù)電影圖象的長(zhǎng)

寬比為2.4:1,故在播放電影時(shí)電視機(jī)屏幕的上方和下方會(huì)有兩條等寬的黑色帶子.

（1）若圖①中電視機(jī)屏幕為20寸（即屏幕對(duì)角線長(zhǎng)度）：

①該屏幕的長(zhǎng)=寸，寬=寸；

②已知“屏幕浪費(fèi)比=產(chǎn)曹更吃磐”,求該電視機(jī)屏幕的浪費(fèi)比.

電視機(jī)屏幕的總面積

（2）為了兼顧電影的收視需求，一種新的屏幕的長(zhǎng)寬比誕生了.如圖②，這種屏幕（矩形

ABC。）恰好包含面積相等且長(zhǎng)寬比分別為4:3的屏幕（矩形EFGH）與2.4:1的屏幕（矩形

MNPQ）.求這種屏幕的長(zhǎng)寬比.（參考數(shù)據(jù)：石22.2,結(jié)果精確到0.1）

4

【笞案】（1）①16；12；9-.8

【詳解】（D①,電視機(jī)屏幕的長(zhǎng)寬比為4:3,

.??設(shè)長(zhǎng)為4x,則寬為3x,

?電視機(jī)屏幕為20寸，

二.（4無y+（3x）2=202,解得x=4,

.*.4x=16?3x=12?

???該屏幕的長(zhǎng)為16寸,寬為12寸;

②設(shè)在該屏幕上播放長(zhǎng)寬比為2.4:1的視頻時(shí)，視頻的寬為。寸（長(zhǎng)為16寸）.

20

—解得

2.41T

???黑色帶子的寬的和=12-4=3.

33

16?

—x16

4

屏幕浪費(fèi)比=_3____

16x129

(2)由題意：絲=」一,—,得：PQ=—BC,FG=-EF.

BC2.4FG4123

S矩形EFGH=S矩形MNPQ?

54

/.BC.-BC=EF.-EF,

123

BC2_16

答：這種屏幕的長(zhǎng)寬比約為1.8.

14.（2020?高郵市一模）某公司計(jì)劃投資300萬元引進(jìn)一條汽車配件流水生產(chǎn)線，經(jīng)過調(diào)研

知道該流水生產(chǎn)線的年產(chǎn)量為1040件，每件總成本為0.6萬元，每件出廠價(jià)0.65萬元；流

水生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第〃年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)y（萬元）如表：

第〃年123456—

維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)y（萬元）3815243548—

若表中第〃年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)y（萬元）與”的數(shù)量關(guān)系符合我們已經(jīng)學(xué)過的一次函

數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中某一個(gè).

（1）求出y關(guān)于〃的函數(shù)解析式；

（2）投產(chǎn)第幾年該公司可收回300萬元的投資？

（3）投產(chǎn)多少年后，該流水線要報(bào)廢（規(guī)定當(dāng)年的盈利不大于維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)即報(bào)費(fèi)）？

【答案】（1）y=n2+2n；（2）投產(chǎn)第7年該公司可收回300萬元的投資；（3）投產(chǎn)50年

后，該流水線要報(bào)廢

【詳解】（1）?歿、上都不是固定值，

n

.?.y關(guān)于"的函數(shù)解析式不是一次函數(shù)和反比例函數(shù)，

.?.y關(guān)于〃的函數(shù)解析式是二次函數(shù).

iSty=an2+bn+c,將（1,3）,（2,8）,（3,15）代入得：

3=。+力+c

<8=4。+2〃+c,

15=9a+3b+c

a=l

解得<b=2,

c=0

/.y=n2+2n；

（2）設(shè)投產(chǎn)第1年該公司可收回300萬元的投資，由題意得：

1040x（0.65-0.6）x-x2-2x.300,

整理得：X2-50X+300..0,

A(X-25)2..325,

解得：—59+25張!k5a+25,

.?.x..-5Vi3+25~6.97,

.■.X的最小值為7.

投產(chǎn)第7年該公司可收回300萬元的投資；

（3）根據(jù)題意得：1040n（0.65-0.6）?iV+2n,

整理得：n2-50n..0.

：.n,,0或"..50.

投產(chǎn)50年后，該流水線要報(bào)廢.

15.（2020?祁江區(qū)一模）某藥廠銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果，對(duì)該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥

未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測(cè)，并建立如下模型：設(shè)第f個(gè)月該原料藥的月銷售量為P（單位:

噸），產(chǎn)與;之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)尸=圖（0<，,,8）的圖象與線段

1+4

4?的組合；設(shè)第，個(gè)月銷售該原料藥每噸的毛利潤(rùn)為。（單位：萬元），。與z之間滿足如

21+8,0<?,12

下關(guān)系：Q-

—t+44,12<7,,24

（1）當(dāng)8<f,,24時(shí)，求P關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)第f個(gè)月銷售該原料藥的月毛利潤(rùn)為卬（單位：萬元）

①求w關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式；

②未來兩年內(nèi)，當(dāng)月銷售量P為時(shí)，月毛利潤(rùn)為w達(dá)到最大.

