試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)第Page\*MergeFormat17頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat17頁(yè)2020-2021學(xué)年天津市濱海新區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得.故選：D.2．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)頻率和概率的定義即可得到答案，注意頻率是隨機(jī)的、變化的，而概率是穩(wěn)定的.【詳解】100次試驗(yàn)中有40次正面朝上，所以正面朝上的頻率為，因?yàn)橛矌刨|(zhì)地均勻，所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故選：C.3．經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的3個(gè)點(diǎn)的平面（）A．有且僅有1個(gè) B．有無(wú)數(shù)個(gè) C．不存在 D．有且僅有3個(gè)【答案】B【分析】以這條直線(xiàn)為軸心，任意旋轉(zhuǎn)角度的無(wú)數(shù)個(gè)平面都滿(mǎn)足這個(gè)條件．【詳解】解：∵空間中不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，∴在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)的平面，就是以這條直線(xiàn)為軸心，任意旋轉(zhuǎn)角度的無(wú)數(shù)個(gè)平面都滿(mǎn)足這個(gè)條件，∴有無(wú)數(shù)個(gè)平面，故選：B．4．若一組數(shù)據(jù)為，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由總體百分位數(shù)的估計(jì)方法直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意知：共有個(gè)數(shù)據(jù)，則，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.故選：B.5．已知為空間兩條不同的直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中不正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】C【分析】利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可判斷出ABD，.若，，則可能在平面內(nèi)，即可判斷出C.【詳解】A.若，，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得正確；B.若，，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得正確；C.若，，則可能在平面內(nèi)，不正確；D.若，，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得正確；故選：C.6．已知為單位向量，，當(dāng)向量的夾角等于時(shí)，向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量投影數(shù)量公式可求得投影數(shù)量，由此可得投影向量.【詳解】向量在向量上的投影數(shù)量為，向量在向量上的投影向量為.故選：A.7．i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意可得且，從而可求出的值，可得i，進(jìn)而可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以且，解得，所以ii，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D8．已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和題設(shè)條件，求得圓柱的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)，結(jié)合圓的面積公式和圓柱的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，所以，可得，所以圓柱的表面積為.故選：A.9．甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中各射靶6次，每次命中的環(huán)數(shù)如下表：則下列說(shuō)法正確的是（）甲849579乙877877A．乙比甲射擊的平均成績(jī)高，甲比乙射擊的成績(jī)穩(wěn)定B．乙比甲射擊的平均成績(jī)高，乙比甲射擊的成績(jī)穩(wěn)定C．甲比乙射擊的平均成績(jī)高，甲比乙射擊的成績(jī)穩(wěn)定D．甲比乙射擊的平均成績(jī)高，乙比甲射擊的成績(jī)穩(wěn)定【答案】B【分析】分別求出甲乙成績(jī)的平均數(shù)和方差，分別比較平均數(shù)和方差的大小即可得出答案.【詳解】解：甲的平均成績(jī)：，方差為：；乙的平均成績(jī)?yōu)椋海讲顬椋?；因?yàn)椋砸冶燃咨鋼舻钠骄煽?jī)高，又因，所以乙比甲射擊的成績(jī)穩(wěn)定.故選：B.10．空氣質(zhì)量AQI指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)AQI指數(shù)值不大于100時(shí)稱(chēng)空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖所示的是某市4月1日~20日空氣質(zhì)量AQI指數(shù)變化的折線(xiàn)圖，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．這20天中空氣質(zhì)量最好的是4月17日B．這20天空氣質(zhì)量AQI指數(shù)的極差是240C．總體來(lái)說(shuō)，該市4月份上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好D．從這20天的空氣質(zhì)量AQI指數(shù)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的概率是0.5【答案】C【分析】根據(jù)折線(xiàn)圖可確定4月17日質(zhì)量AQI指數(shù)，即可判定選項(xiàng)A；求出這20天天氣質(zhì)量AQI指數(shù)的最大值和最小值，即可判定選項(xiàng)B；根據(jù)折線(xiàn)圖中的數(shù)據(jù)，即可判定選項(xiàng)C；求出空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的天數(shù)，由古典概型公式求出其概率，即可判定選項(xiàng)D.