專題6全等三角形與三條線段的和差問題（原卷版）類型一a＝b＋c或a＝b－c類型解決策略一等量代換名師點(diǎn)金：通過圖中線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題．模型一旋轉(zhuǎn)型全等1．（2021秋?臨沂期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直線于點(diǎn)E，交直線AC于F．（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，如圖，試探索AB、FA和BD之間的等量關(guān)系，并說明理由；（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)選擇一種情況，畫出圖形，寫出AB、FA和BD之間的等量關(guān)系，并說明理由．模型二一線三垂直模型2．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是過點(diǎn)A的一條直線，BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D、E．（1）如圖①，求證：DE＝BD+CE；（2）若直線l繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整，寫出BD、CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

模型三一線三等角（不為直角）模型3．（2023春?惠民縣期末）如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝α．?（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，α＝90°，證明BE＝CF．②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，α＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡(jiǎn)述理由．

解決策略二截長(zhǎng)補(bǔ)短法名師點(diǎn)金：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段；或者將短線段直接延長(zhǎng)至等于長(zhǎng)線段。無論截長(zhǎng)還是補(bǔ)短都需要將幾條線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過兩對(duì)全等實(shí)現(xiàn)。模型一角平分線與線段和差方法1根據(jù)角平分線作對(duì)稱性全等4．已知，如圖，BD是△ABC的角平分線，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，請(qǐng)你猜想∠A的度數(shù)，并證明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度數(shù)？（3）若∠A＝100°，求證：BC＝BD+DA．5．（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的∠B和∠C的平分線BD，CE相交于點(diǎn)F，∠A＝60°，（1）求∠BFC的度數(shù)．（2）求證：BC＝BE+CD．

6．（2023春?達(dá)川區(qū)期末）如圖，在△ABC和△BCD中，AC＝CD，∠BAC+∠BDC＝180°，在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE＝AB，連接CE．（1）試說明：∠ABC＝∠DBC；（2）連接AD交BC于點(diǎn)F，若∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，試說明：BD＝AB+AF．方法2根據(jù)平分平行出等腰（知二推三）7．（2022秋?建昌縣期末）如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，求證：AD+BC＝AB．

模型二倍半角與線段和差8．（2023春?扶風(fēng)縣期末）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：

模型三手拉手模型與線段和差9．（2023春?榮成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點(diǎn)作互相平行的直線AM，BN，過點(diǎn)C的直線分別交直線AM，BN于點(diǎn)D，E．（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關(guān)系，并說明理由．模型四倍長(zhǎng)中線模型與線段和差10．（2022秋?葫蘆島期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)．（1）如圖1，連接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求證：BD+CF＝AB．

模型五根據(jù)一邊一角相等構(gòu)造全等11．（2022秋?青神縣期末）如圖，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在射線AC上，連結(jié)AD，若AD＝AB．求證：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．類型二2a＝b＋c或2a＝b－c類型12．（2023春?北林區(qū)期末）如圖，已知DE⊥AE，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，BD＝CD，BE＝CF．（1）證明：AD平分∠BAC；（2）證明：AB+AC＝2AE．

13．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且∠B＝∠ADB，過點(diǎn)C作CM垂直于AD的延長(zhǎng)線，垂足為M．（1）若∠DCM＝α，試用α表示∠BAD；（2）求證：AB+AC＝2AM．14．（2023春?漳州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，連接AE，BD交于點(diǎn)F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．（1）說明：∠EAC＝∠ABD；（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面積；（3）判斷EF，BF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．