240(0<t?8)

【答案】(I)P=r+2；(2)①卬=<2尸+12/+16(8</,,12),②23

-?+42r+88(12<z?24)

【詳解】(1)設(shè)8<f,,24時(shí)，P=kt+b,

8Z+b=10

將4(8,10)、3(24,26)代入，得:

24k+b=26

解得：仁

.,.當(dāng)8<r,,24時(shí)，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式為：P=f+2；

(2)①當(dāng)0</,,8時(shí)，卬=(2f+8)x——=240；

t+4

當(dāng)8<友12時(shí)，w=⑵+8)(r+2)=2/+12t+16；

當(dāng)12<f,,24時(shí)，w=(-t+44)(/+2)=-r+42f+88；

240(0<t?8)

綜上所述，w關(guān)于f的函數(shù)解析式為：w=-2r+12/+16(8<f?12),

-*+42r+88(12<f,,24)

②當(dāng)0<f,,8時(shí)，卬=240；

當(dāng)8"12時(shí)，w=2/+⑵+16=2?+3)2-2,

二8<1,,12時(shí)，w隨f的增大而增大，

當(dāng)，=12時(shí)，w取得最大值，最大值為448,

當(dāng)24時(shí)，w=-r+42f+88=-(f-21)2+529,

當(dāng)t=21時(shí)，卬取得最大值529,

529>448>240

.?1=21時(shí)，w取得最大值

此時(shí)P=t+2=23.

16.(2020?寶應(yīng)縣一模)某水果批發(fā)商以10元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)1300千克的某種水果投放

市場(chǎng)，受疫情影響，該水果批發(fā)商的水果出現(xiàn)滯銷，根據(jù)市場(chǎng)推測(cè)，每滯銷一天銷售，該水

果價(jià)格將上漲I元/千克，且平均每天將有20千克的水果會(huì)等級(jí)下降，假設(shè)每天等級(jí)下降

的水果都能以6元/千克的價(jià)格一次性拋售完，又知該水果最多只能滯銷20天.

(1)設(shè)滯銷工天后，該水果批發(fā)商將新鮮的水果一次性出售完所得的利潤(rùn)為w元，試寫出卬

與x的函數(shù)關(guān)系式：

(2)若滯銷期內(nèi)，每滯銷一天需支付各種費(fèi)用320元，則該水果批發(fā)商最多可獲利多少元？

【答案】(1)w=—20f+i220x：(2)10000元

【詳解】(1)由題意可得，滯銷x天后，水果價(jià)格(10+x)元/千克，品質(zhì)下降的水果：20x

千克，

.-.w=x(1300-20x)-(10-6)x20x

=1300.r-20.r2-80x

=-20/+1220%.

w與x的函數(shù)關(guān)系式為w=-20x2+1220%；

(2)由題意得：

w=-20x2+1220x-320x

=-20/+900x

45

=-20（x-y）2+10125,

—20v0,

???二次函數(shù)圖象開口向下，

對(duì)稱軸為直線尤=竺，

2

.??當(dāng)噫卜20時(shí)，卬隨x的增大而增大,

.?.當(dāng)x=20時(shí),，卬取得最大值：-20x202+900x20=10000（元）.

???該水果批發(fā)商最多可獲利10000元.

17.（2020?寶應(yīng)縣二模）2020年是脫貧攻堅(jiān)決勝年.某地實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其

成本經(jīng)過測(cè)算為20元依，投放市場(chǎng)后，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時(shí)間內(nèi)

的銷售單價(jià)p（元/伙）與時(shí)間f（天）之間的函數(shù)圖象如圖，且其日銷售量），（做）與時(shí)間,（天

）的關(guān)系是：y=-2t+]20,天數(shù)為整數(shù).

（1）試求銷售單價(jià)"（元/依）與時(shí)間f（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？

（3）在實(shí)際銷售的前20天中，公司決定每銷售1年水果就捐贈(zèng)〃元利潤(rùn)（〃<9）給“精準(zhǔn)扶

貧”對(duì)象.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間f的增大而增大，

求〃的取值范圍.

f儼元/千克t）

^14b507天）

【答案】⑴邛+3°（姍4。）；⑵第I。天時(shí)，最大日銷售利潤(rùn)為⑵。元⑶詈〃<9

140（/>40）

【詳解】（1）當(dāng)怎才40時(shí)，設(shè)銷售單價(jià)夕（元/依）與時(shí)間，（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為

p=依+30,

/.40=40f+30,

4

當(dāng)，>40時(shí)，0=40,

綜上所述：p=]5+3。(嫩40)；

40(?>40)

(2)設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，

當(dāng)怎上40時(shí)，w=(p-20)-y=(?+10)(-2r+120)=-g(f-IO)?+1250,

.?.當(dāng)f=10時(shí)，w有最大值為1250元，

當(dāng)f>40時(shí)，w=(°-20)?y=20(-2r+120)=-40f+2400<800,

.?.第10天時(shí),最大日銷售利潤(rùn)為1250元；

(3)w=(p-20-n)(-2/+120)=Z2+(2n+10)/+1200-120n,

a=--.對(duì),稱軸為x=2〃+10,

2

-每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間f的增大而增大，

j2n+10>19.5

"[n<9

19八

—<n<9

4

18.(2020?廣陵區(qū)校級(jí)三模)某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)30元，根據(jù)市場(chǎng)

調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少

售出10件玩具.

