高考大題滿分練(六)統(tǒng)計與概率綜合問題1．某校高二年級共有1000名學生，為了了解學生返校上課前口罩準備的情況，學校統(tǒng)計了所有學生口罩準備的數(shù)量，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法，從口罩準備數(shù)量在[10，20)和[50，60]的學生中選10人參加視頻會議，則兩組各選多少人？(3)在(2)的條件下，從參加視頻會議的10人中隨機抽取3人，參與學校組織的復(fù)學演練．記X為這3人中口罩準備數(shù)量在[10，20)的學生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．【解析】(1)(0.015＋0.035＋0.01＋2x)×10＝1，解得x＝0.02.所以x的值為0.02.(2)口罩準備數(shù)量在[10，20)的人數(shù)：10×eq\f(0.015,0.015＋0.01)＝6(人)，[50，60]的人數(shù)：10×eq\f(0.01,0.015＋0.01)＝4(人).(3)由題意得X＝0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(4,120)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(36,120)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(60,120)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(20,120)，故分布列為：X0123Peq\f(4,120)eq\f(36,120)eq\f(60,120)eq\f(20,120)數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(4,120)＋1×eq\f(36,120)＋2×eq\f(60,120)＋3×eq\f(20,120)＝eq\f(216,120)＝eq\f(9,5).所以數(shù)學期望為eq\f(9,5).【加練備選·拔高】甲、乙、丙三位同學報名參加學校的社團活動，每位同學彼此獨立地從足球、籃球、圍棋、合唱四個社團中隨機選報兩個社團．(1)求恰有兩位同學選報的社團完全相同的概率．(2)求同學甲選報足球社的概率．(3)若甲已經(jīng)報名參加了合唱社團，只需在其余三個社團中再選報一個，乙、丙從四個社團中隨機選兩個，設(shè)報名足球社的同學人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．【解析】(1)設(shè)“恰有兩位同學選報的社團完全相同”為事件A，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))（Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋1）,（Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))）3)＝eq\f(5,12).(2)設(shè)“甲同學選報足球社”為事件B，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(1,2).(3)X的所有可能值為0，1，2，3，甲同學報名足球社的概率為eq\f(1,3)，由(2)可知，乙、丙報名足球社的概率都為eq\f(1,2)，故P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,12)，X的分布列為：X0123Peq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(1,3)eq\f(1,12)E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(4,3).2.潛葉蠅是南方地區(qū)水稻容易遭受的蟲害之一，成蟲將蟲卵產(chǎn)在葉片里，待蟲卵孵化之后，幼蟲會在葉片中啃葉肉，使得秧苗的葉片呈現(xiàn)白色的狀態(tài)，進而降低水稻產(chǎn)量．經(jīng)研究，每只潛葉蠅的平均產(chǎn)卵數(shù)y和夏季平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了某地區(qū)以往6年的數(shù)據(jù)，得到下面數(shù)據(jù)統(tǒng)計表格．平均溫度xi℃212325272931平均產(chǎn)卵數(shù)yi個711212264115(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)r判斷，潛葉蠅的平均產(chǎn)卵數(shù)y與平均溫度x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，若有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程y＝x＋，若沒有較強的線性相關(guān)關(guān)系，請說明理由(一般情況下，當|r|＞0.75時，可認為變量有較強的線性相關(guān)關(guān)系)；(2)根據(jù)以往的統(tǒng)計，該地區(qū)夏季平均氣溫為ξ(℃)近似地服從正態(tài)分布N(26.5，σ2)，且P(25＜ξ≤28)＝eq\f(1,2).當該地區(qū)某年平均溫度達到28℃以上時，潛葉蠅快速繁殖引發(fā)蟲害，需要進行一次人工治理，每次的人工治理成本為200元/公頃(其他情況均不需要人工治理)，且蟲害一定會導致水稻減產(chǎn)，對過往10次爆發(fā)蟲害時的減產(chǎn)損失進行統(tǒng)計，結(jié)果如表：每次蟲害減產(chǎn)損失(元/公頃)10001400頻數(shù)46用樣本的頻率估計概率，預(yù)測未來2年，每公頃水稻可能因潛葉蠅蟲害造成的經(jīng)濟損失Y(元)的數(shù)學期望．(經(jīng)濟損失＝減產(chǎn)損失＋治理成本)參考公式和數(shù)據(jù)：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝700，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝4126，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝240，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2＝8816，eq\r(70)≈8.4，eq\r(617180)≈786.【解析】(1)由題意可知eq\x\to(x)＝(21＋23＋25＋27＋29＋31)÷6＝26，eq\x\to(y)＝(7＋11＋21＋22＋64＋115)÷6＝40，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）2)·\r(\i\su(i＝1,6,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(700,\r(52＋32＋12＋12＋32＋52)·\r(8816))＝eq\r(\f(7002,70×8816))＝eq\r(\f(875,1102))≈0.891＞0.75，所以存在較強的線性相關(guān)關(guān)系，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(700,52＋32＋12＋12＋32＋52)＝eq\f(700,70)＝10，所以＝40－26×10＝－220，所以線性回歸方程為＝10x－220.(2)因為夏季平均氣溫近似地服從正態(tài)分布N(26.5，σ2)，且P(25＜ξ≤28)＝eq\f(1,2)，(25＋28)÷2＝26.5，所以P(ξ＞28)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))÷2＝eq\f(1,4)，所以由題知平均每次蟲害損失為(1000×4＋1400×6)÷(4＋6)＝1240(元)，所以可知每次蟲害需要人工治理的概率為eq\f(1,4)，因此E(Y)＝(1240＋200)×eq\f(1,4)＝360元．3．有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如表所示的列聯(lián)表．優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30合計105已知從全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7).(1)請完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”；(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到4號或9號的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)由題知優(yōu)秀的人數(shù)為105×eq\f(2,7)＝30，可得2×2列聯(lián)表如表格：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109＞3.841＝x0.05，因此有95%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”．(3)設(shè)“抽到4號或9號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為(x，y)，則所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36種．事件A包含的基本事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)共7種，所以P(A)＝eq\f(7,36).4．某單位對員工業(yè)務(wù)進行考核，從A類員工(工作3年及3年以內(nèi)的員工)和B類員工(工作3年以上的員工)的成績中各抽取15個，具體數(shù)據(jù)如下：A類成績：201022301512412231251226293233B類成績：214030414231495152434747324548(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩類員工成績的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩類員工成績的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可)；(2)研究發(fā)現(xiàn)從業(yè)時間與業(yè)務(wù)能力之間具有線性相關(guān)關(guān)系，從上述抽取的30名員工中抽取4名員工的成績?nèi)绫砀瘢簡T工工作時間x(單位：年)1234考核成績y10152030根據(jù)四個的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程．附：回歸直線＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x).【解析】(1)A類成績：20102230