【公眾號：該學(xué)習(xí)了】1.2集合間的關(guān)系（精練）1．（2023·重慶）數(shù)集的非空真子集個數(shù)為（

）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】C【解析】因為集合中含有個元素，所以集合的非空真子集個數(shù)為.故選：C2．（2023·福建）集合，則的子集的個數(shù)為（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【解析】集合，,，故有個子集.故選：D．3．（2023安徽）設(shè)集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【解析】根據(jù)題意知，集合且，其非空真子集的個數(shù)為.故選：B4．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，又且,所以，故選：B5．（2022秋·高一課時練習(xí)）已知非空集合滿足:對任意，總有，且.若，則滿足條件的的個數(shù)是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【解析】當(dāng)中有元素時，，當(dāng)中有元素時，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時出現(xiàn)的集合，故滿足題意的集合有，共11個.故選：A.6．（2023春·湖南）已知集合M?{2，3，5}，且M中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合M共有（）A．5個 B．6個C．7個 D．8個【答案】B【解析】若M有一個元素，則；若M有兩個元素，則；若M有三個元素，則∴滿足題意的集合M的個數(shù)為6個.故選：B.7．（2023春·河北保定）已知集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，，又且，所以，即.故選：C8．（2023·陜西·）已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，且，所以.故選：B9．（2023春·北京海淀）集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為或，，當(dāng)時，此時，符合題意；當(dāng)時，若則，因為，所以，解得，又，所以，若則，因為，所以，解得，又，所以，綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C10．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)a組成的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，則有：或，解得：或或，∴實數(shù)a組成的集合為.故選：D.11．（2020秋·浙江溫州·高一?？计谥校┫铝屑鲜强占氖牵?/p>

）A．或 B．C． D．【答案】D【解析】A、B、C選項的集合中均含有元素，均不為空集；對D，因為，所以不存在實數(shù)，使得，所以.故選：D12．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）非空集合P滿足下列兩個條件：（1），（2）若元素，則，則集合P個數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題得,若元素，則,可以推導(dǎo)出集合中1,5要同時存在,2,4要同時存在,3可存在于中也可以不存在,故可以考慮集合等價于由元素,,組成的集合，又,故本題相當(dāng)于求集合的非空真子集個數(shù).即個.故選：C13．（2022秋·江西南昌）（多選）下列集合是空集的是（

）A．B．C．D．【答案】AB【解析】，無解，為空集，A符合題意；，，∴方程解為空集，B符合題意；由得，故C不符合題意；由得，即，故D不符合題意．故選：AB．14．（2022秋·安徽）（多選）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時，則或【答案】ABC【解析】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時，，解得或，故C正確.故選：ABC．15．（2023·四川宜賓）（多選）已知集合恰有4個子集，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】因為集合恰有4個子集，所以集合有2個元素，則有兩個不相等的實數(shù)解，則，解得.故選：ABC.16．（2022秋·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）（多選）若集合，，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由，解得或，故，因為，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，則或，所以或；綜上：或或，故ABC正確.故選：ABC.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若使成立的實數(shù)a的取值集合為M，則M的一個真子集可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題意集合，，因為，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，有，解得，故,則M的一個真子集可以是或，故選：BC.18．（2023·青海西寧）（多選）已知集合，集合，則集合可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因為集合，對于A：滿足，所以選項A符合題意；對于B：滿足，所以選項B符合題意；對于C：滿足，所以選項C符合題意；對于D：不是的真子集，故選項D不符合題意，故選：ABC.19．（2023·江蘇）設(shè)集合，且，則的值為________.【答案】或.【解析】由，可得或，解得或，當(dāng)時，，此時滿足，符合題意；當(dāng)時，，此時滿足，符合題意，所以實數(shù)的值為或.故答案為：或.20．（2023·江蘇）已知集合，且，則實數(shù)m的取值范圍是________.【答案】.【解析】由集合，若時，可得，此時滿足；若時，要是得到，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.21．（2023·廣東肇慶·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，若，則m的取值范圍為__________．【答案】【解析】∵，∴當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，解得，綜上所述，的取值范圍是．故答案為：.22．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)a的取值組成的集合是___________．【答案】【解析】集合，，當(dāng)，即時，顯然滿足條件；當(dāng)時，即，則，因為，所以或，即或，解得或，綜上，實數(shù)a的取值組成的集合是．故答案為：．23．（2023廣東）已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為___．【答案】．【解析】當(dāng)時，方程化為，解得，此時，滿足題意，當(dāng)時，要使，則，解得且，所以使的實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．24．（2023北京）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)或或.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的兩根為或，利用韋達(dá)定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以時，則，即，解得或；當(dāng)時，若B中僅有一個元素，則，即，解得，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，不滿足條件；若B中有兩個元素，則，利用韋達(dá)定理得到，，解得，滿足條件.綜上，實數(shù)a的取值范圍是或或.25．（2022秋·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】或.【解析】由，則.，為方程的解集.①若，則，或或，當(dāng)時有兩個相等實根，即不合題意，同理，當(dāng)時，符合題意；②若則，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或26．（2022秋·湖南）已知.(1)若是的子集，求實數(shù)的值；(2)若是的子集，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）解：由題得.若是的子集，則，所以.（2）解：若是的子集，則.①若為空集，則，解得；②若為單元素集合，則，解得.將代入方程，得，即，符合要求；③若為雙元素集合，，則.綜上所述，或.1．（2023·四川眉山·高一?？计谀┤艏?，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【解析】對于集合，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選：C.2．（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，，則這三個集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C3．（2023·寧夏石嘴山）已知集合，對它的非空子集，可將中的每一個元素都乘以再求和（如，可求得和為：），則對的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是（

