第9講球

（鞏固基礎(chǔ)+能力提升練習(xí)）

【鞏固基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2021?山西呂梁市?高二期末（理））劉徽的《九章算術(shù)注》記載“斜解立方，有兩塹

堵，其一為陽馬，一為鱉席，陽馬居二，鱉腌居一，不易之率也”意思是把一長方體沿對

角面一分為二，這相同的兩塊叫做塹堵，再沿塹堵的一頂點與其相對的面對角線剖開成兩

塊，大的叫陽馬（底面為長方形，且有一側(cè)棱與底面垂直的四棱錐），小的叫鱉席（四個面

均為直角三角形的四面體），若三棱錐P-A5C為鱉席，以，平面/6G

PA=AB=2,AC=4,三棱錐P—ABC的四個頂點都在球。的球面上，則球。的體積

為（）

20rz160rz

A.—A/57rB.-----A/57rC.20/rD.247r

33

【答案】A

【分析】根據(jù)鱉席的定義，作出鱉席，根據(jù)滿足的條件，求得長方體的外接球半徑即鱉席

的外接球半徑，從而求得體積.

【詳解】根據(jù)鱉腌的定義，可以作出滿足條件的鱉般，其中平面力外，

則BC=收-2?=26，三棱錐尸—A3C的外接球與以3CA5PA分別為長，寬，高

的長方體的外接球相同，

則外接球半徑「=舟+2'+（2電=6,

2

則外接球體積為g〃X（逐了=個后兀

故選：A

2.（2021?江西上高二中高二月考（文））《九章算術(shù)》的“開立圓術(shù)”中，“立圓”的意思

是“球體”，古稱“丸"，而“開立圓術(shù)”即求已知體積的球體的直徑的方法：置積尺數(shù)，

以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑."其意思為：“把球體體積先乘16再除以

9,然后再把得數(shù)開立方，所得即為所求球體直徑的近似值.”則當球體體積為

：（log6432）3時，球半徑的近似值為（）

11525

A.—B.—C.—D.—

42636

【答案】c

93

【分析】將5（log6432）3代入2r=化簡可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得,

2，"，=武義1*32)3=2*32,

所以r=log6432=log25=。

6

故選：C

【點睛】本題主要考查球的體積、直徑的估算，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.（2021?黑龍江鶴崗市?鶴崗一中高二期末（文））據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉席（biend

。）”為四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉腌”，上4,底面ABC,

ABLBC,且K4=AB=BC=2,三棱錐外接球表面積為（）

A.4萬B.8%C.12萬D.16不

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件可將三棱錐P-A5C補全圖形為正方體，可知其外接球為正方體的

外接球，即可求外接球表面積.

【詳解】：上4,底面ABC，ABLBC,PA=AB^BC,將三棱錐P—ABC補全圖

形為正方體如圖所示,

...三棱錐的外接球即正方體的外接球.

設(shè)外接球的半徑為R，則（2R）?=22+22+22,解得R=百.

所以外接球的表面積為4萬夫2=12萬.

故選：C

【點睛】本題考查幾何體外接球表面積的求法，注意補全三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體，應(yīng)用正方

體外接球的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

4.（2021?四川南充市?高二期末（文））已知球。與棱長為。的正四面體各面都相切，

則該球的體積為.

【答案】正萬/

216

【分析】利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)球的體積公式計算可得；

【詳解】解：如圖正三棱錐尸—A5C中，E為P在底面的射影，所以PEL面ABC,因

為正三棱錐的棱長為°,所以AD=Ja2一=4，AE=^AD=^-a，所以

SARC=SPBC=SABP=SAPC=昱a2,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則

Vp——PE,S40/-——(S40/-+SPBC+SABP+SAPC),即

r-ADC3△AoC3\A/IDCA.TDCAADrA/LTC/

gxf曰/+手/+乎/+手〃［右解得R=所以

故答案為：乃/

216

5.（2021?廣東高二月考）設(shè)球。內(nèi)切于正三棱柱A5C-4用￡,則球。的體積與正三

棱柱ABC-4與￡的體積的比值為.

