第六章平面向量及其應(yīng)用

余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握正弦定理及其變形.2.借助向量的運(yùn)算,探究正弦定理的證明過(guò)程.3.掌握三角形正弦面積公式及其應(yīng)用.4.能應(yīng)用正弦定理解決相關(guān)問(wèn)題,并能綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)

正弦定理

1.名師點(diǎn)睛

2.三角形的面積公式名師點(diǎn)睛三角形面積公式的其他形式過(guò)關(guān)自診1.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的什么條件?2.[北師大版教材習(xí)題]在△ABC中,c=4,a=2,C=45°,則sinA=

.

3.已知△ABC的外接圓半徑是2,A=60°,則BC的長(zhǎng)為

.

提示

在△ABC中,A>B?a>b?sin

A>sin

B,所以A>B是sin

A>sin

B的充要條件.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一已知兩角和一邊解三角形【例1】

在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.規(guī)律方法

已知兩角及一邊解三角形的解題方法(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊,可先由正弦定理求另一邊,再由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后由正弦定理求第三邊.(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊,則先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.變式訓(xùn)練1在△ABC中,已知A=60°,tanB=,a=2,則c=

.

探究點(diǎn)二已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形【例2】

在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形.變式探究本例中,將條件改為“a=5,b=2,B=60°”,解三角形.規(guī)律方法

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值.(2)當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中“大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊”的法則能判斷另一邊所對(duì)的角是銳角還是鈍角.(3)當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角,要分類(lèi)討論.探究點(diǎn)三判斷三角形的形狀【例3】

(1)已知在△ABC中,角A,B所對(duì)的邊分別是a和b,若acosB=bcosA,則△ABC一定是(

)A.等腰三角形

B.等邊三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形A解析

由題意及正弦定理知sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,即sin(A-B)=0,因?yàn)锳,B是三角形的內(nèi)角,所以A-B=0,即A=B.故選A.(2)在△ABC中,邊a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀.∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角.∵A=180°-(B+C),sin

A=2sin

Bcos

C,∴sin(B+C)=sin

Bcos

C+cos

Bsin

C=2sin

Bcos

C,∴sin(B-C)=0.又-90°<B-C<90°,∴B-C=0,∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形.規(guī)律方法

三角形形狀的判斷方法

變式訓(xùn)練2(1)在△ABC中,已知3b=2asinB,且cosB=cosC,A是銳角,則△ABC的形狀是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形D(2)在△ABC中,若acosC+ccosA=bsinB,則此三角形為(

)A.等邊三角形

B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形C解析

∵acos

C+ccos

A=bsin

B,∴sin

Acos

C+sin

Ccos

A=sin2B,即sin(A+C)=sin2B,∵A+C=π-B,∴sin

B=sin2B,即sin

B=1,又0<B<π,∴B=90°.∴△ABC是直角三角形.探究點(diǎn)四三角形面積公式的應(yīng)用【例4】

(1)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若c=2,C=,且a+b=3,則△ABC的面積為(

)D①求c;②設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.規(guī)律方法

三角形面積的求解思路求三角形面積時(shí),由于三角形面積公式有不同形式,因此實(shí)際使用時(shí)要結(jié)合題目的條件靈活運(yùn)用公式求解.當(dāng)三角形的兩邊及其夾角都已知或能求出時(shí),常利用

求解面積.變式訓(xùn)練3(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64,則c=

;

16(2)在△ABC中,已知C=120°,AB=2,AC=2,則△ABC的面積等于

.

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)利用正弦定理解三角形.(2)三角形形狀的判斷.(3)三角形面積公式.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):已知三角形的兩邊及其中一邊所對(duì)的角,三角形解的個(gè)數(shù)的判斷.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617181920A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練B1234567891011121314151617181920D1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920A1234567891011121314151617181920A.無(wú)解

B.有兩解C.有一解

D.解的個(gè)數(shù)不確定B12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)三]在△ABC中,a=bsinA,則△ABC一定是(

)A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.等腰三角形B12345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)一]在△ABC中,B=45°,C

=60°,c=1,則最短邊的長(zhǎng)等于

.

123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819209.[探究點(diǎn)二、四]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)當(dāng)a=7時(shí),求△ABC的面積.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.如圖,在△ABC中,角C的平分線CD交邊AB于點(diǎn)D,

D1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920A123456789101112131415161718192013.(多選題)△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,b=2,sinB=sin2A,S△ABC是△ABC的面積,則(

)ACD1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819204123456789101112131415161718192016.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀.所以sin

Acos

A=sin

Bcos

B,即sin

2A=sin

2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.123456789101112131415161718192017.已知△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sinB,求△ABC面積的最大值.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192018.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知(2sinA-sinB)2=4sin2C-sin2B.(1)求角C的大小;(2)若b=1,c=,求cos(B-C)的值.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.(多選題)銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角分別是A,B,C,且A>B,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.sinA>sinB

B.cosA<cosBC.sinA>cosB

D.sinB>cosAABCD

123456789101112131415161718192020.在△ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD的面積是△ADC的面積的2倍.123456789101112131415161718192012345