第七章三角函數(shù)單位圓與三角函數(shù)線人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解單位圓的概念.2.理解三角函數(shù)線的定義并能運(yùn)用三角函數(shù)線解決相關(guān)的問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1單位圓1.一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)滿足x2+y2=1的點(diǎn)組成的集合稱為

.

2.如果角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P坐標(biāo)為

.

單位圓

(cosα,sinα)名師點(diǎn)睛1.當(dāng)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y)時(shí),由三角函數(shù)的定義知r=OP=1,此時(shí)sin

α=y,cos

α=x,tan

α=

(x≠0).因此我們也可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)值.2.單位圓中r=1.過關(guān)自診1.若角α的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)為(-),求sinα,cosα,tanα.2.[滬教版教材例題]求角

的正弦、余弦和正弦值.知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)線余弦線

正弦線

正切線

過關(guān)自診如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是(

)C解析

由三角函數(shù)線的定義知C正確.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一三角函數(shù)線的作法及應(yīng)用圖1圖2(2)[鄂教版教材習(xí)題改編]已知cosα=,在單位圓中畫出角α的終邊.解

如圖所示,在x軸上取點(diǎn)(,0),過該點(diǎn)作x軸的垂線交單位圓于點(diǎn)P1,P2,則射線OP1,OP2即為角α的終邊.規(guī)律方法

三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時(shí),首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得出正弦線和余弦線.(2)作正切線時(shí),應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引x軸的垂線,交角α的終邊(α為第一或第四象限角)或角α終邊的反向延長線(α為第二或第三象限角)于點(diǎn)T,即可得到正切線

.變式訓(xùn)練1(1)已知角α的正弦線的長度為單位長度,那么角α的終邊(

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上D.在直線y=-x上B解析

根據(jù)正弦線的定義知,|sin

α|=1,所以sin

α=±1,所以角α的終邊在y軸上.(2)[鄂教版教材習(xí)題]已知角α的正切線是單位長度的有向線段,那么角α的終邊(

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上D.在直線y=x或y=-x上D(3)在單位圓中畫出滿足sinα=的角α的終邊,并求角α的取值集合.探究點(diǎn)二利用三角函數(shù)線比較大小【例2】

比較下列各組數(shù)的大小.分析在單位圓中正確畫出各角需要比較大小的三角函數(shù)線.b<a<c規(guī)律方法

利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點(diǎn):比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.探究點(diǎn)三利用三角函數(shù)線解不等式【例3】

在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.解

作直線y=,交單位圓于A,B兩點(diǎn),連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖1中陰影部分)即為角α的終邊的范圍.圖1圖2規(guī)律方法

利用三角函數(shù)線來解三角不等式的步驟(1)作出取等號(hào)的角的終邊.(2)利用三角函數(shù)線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍.(3)將圖中的范圍用不等式表示出來.變式訓(xùn)練2求y=lg(1-cosx)的定義域.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選題)[探究點(diǎn)一]下列說法正確的有(

)A.當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí),角α的正切線是一個(gè)點(diǎn)B.當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí),角α的正切線不存在C.正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化D.余弦線和正切線的始點(diǎn)都是原點(diǎn)ABC解析

根據(jù)三角函數(shù)的概念,ABC都是正確的,只有D不正確;因?yàn)橛嘞揖€的始點(diǎn)在原點(diǎn),而正切線的始點(diǎn)在單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)處.故選ABC.12345678910111213141516BC12345678910111213141516123456789101112131415163.[探究點(diǎn)二·2023湖南長沙高一單元測(cè)試]sin4,cos4,tan4的大小關(guān)系是(

)A.sin4<tan4<cos4 B.tan4<sin4<cos4C.cos4<sin4<tan4 D.sin4<cos4<tan4D則sin

4<cos

4<tan

4.故選D.12345678910111213141516其中說法正確的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2C.3 D.0B123456789101112131415165.(多選題)[探究點(diǎn)二·2023江西宜春高一?？茧A段練習(xí)]已知sinα>sinβ,那么下列命題中成立的是(

)A.若α,β是第一象限角,則cosα>cosβB.若α,β是第二象限角,則tanα>tanβC.若α,β是第二象限角,則cosα>cosβD.若α,β是第四象限角,則tanα>tanβCD123456789101112131415166.[探究點(diǎn)二]比較大小:tan1

tan.(填“>”或“<”)

<123456789101112131415167.[探究點(diǎn)一]若角α(0<α<2π)的正弦線與余弦線的長度相等,且符號(hào)相異,則α的值為

.

解析

根據(jù)角α(0<α<2π)的正弦線與余弦線的長度相等,且符號(hào)相異可知sin

α=-cos

α,即角α的終邊為第二、四象限的角平分線,所以123456789101112131415168.[探究點(diǎn)一]作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線.12345678910111213141516123456789101112131415169.[探究點(diǎn)三·鄂教版教材習(xí)題]求滿足不等式cosα≥的角α的取值范圍.12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.如圖,已知點(diǎn)A是單位圓與x軸的交點(diǎn),角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,PM⊥x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作單位圓的切線交角α的終邊于點(diǎn)T,則角α的正弦線、余弦線、正切線分別是(

)D解析

由題圖知,角α的正弦線、余弦線、正切線分別是

.故選D.1234567891011121314151611.[2023安徽淮北一模]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是單位圓上的四段弧,點(diǎn)P在其中一段上,角α以O(shè)x為始邊,OP為終邊.若sinα<cosα<tanα,則點(diǎn)P所在的圓弧是(

)C1234567891011121314151612.點(diǎn)P(sin3-cos3,sin3+cos3)所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D(zhuǎn)1234567891011121314151613.[2023遼寧高三專題練習(xí)]函數(shù)y=lg(2sinx-1)+的定義域?yàn)?/p>

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