【答案】宜紅

27

【分析】設(shè)球。半徑為此正三棱柱ABC-4與G的底面邊長為a,求出a=2亞？，然

后正三棱柱ABC-A4cl的高為2兆然后可算出答案.

【詳解】設(shè)球。半徑為尼正三棱柱ABC-A5cl的底面邊長為a,則/?=3><@=巫

326

a,即<3=2石R

又正三棱柱ABC—A4G的高為2R,

4%R3

所以球。的體積與正三棱柱ABC-451cl的體積的比值為一/f----------=

—tz2x2/?

4

-TTR3

3_2R后

—X!2R2X2R27

4

故答案為：嚕

6.（2021?江西南昌市?南昌十中高二期末（文））將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱

形玻璃容器中，水面升高4cm,則鋼球的半徑是cm

【答案】3

43

【分析】設(shè)球的半徑為rem,由球的體積一萬產(chǎn)等于水面升高的體積，即可列方程求鋼球

3

半徑.

【詳解】由題意知：水面升高的體積等于鋼球的體積，設(shè)鋼球的半徑為「cm,貝IJ：

43

—nr=4x9〃=36〃解得：r=3,

3

故答案為：3

7.（2021?云南省大姚縣第一中學(xué)高二期末（文））棱長為。的正方體的外接球與內(nèi)切球的

體積比為.

【答案】373

【分析】確定棱長為。的正方體的外接球與內(nèi)切球的半徑，即可求得棱長為”的正方體的

外接球與內(nèi)切球的體積之比.

【詳解】棱長為。的正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線，即外接球的半徑為

A/3

---Q，

2

棱長為。的正方體的內(nèi)切球的半徑為巴，

2

所以，外接球與內(nèi)切球的體積之比為33:L

故答案為：3^/3

【點睛】本題考查球的體積，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2021?遵義師范學(xué)院附屬實驗學(xué)校高二期末（文））已知AABC的三個頂點在以。為

球心的球面上，且AB=2j5,BC=l,AC=3,三棱錐O—ABC的體積為,則球。

6

的表面積為.

【答案】12乃

試題分析：在AA5C中，AB=2y[2,BC=\,AC=3,由勾股定理可知斜邊AC的中點

0'就是AABC的外接球圓的圓心，因為三棱錐O-ABC的體積為逅，所以

6

1x^242x1x00'^—，所以0。，=",所以R-B+3=6,球。的表面積

3262V44

為4版=12萬.

考點：球的表面積的求解.

【能力提升】

一、單選題

1.（2021?白銀市第十中學(xué)高二期末（文））已知NA6C=90°,上4,平面/勿，若

PA=AB=BC=I,則四面體以肉的外接球（頂點都在球面上）的體積為（）

A.兀B.舟C.InD.史巴

2

【答案】D

【分析】取戶。的中點。，連接物，0B,由已知得?，A,B,C四點在以。為球心的球面

上，由已知數(shù)據(jù)和球的體積公式可得選項.

【詳解】取"的中點。，連接的，0B,由題意得K4L5C,

又因為ACLBCPCcACuA,所以平面P4C,所以5CLP6,在

RtAPBC,OB=-PC,

2

同理。4=!。。，所以。4=O3=OC=1PC,因此RA,B,。四點在以。為球心的

22

球面上，

在MAABC中，AC=[AB?+5c2=JI在RtAPAC中,PC7P4+AC?=唐，

球。的半徑R=LpC=Y3,所以球的體積為士乃

=——TC，

2232

故選：D.

【點睛】本題考查幾何體的外接球的體積的計算，關(guān)鍵在于確定外接球的球心和半徑，屬

于中檔題.