【詳解】由折線(xiàn)圖可知4月17日質(zhì)量AQI指數(shù)為20，是這20天中的最低，選項(xiàng)A正確；由折線(xiàn)圖可知這20天中天氣質(zhì)量AQI指數(shù)的最大值是260，最小值是20，極差為240，選項(xiàng)B正確；根據(jù)折線(xiàn)圖前10天的天氣質(zhì)量AQI指數(shù)高于后10天，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由折線(xiàn)圖可知這20天中空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”天數(shù)為10天，所以空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的概率是0.5，選項(xiàng)D正確.故選：C.11．已知平面向量滿(mǎn)足，與的夾角為，記，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，t+(1-t)=1，可知：若起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)共線(xiàn)，采取數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解決.【詳解】如圖，，，則，則，因?yàn)?，其中t+(1-t)=1，于是與共起點(diǎn)，且終點(diǎn)共線(xiàn)，即在直線(xiàn)AB上，于是時(shí)（即）最小，最小值為1，無(wú)最大值.故選：C.12．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn).將ADE沿直線(xiàn)DE翻折成A1DE(A1平面BCDE).若M在線(xiàn)段A1C上(點(diǎn)M與A1，C不重合)，則在ADE翻折過(guò)程中，給出下列判斷：①當(dāng)M為線(xiàn)段A1C中點(diǎn)時(shí)，|BM|為定值；②存在某個(gè)位置，使DEA1C；③當(dāng)四棱錐A1—BCDE體積最大時(shí)，點(diǎn)A1到平面BCDE的距離為|A1H|(DE的中點(diǎn)為H)；④當(dāng)二面角A1—DE—B的大小為時(shí)，異面直線(xiàn)A1D與BE所成角的余弦值為.其中判斷正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①利用余弦定理判斷；②用線(xiàn)線(xiàn)垂直判斷；③由垂線(xiàn)段判斷；④由二面角與線(xiàn)線(xiàn)角公式判斷.【詳解】在矩形ABCD中，AB=2AD，不妨令A(yù)B=2AD=2，則：①取DC的中點(diǎn)F，連接MF，F(xiàn)B，易知且為定值，（定值）所以MB的長(zhǎng)為定值，故①正確；②假設(shè)存在某個(gè)位置，使DEA1C，連接CE，取DE的中點(diǎn)H，連接A1H，CH，顯然，而平面，平面，，進(jìn)而有，但，不可能相等，所以不可能有DEA1C，故②錯(cuò)誤；③由題意得，ADE是等腰直角三角形，A到DE的距離是，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐A1—BCDE體積最大,點(diǎn)A1到平面BCDE的距離為，故③正確；④易知二面角A1—DE—B的平面角，當(dāng)二面角A1—DE—B的大小為時(shí)，，又,所以，又易知異面直線(xiàn)A1D與BE所成角為，，故④錯(cuò)誤，綜上可知，正確的有2個(gè).故選：B.二、填空題13．是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則___________.【答案】.【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得，所以.故答案為：.14．已知向量，且，則的值為_(kāi)__________.【答案】-6【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，得到關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】，且，所以.故答案為：.15．如圖，在正方體中，異面直線(xiàn)與所成角的大小為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)的定義，由，得即為異面直線(xiàn)與所成角的平面角，從而得出所求.【詳解】解：在正方體中，因?yàn)?，所以即為異面直線(xiàn)與所成的角，所以異面直線(xiàn)與所成角的大小為.故答案為：.16．對(duì)于事件A與事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果，則P(AB)=___________.【答案】【分析】由可知，，從而得出所求.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故答案為?三、雙空題17．某市供電部門(mén)為了解節(jié)能減排以來(lái)本市居民的用電量情況，通過(guò)抽樣，獲得了1000戶(hù)居民月平均用電量(單位：度)，將數(shù)據(jù)按照[50，100)，[100，150)，…，[300，350]分成六組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.則頻率分布直方圖中的值為_(kāi)__________；根據(jù)頻率分布直方圖近似估計(jì)抽取的這1000戶(hù)居民月用電量的中位數(shù)為_(kāi)__________.(精確到0.1)【答案】0.0044183.3【分析】由頻率和為1可求出圖中的值，由于前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以可判斷中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，從而可求出中位數(shù)【詳解】解：由頻率分布直方圖可得，解得，由于前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以可知中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故答案為：，18．甲?乙兩名同學(xué)參加某項(xiàng)測(cè)試，已知甲達(dá)標(biāo)的概率為，乙達(dá)標(biāo)的概率為，兩人能否達(dá)標(biāo)互不影響.（i）兩人都達(dá)標(biāo)的概率為_(kāi)__________；（ii）至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】（1）考慮兩人能否達(dá)標(biāo)互不影響，即相互獨(dú)立，則兩人都達(dá)標(biāo)的概率為各自達(dá)標(biāo)概率之積；（2）先考慮兩人均未打標(biāo)的概率，即可得到至少有一人達(dá)標(biāo)的概率.【詳解】（1）因?yàn)閮扇四芊襁_(dá)標(biāo)互不影響，故兩人都達(dá)標(biāo)的概率為；（2）兩人均未達(dá)標(biāo)的概率為，故至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為.