）A．18 B．16 C．-18 D．-16【答案】D【解析】由已知，因為，那么每個元素在集合的所有非空子集分別出現(xiàn)個，則對于的所有非空子集執(zhí)行乘以再求和的操作，則這些數(shù)的總和為：.故選：D.4．（2023·云南）設(shè)集合，，，，其中a，，下列說法正確的是（

）A．對任意a，是的子集，對任意的b，不是的子集B．對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，對任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【解析】對于集合，可得當(dāng)，即，可得，即有，可得對任意a，是的子集；當(dāng)時，，，可得是的子集；當(dāng)時，，且，可得不是的子集；綜上有，對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故選：B.5．（2022秋·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，若，是的兩個非空子集，則所有滿足中的最大數(shù)小于中的最小數(shù)的集合對的個數(shù)為（

）A．47 B．48 C．49 D．50【答案】C【解析】P的所有子集個數(shù)為個，（1）中的最大數(shù)為1，則，故B只需不包含1即可，則B為的非空子集，即個，故的個數(shù)為15；（2）中的最大數(shù)為2，或，故B只需不包含1、2即可，則B為的非空子集，即個，故的個數(shù)為；（3）中的最大數(shù)為3，，故B只需不包含1、2、3即可，則B為的非空子集，即個，故的個數(shù)為；（4）中的最大數(shù)為4，則包含4，其余元素為的子集，即個，故B只需不包含1、2、3、4即可，則，故的個數(shù)為8；綜上，的個數(shù)為.故選：C6．（2023·江蘇蘇州）（多選）已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（

）A． B．C． D．且【答案】ACD【解析】對于選項A，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，所以選項A正確；對于選項B，方程，因式分解得，解得或，所以，不滿足，所以選項B錯誤；對于選項C，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，所以選項C正確；對于選項D，因為，所以是方程的解，所以方程變形為，因為，所以方程無解，所以方程有唯一解，所以，滿足，所以選項D正確；故選：ACD.7．（2022秋·高一單元測試）設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時（集合為單元素時和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個數(shù)為___________.【答案】【解析】集合中只有個奇數(shù)時，則集合的可能情況為：、、、、、，共種，若集合中只有個奇數(shù)時，則集合，只有一種情況，若集合中只含個偶數(shù)，共種情況；若集合中只含個偶數(shù)，則集合可能的情況為、、，共種情況；若集合中只含個偶數(shù)，則集合，只有種情況.因為是的偶子集，分以下幾種情況討論：若集合中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合的個數(shù)為；若集合中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，共種；若集合中的元素是個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種.綜上所述，滿足條件的集合的個數(shù)為.故答案為：.8．（2022秋·高一課時練習(xí)）已知集合.(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；(2)集合,證明：B是A的真子集.【答案】(1)，，.(2)證明見解析【解析】（1）∵，，∴，，假設(shè)，m，，則，且，∵，或，顯然均無整數(shù)解，∴，∴，，.（2）∵集合，則恒有，∴，∴即一切奇數(shù)都屬于A，故B是A的子集.又∵，，所以B是A的真子集.9．（2023北京西城）設(shè)集合，若X是的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為的奇（偶）子集.(1)寫出的所有子集?所有偶子集：(2)寫出的所有奇子集；(3)求證：的奇子集與偶子集個數(shù)相等.【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【解析】（1），則的所有子集為：、、、、、、、;的所有偶子集為：、、、;（2）由題意可知,當(dāng)時,,的容量為奇數(shù),則為的奇子集,.所有的奇子集應(yīng)為為、、、、、、、.（3）對于的每個奇子集,當(dāng)時,取,當(dāng)時,取,則為的偶子集.反之，若為的偶子集,當(dāng)時,取,當(dāng)時,取,則為的奇子集.的奇子集與偶子集之間建立了一個一一對應(yīng)關(guān)系所以的奇子集與偶子集的個數(shù)相等.10．（2023·山西）設(shè)A是正實數(shù)集的非空子集，稱集合為集合A的孿生集．(1)當(dāng)時，寫出集合A的孿生集B；(2)若A是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其