2.（2021?江西九江市?九江一中（文））如圖，半徑為R的球。中有一內(nèi)接圓柱，當圓

柱的側(cè)面積最大時，球的體積與該圓柱的體積之比是（）

A°R4加

A.27rB.-----

3

c.V2D.9

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為廣，高為/z,可得出（2ry+〃2=4R2,利用基本不等式得

出4所的最大值，可得出圓柱的側(cè)面積的最大值，利用等號成立求得廠、丸與H的等量關(guān)

系，進而可計算得出球的體積與該圓柱的體積之比.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為小高為/i，可得出（2廳+/?2=4爐，

由基本不等式可得4尺2-4r2+^2>2d4r2h2=Arh，

2y—h1^

當且僅當“n；以時，即當/7=何，r=時，等號成立，

47?2=4//'2

119,

圓柱的側(cè)面積為S=2兀rh=—兀x4rhW—兀x4R-=2兀K,

22

3_________472

所以，球的體積與該圓柱的體積之比為1而<rr\2丁

71x--Rx-/2R

2

故選：B.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

3.(2021?安徽高二期末(文))已知三棱錐尸-A5C的頂點都在球。的球面上，

AB=AC=2,BC=2E，P3,平面ABC，若球。的體積為720乃，則該三棱錐

的體積是()

168也8

A.—B.5C.巴—D.-

333

【答案】A

【分析】先找出三角形ABC的外心，算得OQ,建立方程算出P3,由此算出棱錐體積.

【詳解】

4I-

由球。的體積V=§%/=72缶■,得「=3行.因為AB=AC=2,BC=2近,易知

三角形A5C為等腰直角三角形，故三角形A3C的外心為斜邊中點Q,設(shè)球心為。，故

。。上面ABC,WOQIIPB

由勾股定理OQ=JOB?-BQ?=4

故（P5-4）2=Qp2_§Q2=]6

故PB=8

則三棱錐的高/z=8,所以體積V=1xLx2x2><8=g.

323

故選：A.

【點睛】三棱錐的外接球問題，可用軸截面法

①尋找底面三角形ABC的外心.

②過底面外心作底面的垂線

③外接球的球心必在該垂線上，利用軸截面計算出球心的位置.

4.（2021?浙江高二期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四

棱錐稱之為陽馬.若四棱錐P-ABCD為陽馬，底面ABCD為矩形，上4,平面A5CD,

AB=2,AD=4,二面角P—6C—A為60。，則四棱錐P—A6CD的外接球的表面積

為（）

,64

A.16〃B.20萬C.—71D.32%

3

【答案】D

【分析】由線面垂直的性質(zhì)和判定可得由二面角的平面角的概念可得

ZPBA=60°.進而可得PA=2石，再將該四棱錐補成一個長方體，由長方體的外接球

即可得解.

【詳解】因為上4,平面ABCD，底面ABCD為矩形，

所以QALBC,ABLBC,所以3C，平面E43,

所以所以NPA4即為二面角P—BC—A的平面角，即NPR4=60°，

所以PA=AB-tan60°=2君，

將該四棱錐補成一個長、寬、高分別為4、2、2逝的長方體，如圖，

p

所以該球的表面積S=4萬r=4萬乂（2亞）=32兀，

所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為32萬.

故選：D.

【點睛】本題考查了線面位置關(guān)系及二面角的應(yīng)用，考查了幾何體外接球的求解和轉(zhuǎn)化化

歸思想，屬于中檔題.

5.（2021?云南省云天化中學(xué)高二期末（理））直三棱柱ABC-4與。1的所有頂點都在同

一球面上，且AB=AC=2,/B4c=90°,想=4忘，則該球的表面積為（）

A.40乃B.32萬C.10乃D.8?

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，可將直三棱柱ABC-4用￡補成長方體，長方體的對角線即為球的

直徑，從而可求球的表面積.