(1)若設(shè)該種品牌玩具上漲x元(0<x<60)元，銷售利潤(rùn)為w元，請(qǐng)求出w關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式；

(2)若想獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)將銷售價(jià)格定為多少，并求出此時(shí)的最大利潤(rùn).

【答案】(1)W=-10X2+500X+6000；(2)商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是12250

元，此時(shí)玩具的銷售單價(jià)應(yīng)定為65元.

【詳解】(1)根據(jù)題意得：W=(600-10X)(10+X)=-10X2+500X+6000；

(2)卬=(600-10x)(10+x)=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250，

6T=—10<0,

對(duì)稱軸為x=25,

???當(dāng)銷售價(jià)格定為40+25=65時(shí)，%大值=12250(元)

答：商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是12250元，此時(shí)玩具的銷售單價(jià)應(yīng)定為65元.

19.（2020?江都區(qū)三模）九年級(jí)數(shù)學(xué)小組經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，得到某種運(yùn)動(dòng)服的月銷量y（件）

是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、月銷售量、月銷售利潤(rùn)卬（元）的三組對(duì)應(yīng)值如

下表

售價(jià)X（元/件）120160190

月銷售量y（件）260180120

月銷售利潤(rùn)w（元）52001080010800

注：月銷售利潤(rùn)=月銷售量x（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）

（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）

②運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)是元/件：當(dāng)售價(jià)是元/件時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大

利潤(rùn)是元.

（2）由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)降低了加元/件（加＞0）,商家規(guī)定該運(yùn)動(dòng)服售價(jià)不得低于

180元/件，該商店在今后的銷售中，月銷售量與售價(jià)仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系.若月銷

售最大利潤(rùn)是14000元,求"?的值.

【答案】（1）①y=-2x+500；②100,175,11250；（2）w=20

【詳解】（1）①將點(diǎn)（120,260）、（160,180）代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=+b得：-6°=⑵"+7

[180=160k+

解得：P="2，則函數(shù)表達(dá)式為：y=-2x+5OO；

=500

②設(shè)運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為。元，則月銷售利潤(rùn)w=y（x-。），

由表格第一列知：5200=y（x-a）=（500-120x2）（120-?）,解得：a=100,

vv=y(x-a)=(-2x+500)(%-100)=-2(x-250)(%-100),

—2<0,有最大值，當(dāng)x=175時(shí)，w的最大值為11250,

(2)由題意得：14000=(-2x+500)(x-100+m)=-2(x-250)(x-100+〃?)，

250+100-_350-w

函數(shù)的對(duì)稱軸為:

X..180,假設(shè)函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值，在35°-Q.i80,則-10,不合題意，

2

則函數(shù)在x=180處取得最大值，將x=180代入函數(shù)表達(dá)式得：

14000=（-2xl80+500）（180-100+/tt）,解得：加=20.

20.（2020?廣陵區(qū)校級(jí)二模）為了提高新產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件

新產(chǎn)品進(jìn)行精細(xì)加工后再投放市場(chǎng).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人

員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：

信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；

信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍.

根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？

【答案】甲工廠每天加工40件產(chǎn)品，乙工廠每天加工60件產(chǎn)品

【詳解】設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，

依題意得：幽-幽=1。，

x1.5x

解得：x=4O.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=40是原方程的根，且符合題意.

所以L5x=60.

答：甲工廠每天加工40件產(chǎn)品，乙工廠每天加工60件產(chǎn)品.

21.（2020?儀征市模擬）如圖1,一塊邊4）長(zhǎng)為10cm,面積為的矩形紙片缺少一

塊面積2c>的等腰直角三角形，在余下的五邊形中畫出一個(gè)面積較大的矩形.小華和小紅

兩名同學(xué)進(jìn)行了如下操作探究.

操作探究：（1）小華首先嘗試畫出一個(gè)有一邊為4）的面積最大矩形，請(qǐng)你在圖1中畫出來，

并計(jì)算其面積；

（2）小紅稍加思索，她認(rèn)為可以畫出有一邊為/記的矩形面積比小華畫出的那個(gè)面積大，

你同意嗎？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出來，并說明理由；

（3）你還能畫出一個(gè)比圖2中小紅畫的矩形面積更大的矩形嗎？如果能，求出這個(gè)矩形面

積，如果不能，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2備用圖

【答案】見解析

【詳解】（1）如答圖1,

.?一塊邊4）長(zhǎng)為10cm,面積為90cm2的矩形紙片,

CD=AB=90^-10=9（c/n）；

AECF是面積為2cm2的等腰直角三角形，

CE=CF=2（c/%）,DF=CD—CF=l（cm）,

SKKADFG=ADDF=70（加）：

（2）同意，理由：如答圖2,

同（1）的方法得，BE=10-2=8（cm）,

'''S矩形ASM=8x9=卜

(3)能,理由：如備用圖,

延長(zhǎng)NM交