空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.向量乘法的結(jié)合律是不成立的,即a·(b·c)≠(a·b)·c.事實(shí)上a·(b·c)表示與a平行的向量,而(a·b)·c表示與c平行的向量.2.向量夾角的取值范圍為[0,π].當(dāng)夾角為銳角時(shí)其余弦值為正,當(dāng)夾角為鈍角時(shí)其余弦值為負(fù).3.通過學(xué)習(xí),我們可以利用向量的數(shù)量積解決立體幾何中的以下問題:求兩直線所成角的余弦值,求兩點(diǎn)之間的距離或線段的長度,證明線面垂直等.探究點(diǎn)一

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

C

A[素養(yǎng)小結(jié)](1)空間向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方法:①利用a·b=|a||b|cos<a,b>并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.②先將各向量移到同一起點(diǎn),利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.(2)在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟:①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.探究點(diǎn)二

利用向量的數(shù)量積解決夾角問題

圖1-1-13

圖1-1-14

變式1[2020·北京海淀區(qū)高二檢測]對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a,b,“a·b<0”是“<a,b>為鈍角”的 (

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)向量a,b反向共線時(shí),a·b<0,但此時(shí)<a,b>=π,不是鈍角,即“a·b<0”?/“<a,b>為鈍角”,又當(dāng)<a,b>為鈍角時(shí),a·b<0,所以“a·b<0”是“<a,b>為鈍角”的必要不充分條件.故選B.B

探究點(diǎn)三

利用數(shù)量積解決長度問題

D圖1-1-16

B圖1-1-17

A變式2如圖1-1-18,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時(shí)B,D間的距離.圖1-1-18

探究點(diǎn)四

利用空間向量的數(shù)量積判斷或證明垂直問題例4

如圖1-1-19,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,CD'與DC'相交于點(diǎn)O,求證:(1)AO⊥CD';(2)AC'⊥平面B'CD'.圖1-1-19

變式

如圖1-1-20,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AP=AB,F,E分別是PB,PC的中點(diǎn).證明:平面PBC⊥平面ADEF.圖1-1-20

[素養(yǎng)小結(jié)]利用向量數(shù)量積判斷或證明線線、線面垂直的思路:(1)由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0(a,b≠0)可知,要證兩直線垂直,可分別構(gòu)造與兩直線平行的向量,只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)用向量法證明線面垂直時(shí),離不開線面垂直的判定定理,需將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直即可.拓展

寫出命題“如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直”的逆命題,判斷逆命題的真假,并用向量法證明.解:命題的逆命題為:如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.該命題為真命題.

1.求解空間向量的數(shù)量積通常先確定兩向量的夾角,再結(jié)合數(shù)量積公式求解.

A

A

例2在三棱錐O-ABC中,OA⊥OB,OA⊥OC,∠BOC=60°,OA=OB=OC=2,若E為OA的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則EF=

.

23.證明空間直線垂直問題,一般求出相關(guān)直線的一個(gè)方向向量,再根據(jù)兩向量的數(shù)量積為零證明.例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.

D圖1-1-21

[解析]a·(b+c)=a·b+a·c=0.故選B.B

A4.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=

.

[解析]因?yàn)閍與b是不共線的單位向量,所以|a|=|b|=1.因?yàn)閍+b與ka-b垂直,所以(a+b)·(ka-b)=0,即ka2+ka·b-a·b-b2=0,所以k-1+kcosθ-cosθ=0(θ為a與b的夾角),所以(k-1)(1+cosθ)=0.又因?yàn)閍與