【詳解】解：如圖所示，???直三棱柱A3C-4用￡的所有頂點都在同一球面上，且

AB=AC=2,ABAC=90°，A4,=4vL

B

Bi

???可將直三棱柱ABC-431cl補成長方體，其中48=4?=5河=。0=2,

M=BB[=46,長方體的對角線

2222

CB1=個CM?+MB：=^CM+MB+BB^=^2+2+（4夜『=2函，即為球的

直徑，則球的半徑r為

???球的表面積為S=4仃2=4〃X（=40".

故選：A.

【點睛】本題考查球的表面積，考查分析問題能力，屬于中檔題.

6.（2021?黑龍江鶴崗市?鶴崗一中（理））在三棱錐S—ABC中，5A_L底面ABC,且

AB=2AC=2,NC=3O。，SA=2,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.20萬B.12萬C.87rD.4萬

【答案】A

【分析】利用正弦定理求出的外接圓直徑2尸，利用公式2R=J（2ry+SA2可計

算得出三棱錐S-ABC的外接球直徑，然后利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為/z,圓柱的外接球半徑為R,

取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點。到圓柱底面圓上每個點的距離

都等于R,則O為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得（2「『+〃2=（2火）2.

本題中，平面ABC,設(shè)AABC的外接圓為圓。1,可將三棱錐S—ABC內(nèi)接于圓

柱OiQ，如下圖所示:

設(shè)△ABC的外接圓直徑為2r,SA=h=2,

AH

由正弦定理可得2'=L-------二4,,該三棱錐的外接球直徑為2H，則

sinZC

2R=&2r?=2亞.

因此，三棱錐S—ABC的外接球的表面積為4乃A?=?x（2R）2=20萬.

故選：A.

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正

方體或長方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓

心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

7.（2021?重慶高二期末）已知4B,C為球。的球面上三個點，球心。到平面/回的距

離為1,ZOAB=ZOAC=60°>ZBAC=90°.則球。的表面積為（）

A.8"B.9〃C.12〃D.16〃

【答案】A

【分析】由已知可得AOAB與ACMC全等，AB^AC,判斷出〃為RtAABC的外心，

設(shè)BD=m,則48=行7〃，計算出=又OB=J?！?BD?，建立等式可得

m,從而求得表面積.

【詳解】：NOA8=NOAC=60°，

，AOAB與ACMC全等，AB=AC,

設(shè)平面/8C于點〃2為RtZXABC的外心，

設(shè)3￡>=m，則AB="n，

又△Q46為等邊三角形，OB=AB=&，

又0B=y]OD2+BD2=Vl+m2，

解得m=1,可得球的半徑為近，故表面積為4〃（、歷了=8".

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了求內(nèi)接三棱錐問題，關(guān)鍵點是判斷出AQIB與MMC全

等和〃為RtZVLBC的外心，考查了學(xué)生的空間想象力和計算能力.

二、填空題

8.（2021?江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓

錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

【答案】縣兀

3

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積

的值.

【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，

其中BC=2,AB=AC=3,且點〃為6C邊上的中點，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。,

A

22

由于AM-V3—I=2\/2，故SAABC=5x2x2，^=2，^,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為一，貝1J：

S4ABC=%AOB+SABOC^AAOC=xx廠+5xBCxr+—xACxr

=1x(3+3+2)xr=2V2,

解得：r=Y2,其體積：y=3萬廠3=42萬.

233

故答案為：］匚萬.

3

【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明

確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正

方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方

體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

9.(2021?合肥市第六中學(xué)高二期末(文))三棱錐P-A5C三條側(cè)棱兩兩垂直，正四面

體D-ABC與三棱錐相接且棱長為百，戶與。在面ABC異側(cè)，則所成多面體外接球的

體積是.

【答案】2

2

【分析】根據(jù)幾何體的幾何關(guān)系，可將幾何體放在正方體中，多面體的外接球和正方體的

外接球是同一外接球，由此可求外接球的體積.

