第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解基底的定義,并能判斷兩個(gè)向量能否構(gòu)成一個(gè)基底.2.理解并掌握平面向量基本定理,會(huì)用基底表示平面向量.3.借助平面直角坐標(biāo)系,掌握平面向量正交分解以及坐標(biāo)表示的意義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

平面向量基本定理

定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量

結(jié)論對于這一平面內(nèi)的

向量a,

一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=

基底若e1,e2

,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

不共線

任一有且只有λ1e1+λ2e2

不共線基底名師點(diǎn)睛對平面向量基本定理的理解(1)基底具備兩個(gè)主要特征:①基底是由兩個(gè)不共線的向量構(gòu)成的;②基底的選擇是不唯一的.(2)基底e1,e2確定后,平面內(nèi)任一向量a的分解式是唯一的,特別地,當(dāng)a1e1+a2e2=0時(shí),恒有a1=a2=0.(3)用向量解決幾何問題時(shí),可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問題中涉及的向量向基底化歸.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)平面內(nèi)基底的選取是不唯一的.(

)(2)零向量可以作為基底中的向量.(

)(3)若向量a,b不共線,則{a+b,a-b}可以作為基底.(

)2.a=λ1e1+λ2e2中的一對實(shí)數(shù)λ1,λ2是否唯一?√×√提示

當(dāng)e1,e2不共線時(shí),由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;當(dāng)e1,e2共線時(shí),λ1,λ2不唯一.3.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,則以下各組向量中不能作為基底的是(

)

A.e1,e2

B.e1+e2,3e1+3e2C.e1,5e2

D.e1,e1+e2B解析

∵3e1+3e2=3(e1+e2),∴向量e1+e2,3e1+3e2共線,不可作為基底.知識點(diǎn)2

平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向

的兩個(gè)

向量分別為i,j,取{i,j}作為

.

(2)坐標(biāo):對于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對

叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中,x叫做a在

軸上的坐標(biāo),y叫做向量a在

軸上的坐標(biāo).

互相垂直相同單位基底(x,y)xy(3)坐標(biāo)表示:a=(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)表示.寫向量坐標(biāo)時(shí)要有“=”,與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)分.如a=(1,2),點(diǎn)A(1,2)(4)特殊向量的坐標(biāo):i=

,j=

,0=

.

(1,0)(0,1)(0,0)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在平面直角坐標(biāo)系中,平面向量的坐標(biāo)是唯一的.(

)(2)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)和該向量的坐標(biāo)相同.(

)(3)若兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同,則它們的坐標(biāo)一定不同.(

)2.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量

的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)有什么關(guān)系?√××重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一對平面向量基本定理的理解【例1】

給出下列說法:①若向量e1,e2不共線,則平面內(nèi)的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共線,則平面內(nèi)任一向量a都不能用e1,e2表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若{e1,e2}是一個(gè)基底,則{e1+e2,e1-e2}也可以作為一個(gè)基底.其中正確說法的序號是

.

③

解析

①錯(cuò)誤.零向量也可以用一個(gè)基底來線性表示.②錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2共線時(shí),平面內(nèi)的與e1,e2共線的向量可以表示為λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,其余的向量則不可以.③正確.當(dāng)e1,e2不共線時(shí),e1+e2與e1-e2一定不共線,故{e1+e2,e1-e2}可以作為基底.規(guī)律方法

平面向量基本定理的四個(gè)要點(diǎn)(1)不共線的向量e1,e2;(2)平面內(nèi)的任意向量a;(3)存在唯一一對實(shí)數(shù)λ1,λ2;(4)a=λ1e1+λ2e2.變式訓(xùn)練1設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底,則下列四組向量中,不能作為基底的是(

)A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1-e2B解析

選項(xiàng)B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2與3e1-4e2共線,∴不能作為基底,選項(xiàng)A,C,D中兩向量均不共線,可以作為基底.故選B.探究點(diǎn)二平面向量基本定理的應(yīng)用角度1

用基底表示向量

規(guī)律方法

用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.角度2

平面向量基本定理的綜合應(yīng)用

-2規(guī)律方法

借助向量的基底表示求向量的數(shù)量積數(shù)量積的計(jì)算中,利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出來,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.變式訓(xùn)練3如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D為BC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE=2EB.求證:AD⊥CE.探究點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)表示【例4】

在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知向量a,b,且|a|=4,|b|=3,求它們的坐標(biāo).規(guī)律方法

求平面向量坐標(biāo)的方法(1)若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時(shí),向量a的坐標(biāo)即為(x,y).(2)求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo).解題時(shí),常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)平面向量基本定理及其應(yīng)用.(2)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):忽視基底中的向量不共線.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123456789101112131415161718A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]設(shè)向量e1與e2不共線,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為(

)A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4D123456789101112131415161718D123456789101112131415161718A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<0B1234567891011121314151617184.(多選題)[探究點(diǎn)三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),對于該坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a,給出下列四個(gè)選項(xiàng),其中不正確的選項(xiàng)是(

)A.存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),則x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)OD.若x,y∈R,a≠0,且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a=(x,y)BCD解析

由平面向量基本定理,知A正確;舉反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B錯(cuò)誤;因?yàn)橄蛄靠梢云揭?所以a=(x,y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān),故C錯(cuò)誤;當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)時(shí),a=(x,y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的,故D錯(cuò)誤.1234567891011121314151617185.[探究點(diǎn)二]已知a=xe1+2e2與b=3e1+ye2共線,且e1,e2不共線,則xy的值為

.

6解析

由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,1234567891011121314151617186.[探究點(diǎn)二]已知O,A,B是平面內(nèi)任意不共線三點(diǎn),點(diǎn)P在直線AB上,若

-21234567891011121314151617181234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)一]設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求證:{a,b}可以作為一個(gè)基底;(2)以{a,b}為基底,表示向量c=3e1-e2.123456789101112131415161718(1)證明

假設(shè)a,b共線,則a=λb(λ∈R),則e1-2e2=λ(e1+3e2).所以λ不存在,故a,b不共線,即{a,b}可以作為一個(gè)基底.(2)解

設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.故c=2a+b.123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練10.在△ABC中,AB=4,AC=2,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),則

的值為(

)A.-6 B.6 C.-8 D.8A123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812.我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了,勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的,被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn),是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰,還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖,大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的.若,E為BF的中點(diǎn),則

=(

)A12345678910111213141516171813.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j組成基底,對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a.若|a|=2,θ=45°,則向量a的坐標(biāo)為

.

12345678910111213141516171814.[2023湖南湘潭期末]已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=,其中O為原點(diǎn),則x=

,y=

.

-1-2123456789101112131415