第六章立體幾何初步6.3球的表面積和體積北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能運(yùn)用球的表面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題.2.能解決與球的截面有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題及球的“內(nèi)接”與“外切”等幾何問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

球的基本性質(zhì)1.球的截面球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱(chēng)為球的

;被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱(chēng)為球的

.

2.球的切線(xiàn)(1)當(dāng)直線(xiàn)與球有唯一交點(diǎn)時(shí),稱(chēng)直線(xiàn)與球

,這一交點(diǎn)稱(chēng)為直線(xiàn)與球的

.

(2)過(guò)球外一點(diǎn)的所有切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)都

,這些切點(diǎn)的集合是一個(gè)圓,該圓面及所有切線(xiàn)圍成了一個(gè)圓錐.

大圓小圓相切切點(diǎn)相等名師點(diǎn)睛1.球的直徑等于球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng),即(其中R為球的半徑,a,b,c分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).2.球面被兩個(gè)平行截面所截得的圓的圓心的連線(xiàn)垂直于這兩個(gè)截面,且經(jīng)過(guò)球心.過(guò)關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)過(guò)球外一點(diǎn)有且只有一條切線(xiàn)與圓相切.(

)(2)球面上的任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面.(

)(3)球心與其截面圓的圓心的連線(xiàn)垂直于截面.(

)×√√知識(shí)點(diǎn)二

球的表面積與體積公式

條件球的半徑為R表面積公式S球面=4πR2體積公式V球=πR3

V球=S球面·R名師點(diǎn)睛1.球的表面是曲面,不能展開(kāi)為平面圖形(即球沒(méi)有表面展開(kāi)圖),也不能用計(jì)算平面圖形面積的方法去計(jì)算其準(zhǔn)確面積;2.用球的表面積公式求得的球的表面積是準(zhǔn)確值,而不是近似值,球的體積和表面積公式以后可以證明.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)球的表面積等于它的大圓面積的2倍.(

)(2)若球的直徑為1,則球的體積為

.(

)(3)兩個(gè)球的半徑之比為1∶2,則其體積之比為1∶4.(

)(4)若球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.(

)(5)球的體積是關(guān)于球半徑的一個(gè)函數(shù).(

)×√××√2.若球的體積與其表面積數(shù)值相等,球的半徑為定值嗎?提示

是定值,說(shuō)明如下:設(shè)球的半徑為R,則4πR2=πR3,解得R=3.3.已知A,B,C是球面上三點(diǎn),且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距離為2,則該球的表面積為

.

64π解析

因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,所以BC為平面ABC截球所得小圓的直徑,重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一球的表面積與體積【例1】

(1)已知球的表面積為64π,求它的體積;(2)已知球的體積為,求它的表面積.規(guī)律方法

1.球的基本量是球的半徑,由半徑可以求出球的表面積和體積,反過(guò)來(lái),由表面積和體積也可以求出球的半徑,進(jìn)而解決其他問(wèn)題.2.球的表面積之比是半徑比的平方,球的體積之比是半徑比的立方.變式訓(xùn)練1若球的半徑由R增加為2R,則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的

倍,表面積變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.

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探究點(diǎn)二球的截面【例2】

在半徑為R的球面上有A,B,C三點(diǎn),且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半,求球的表面積.規(guī)律方法

1.有關(guān)球的截面問(wèn)題,常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題.2.解題時(shí)要注意借助球半徑R,截面圓半徑r,球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形,即R2=d2+r2.變式訓(xùn)練2如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為(

)A解析

利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖,作出球的一個(gè)截面,則MC=8-6=2(cm),設(shè)球的半徑為R

cm,則R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,解得R=5,探究點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問(wèn)題【例3】

一個(gè)高為16的圓錐外接一個(gè)體積為972π的球,在圓錐里又有一個(gè)內(nèi)切球.求:(1)圓錐的側(cè)面積;(2)圓錐內(nèi)切球的體積.解

(1)如圖所示,作出軸截面,則等腰三角形SAB外接圓O,而圓O1內(nèi)切于△SAB.設(shè)圓O的半徑為R,則有

πR3=972π,∴R3=729,R=9,∴SE=2R=18.∵SD=16,∴ED=2.∵SE是直徑,∴SA⊥AE,∴SA2=SD×SE=16×18=288,AD2=SD×DE=16×2=32,規(guī)律方法

1.處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系,一般情況下,由于球的對(duì)稱(chēng)性,球心總在特殊位置,比如中心、對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)等.2.解決此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑,關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”,作出軸截面圖,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算.變式訓(xùn)練3若一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,則正方體的表面積為(

)A解析

∵球的半徑為1,且正方體內(nèi)接于球,∴球的直徑即為正方體的對(duì)角線(xiàn),即正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則有3a2=4,即a2=,∴正方體的表面積為6a2=6×=8.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)球的截面及性質(zhì);(2)與球有關(guān)的切、接問(wèn)題;(3)球的表面積與體積.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)不能定量地分析球的半徑變化引起的表面積和體積的變化程度;(2)與球有關(guān)的切、接問(wèn)題中關(guān)鍵要素及其數(shù)量關(guān)系容易把握不清.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12341.一個(gè)圓柱的底面直徑與高相等,且該圓柱的表面積與球O表面積相等,則球O的半徑與圓柱底面半徑之比為(

)A解析

設(shè)圓柱的底面半徑為r,則其高為2r,所以圓柱的表面積S1=2πr×2r+πr2+πr2=6πr2.設(shè)球O的半徑為R,則其表面積S2=4πR2.12342.(多選)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為(

)BD12343.正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(

)C12344.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,以B為圓心的圓與AB,BC分別交于點(diǎn)E,F,若tan∠CDF=,則陰影部分繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積等于

.

6π

1234解析

在Rt△DCF中,DC=2,CF=DCtan∠CDF=2×=1