【詳解】如圖所示，AB^AC=BC,并且？A,兩兩互相垂直，所以

PA2+PB1=PA2+PC2=PB2+PC2,所以PA=PB=PC,

正四面體D-A5c與三棱錐相接且棱長為百，所以如圖所示，將此多面體放在正方體

中，多面體的外接球就是此正方體的外接球，并且棱長為1,正方體外接球的半徑

27?=#+12+12得我=今

則外接球的體積V=3乃R3=立兀.

32

故答案為：-^-71

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是根據(jù)多面體的幾何關(guān)系可采用補體，轉(zhuǎn)化為求正方

體的外接球的體積，這樣計算就容易了.

10.（2021?江西贛州市?高二期末（理））在邊長為6的菱形ABCD中，對角線

7T

AC=5將三角形沿AC折起，使得二面角3—AC—O的大小為萬，則三棱

錐5-ACD外接球的體積是

【答案甘;

【分析】分析菱形的特點，結(jié)合其翻折的程度，判斷其外接球球心的位置，放到相應(yīng)三角

形中，利用勾股定理求得半徑，利用球的體積公式求得外接球的體積.

【詳解】根據(jù)題意，畫出圖形，

根據(jù)長為小的菱形ABC。中，對角線AC=J，，

所以AABC和ADBC都是正三角形，

TT

又因為二面角3—AC—O的大小為一，

2

所以分別從兩個正三角形的中心做面的垂線，交于。，

則。是棱錐B-ACD外接球的球心，且GO=1,OG=GE=工,

2

所以球的半徑R=^GD2+OG2=叵,

2

所以其體積為丫=3乃&=百".(1)3=任"，

3326

故答案為：之反.

6

【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體外接球的問題，解題思路如下：

(1)根據(jù)題中所給的條件，判斷菱形的特征，得到兩個三角形的形狀；

(2)根據(jù)直二面角，得到兩面垂直，近一倍可以確定其外接球的球心所在的位置；

(3)利用勾股定理求得半徑；

(4)利用球的體積公式求得結(jié)果；

(5)要熟知常見幾何體的外接球的半徑的求解方法.

11.(2021?安徽黃山市?高二期末(文))在三棱錐P—ABC中，平面ABC,

jr

AB=2日BC=3,PA=4,NABC=—,則該三棱錐的外接球體積為___________.

4

I答案片

【分析】利用余弦定理求得AC,利用正弦定理計算出AABC的外接圓直徑2r,可計算

出三棱錐P-ABC的外接球半徑R，然后利用球體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，圓柱的底面圓直徑為2廠，圓柱的母線長為人，

則的中點。到圓柱底面圓上每點的距離都相等，

所以，圓柱的外接球直徑為2R=JR+Z?.

本題中，作出△入笈。的外接圓。2，由于上4,平面ABC，可將三棱錐P—ABC放在圓

柱。Q中，

jr

在AABC中，AB=2&，BC=3,ZABC=-

4

由余弦定理可得AC=VAB2+BC2-2AB-BCcosZABC=有,

2r_A。_布廠.國

由正弦定理可知，的外接圓直徑為一sinZABC一0一，

則三棱錐P-ABC的外接球直徑為2R=y]pA2+（2r）2=而，則R=字，

因此，三棱錐P—ABC的外接球的體積為丫=4〃7?3=3萬義1叵1=￡叵〃.

3312J3

故答案為：上叵萬.

3

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正

方體或長方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓

心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

12.（2021?浙江高二期末）若一個底面邊長為也，側(cè)棱長為6的正六棱柱的所有定點

2

都在一個球的面上，則此球的體積是.

【答案】4幣）兀

【分析】計算出正六棱柱的外接圓直徑，進而可求得外接球的半徑，利用球體體積公式即

可計算出正六棱柱的外接球的體積.