故答案為：，.19．立方?塹堵?陽(yáng)馬和鱉臑等這些名詞都出自中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》，在《九章算術(shù)·商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑”.意思是說(shuō)：把一塊長(zhǎng)方體沿斜線(xiàn)分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖1.再把一塊“塹堵”沿斜線(xiàn)分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱(chēng)為“鱉臑”，如圖2.現(xiàn)有一四面體，已知，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來(lái)，可得這個(gè)四面體的體積為_(kāi)__________；該四面體的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)題意可知“鱉臑”的由來(lái)是將長(zhǎng)方體分解一半，得到三棱柱，再把三棱柱分解出一半可得，把四面體還原成長(zhǎng)方體即可求解體積和四面體的外接球半徑，從而可得球的表面積【詳解】解：根據(jù)題意可知“鱉臑”的由來(lái)是將長(zhǎng)方體分解一半，得到三棱柱，再把三棱柱分解出一半可得，由已知還原的長(zhǎng)方體如圖所示，所以四面體的體積為,四面體的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，所以四面體的外接球的表面積為，故答案為：，20．已知四邊形，，，，且，（i）___________；（ii）若，動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積可得，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，可得，進(jìn)而可得，求出；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為建立平面直角坐標(biāo)系，首先求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用向量共線(xiàn)求出，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，則,因?yàn)椋?，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，可得，因?yàn)椋?，由，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)由，即，解得，即，設(shè)，，，則，，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為：；四、解答題21．在中，角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求角的大??；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，則可求；（2）利用正弦定理可直接求解出的值.【詳解】解：（1）在中，根據(jù)余弦定理得，，∵，∴；（2）在中，根據(jù)正弦定理，得.22．垃圾分類(lèi)，人人有責(zé).2020年12月1日，天津市正式實(shí)施《天津市生活垃圾管理?xiàng)l例》，根據(jù)條例，市民要把生活垃圾分類(lèi)后方能夠投放．已知濱海新區(qū)某校高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)學(xué)生的環(huán)保社團(tuán)志愿者人數(shù)分別為30，15，15．現(xiàn)按年級(jí)進(jìn)行分層，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取4名同學(xué)參加垃圾分類(lèi)知識(shí)交流活動(dòng)．（1）應(yīng)從高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的環(huán)保社團(tuán)志愿者中分別抽取多少人？（2）設(shè)抽出的4名同學(xué)分別用表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)分別在上午和下午作交流發(fā)言．（i）寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；（ii）設(shè)事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)”，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的環(huán)保社團(tuán)志愿者中分別抽取2人、1人、1人；（2）（i）;（ii）．【分析】（1）求出抽樣比，從而可求出答案；（2）（i）列舉法即可寫(xiě)出樣本空間；（ii）列舉法求出事件包含的樣本點(diǎn)，再根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)抽取高一?高二?高三3個(gè)年級(jí)的環(huán)保社團(tuán)志愿者人數(shù)分別為，由分層抽樣，得，解得，∴應(yīng)從高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的環(huán)保社團(tuán)志愿者中分別抽取2人、1人、1人；（2）（i）樣本空間為：，共有12個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的；（ii）由（1），不妨設(shè)抽出的4名同學(xué)中，來(lái)自高一年級(jí)的是，來(lái)自高二年級(jí)的是，來(lái)自高三年級(jí)的是，∵，∴，∴事件發(fā)生的概率．23．如圖，在三棱柱中，平面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）連接交于O，連接OD，則由三角形中位線(xiàn)定理可得，再利用線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由棱柱的性質(zhì)結(jié)合已知可得平面，從而得，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）過(guò)C作CE于E，連AE，則可得CE⊥平面，從而中得∠CAE是AC與平面所成的角，然后在直角中求解即可【詳解】解：（1）如圖，連接交于O，連接OD，∴O是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴OD是的中位線(xiàn)，∴∵平面，OD平面∴平面（2）∵，是的中點(diǎn)，∴，∵三棱柱中，平面，∴平面∵AD平面，∴，又?BC是