第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|log2x<3}，B={x|x=3k?1,k∈N}，則A∩B=A.{?1,2,5,8} B.{?1,2,5} C.{2,5,8} D.{2,5}2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：z?(1+i)=i?3，則z的共軛復(fù)數(shù)是z?A.?1+2i B.1+2i C.?1?2i D.1?2i3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=8，A.34 B.35 C.36 D.384.已知a=(12)?12，b=loA.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)及圓O：x2+y2=a2A.33

B.12

C.6.已知m，n∈R，且有2m+2n=2A.6 B.7 C.8 D.97.若函數(shù)f(x)=x2?2ax+a+2,x≤1,x2a?6,x>1是RA.[1,3) B.(3,+∞) C.(1,2) D.[1,2]8.已知函數(shù)f(x)=sinx，若存在x1，x2，?，xm滿足0≤x1<x2A.5 B.6 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列結(jié)論正確的是(

)A.若a是無(wú)理數(shù)，b是有理數(shù)，則ab是無(wú)理數(shù)

B.若x>1，則x+9x?1≥7

C.若“?x∈[?1,2]，?x2+ax+3>0”是真命題，則12<a<2

D.10.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<π2)的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為π2A.φ=π6 B.點(diǎn)(?π12,0)是函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心

C.函數(shù)f(x)在(π6,π)11.某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列A={a1,a2,a3,?}重新編輯，編輯新序列為A?={a2a1,A.b5=16 B.b10=1024 C.三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。12.已知tanx=2，則2sin2x1+cos2x=13.在(3x?1x)n14.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，PD⊥底面ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若PD=3，∠APD=∠BAD=π3，則三棱錐P?AOD的外接球的體積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=b(3sinC+cosC)．

(1)求B；

(2)已知BC=23，D為邊AB上的一點(diǎn)，若BD=1，∠ACD=π16.(本小題15分)

如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=2,BC=3,AB=13，D為CC1上一點(diǎn)，且CD：C1D=4：9．

(1)證明：平面AB17.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x?2y=0，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；

(2)已知斜率為?12的直線l與雙曲線C交于x軸上方的A18.(本小題17分)

在”五四”來(lái)臨之際，某學(xué)校團(tuán)委組織以“春風(fēng)吹，青春?jiǎn)⒑健睘橹黝}的知識(shí)競(jìng)賽，比賽分初賽和決賽兩個(gè)階段，甲、乙兩人進(jìn)入決賽爭(zhēng)奪冠軍，決賽規(guī)則如下：每輪答題獲得1分，其概率為13，獲得2分，其概率為23.最多進(jìn)行20輪答題，某同學(xué)累計(jì)得分為20分時(shí)，比賽結(jié)束，該同學(xué)獲得冠軍，另一同學(xué)獲得亞軍．

(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪答題后，甲同學(xué)總分為Y，求Y的分布列及E(Y)；

(2)若累計(jì)得分為m的概率為Pm，(初始得分為0分，p0=1)

①求Pm?19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2+(a+1)x+1．

(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若a>0，且對(duì)任意x1，x2∈(0,+∞)，x參考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.A

6.B

7.D

8.B

9.BCD

10.AB

11.BC

12.213.135

14.36π

15.解：∵a=b(3sinC+cosC)，

∴sinA=sinB(3sinC+cosC)，

即sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC+sinBcosC，

所以cosBsinC=3sinBsinC，因?yàn)閟inC>0，

所以cosB=3sinB16.解：(1)證明：如圖，作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，EF/?/BB1交AB1于點(diǎn)F，連接DF，

因?yàn)锳C=2,BC=3,AB=13，

所以AC2+BC2=22+32=(13)2=AB2，所以AC⊥BC，

所以由等面積可得CE=AC?BCAB=2×313=61313，

由勾股定理得AE=AC2?CE2=22?(61313)2=41313，

所以EFBB1=AEAB=4131313=413=CDCC1，所以EF=CD，

又EF/?/BB1，CD//BB1，所以EF//CD，

所以四邊形EFDC是平行四邊形，所以DF/?/CE，

因?yàn)橹比庵矫鍭BC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1=AB，CE⊥AB，

所以CE⊥平面ABB1A1，

所以DF⊥平面ABB1A1，

又DF?平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AB17.解：(1)設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)F(c,0)，則F到直線x?2y=0的距離為1，

則|c|3=1，則c=3，

雙曲線漸近線的斜率k=ba=22，又a2+b2=3，

所以a=2，b=1，

所以雙曲線C的方程：x22?y2=1；

雙曲線的離心率e=ca=62；

(2)設(shè)直線l：y=?12x+t(t>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=?12x+tx22?y18.解：(1)設(shè)進(jìn)行完3輪答題時(shí)，得1分的次數(shù)為X，X～B(3,13)．

P(X=k)=C3k(13)k(23)3?k，k=0，1，2，3，

隨機(jī)變量Y表示甲同學(xué)的總分，其可能取值為3，4，5，6，

Y3456P1248E(Y)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；

(2)①當(dāng)m=1時(shí)，即累計(jì)得分為1分，是第一輪搶答得1分，P1=13，則P1?P0=13?1=?23，

累計(jì)得分為m分的情況分兩種：

(i)m=(m?2)+2，即累計(jì)得分為m?2分，又一輪搶答得2分，其概率為23Pm?2．

(ii)m=(m?1)+1，即累計(jì)得分為m?1分，又一輪搶答得1分，其概率為13Pm?1．

則Pm=23Pm?2+13Pm?1(m=2,3,?,19)，所以Pm19.解：(1)當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=?lnx+12x2+1．

則f′(x)=?1x+x.

令f′(x)>0，得?1x+x>0，即x2?1x>0，解得：x<0或x>1．

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)．

(2)由函數(shù)f(x)=alnx+12x2+(a+1)x+1．

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，

所以f′(x)=ax+x+a+1=x2+(a+1)x+ax=(x+1)(x+a)x