【詳解】如下圖所示：

圓柱的底面圓直徑為2r，母線長為/i,則OR的中點。到圓柱底面圓上每點的距離

都相等，則。為圓柱O1Q外接球的球心，設(shè)球。的半徑為H，則2R=J（2r）2+/,

可作出正六棱柱ABCDEF—耳的外接圓,

可將正六棱柱ABCDEF-A4G。耳耳放在圓柱0Q中，如下圖所示:

連接OB］、a耳，則/4?4=60°,且則△aa四為等邊三角形,

則圓。1的半徑為r=aa=4耳=~~,

正六棱柱ABCDEF-AiBlC1DiEiFi的側(cè)棱長為h=娓,

設(shè)正六棱柱ABCDEF-4片￡。耳耳的外接球的半徑為R,則

2R=^（2r）2+A2=273，

所以，R=6,因此，正六棱柱的外接球體積為丫=:乃&=：%x（百了=467r.

故答案為：4岳.

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正

方體或長方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓

心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

13.（2021?云南麗江市?高二期末（文））在三棱錐S-ABC中，已知SB,底面

ABC,且S3=AC=6，AB=BC=1,則該三棱錐的外接球的體積為.

【答案】邁"

6

【分析】如圖，E是AC中點，。是底面△A5C的外心，。是三棱錐S—ABC的外接球

的球心，外接球的半徑為R,尸是S3的中點.設(shè)AABC的外接圓的半徑為小先求出

廠=1，再求出尺=立，即得解.

2

【詳解】

如圖，E是AC中點，。是底面AA3c的外心，。是三棱錐S—ABC的外接球的球心,

外接球的半徑為H，尸是S3的中點.

在AABC中，由余弦定理得cosNABC=I+1一3=—工,

2x1x12

2式

因為NA3Ce（0,乃），所以NA3C=—,

3

設(shè)AABC的外接圓的半徑為廣，所以二虧=2,-,r=l=DC

sin——

4

因為SO=QB,S/=6分，所以四邊形ORB。是矩形,

所以。。=中，所以R=OC=J1+（曰）2=今.

所以外接球的體積為V=g?（，）3=??.

故答案為：iSn

6

14.（2021?山西晉城市?高二期末（理））已知直三棱柱ABC-A31cl的各頂點都在同

一球面上，若4AC=30。，BC=AAl=l,則該球的表面積等于一.

【答案】5萬

【詳解】如圖設(shè)底面三角形ABC的外心是。'，（JA=OB=OC=r,（r為外接圓半

徑）

在AABC中，由正弦定理可得外接圓半徑2廠=—1—=2,:.r=l

sin30°

設(shè)此圓圓心為O',球心為。，在RTAOBO,中，

易得球半徑R=,2+出=與,

故此球的表面積為4乃尺2=5不

即答案為5?.

【點睛】本題是基礎(chǔ)題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出

球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法.

15.（2021?上海）己知A,B,C,。是某球面上不共面的四點，且

AB=BC=AD=j2>BD=AC=2,BCA.AD,則此球的表面積等于.

【答案】671

【分析】把已知三棱錐補形為正方體，可得外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】解：如圖，

把三棱錐力沙切補形為棱長為四的正方體,

可得CD=J2+2+2=后為球的直徑,則球的半徑為

2

球的表面積為47rx（等了=6萬.

故答案為67r.

【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，正確補形

是關(guān)鍵，是中檔題.

16.（2021?云南麗江市?麗江第一高級中學(xué)高二期末（文））己知點。為圓錐尸O底面的

圓心，圓錐PO的軸截面為邊長為2的等邊三角形BW，圓錐尸O的外接球的表面積為

_.167r

【答案】——

3

【分析】由題意知圓錐尸。的軸截面為外接球的最大截面，即過球心的截面且球心在PO

上，由等邊三角形性質(zhì)有加△AO'O,即0乂2=402+。。2求得外接球的半徑為此進

而求外接球的表面積.

【詳解】設(shè)外接球球心為O',連接A。'，設(shè)外接球的半徑為尼依題意可得40=1,

PO=5