專題6全等三角形與三條線段的和差問題（解析版）類型一a＝b＋c或a＝b－c類型解決策略一等量代換名師點(diǎn)金：通過圖中線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題．模型一旋轉(zhuǎn)型全等1．（2021秋?臨沂期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直線于點(diǎn)E，交直線AC于F．（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，如圖，試探索AB、FA和BD之間的等量關(guān)系，并說明理由；（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)選擇一種情況，畫出圖形，寫出AB、FA和BD之間的等量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）證到△FAB≌△DAC，得FA＝DA，即可得出AB＝AD+BD＝FA+BD．（2）畫出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題．【解答】解：（1）AB＝FA+BD，理由如下：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BAC，∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°，∴∠FBA＝∠FCE，∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∴∠FAB＝∠DAC，在△FAB和△DAC中，∠FAB=∠DACAB=AC∴△FAB≌△DAC（ASA），∴FA＝DA，∴AB＝AD+BD＝FA+BD，（2）解：點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB＝AF﹣BD；點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，AB＝BD﹣AF．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．同（1）得：△FAB≌△DAC（ASA），∴FA＝DA．∴AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD；②點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3．同（1）得：△FAB≌△DAC（ASA），∴FA＝DA，∴AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，當(dāng)條件沒有改變僅僅是圖形的位置發(fā)生變化時(shí)，常?？梢酝ㄟ^借鑒已有的解題經(jīng)驗(yàn)來解決問題．模型二一線三垂直模型2．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是過點(diǎn)A的一條直線，BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D、E．（1）如圖①，求證：DE＝BD+CE；（2）若直線l繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整，寫出BD、CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用已知得出∠CAE＝∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE＝BD+CE；（2）利用已知得出∠CAE＝∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出BD、CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】證明：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°又∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE(已證)∠ADB=∠CEA=90°(已證)∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AD+AE，∴DE＝CE+BD；（2）如圖②所示：結(jié)論：DE＝CE﹣BD．理由：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°∵∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE(已證)∠ADB=∠CEA=90°(已證)∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AD﹣AE，∴DE＝CE﹣BD．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABD≌△CAE是解題關(guān)鍵．模型三一線三等角（不為直角）模型3．（2023春?惠民縣期末）如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝α．?（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，α＝90°，證明BE＝CF．②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，α＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡(jiǎn)述理由．【分析】（1）①由∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，可得∠BCE＝∠CAF，從而可證△BCE≌△CAF，故BE＝CF；②添加α+∠BCA＝180°，可證明∠BCA＝∠BEF，則∠ACF＝∠CBE，根據(jù)AAS可證明△BCE≌△CAF，即可得證①中的結(jié)論仍然成立；（2）題干已知條件可證△BCE≌△CAF，故BE＝CF，EC＝FA，從而可證明EF＝BE+AF．【解答】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，∵AC＝BC，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF；②解：添加α+∠BCA＝180°，使①中的結(jié)論仍然成立，理由如下：∵∠BEC＝∠CFA＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α，∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α，∵α+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣α，∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α，∴∠EBC＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠CBE=∠ACF∠BEC=∠CFA∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF；（2）解：EF＝BE+AF，理由如下：∵∠BCA＝α，∴∠BCE+∠FCA＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α，∵∠BEC＝α，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α，∴∠EBC＝∠FCA，在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠FCA∠BEC=∠CFA∴△BEC≌△CFA（AAS），∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．解決策略二截長(zhǎng)補(bǔ)短法名師點(diǎn)金：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段；或者將短線段直接延長(zhǎng)至等于長(zhǎng)線段。無論截長(zhǎng)還是補(bǔ)短都需要將幾條線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過兩對(duì)全等實(shí)現(xiàn)。模型一角平分線與線段和差方法1根據(jù)角平分線作對(duì)稱性全等4．已知，如圖，BD是△ABC的角平分線，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，請(qǐng)你猜想∠A的度數(shù)，并證明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度數(shù)？（3）若∠A＝100°，求證：BC＝BD+DA．【分析】（1）在BC上截取BE＝BA，連接DE，證△ABD≌△EBD，推出AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB，證出∠A＝2∠C，因?yàn)椤螩＝∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）在BC上截取CF＝CD，連接DF，證△ABD≌△FBD，推出∠A＝∠DFB，推出2∠A﹣∠C＝180°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A+2∠C＝180°，解方程組即可求出答案；（3）BC上截取BQ＝BD，連接DQ，延長(zhǎng)BA到W使BW＝BQ，連接DW，求出CQ＝DQ，證△WBD≌△CBD，推出∠W＝∠DQB，證AD＝DW，即可推出答案．【解答】解：（1）答：∠A＝90°．理由如下：在BC上截取BE＝BA，連接DE．∵BC＝AB+AD，∴CE＝AD，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠EBD，∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB，∴∠C＝∠EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠C+∠EDC＝2∠C，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴4∠C＝180°，∴∠C＝45°，∠A＝2∠C＝90°，即∠A＝90°；（2）解：在BC上截取CF＝CD，連接DF．∵BC＝BA+CD，∴BF＝BA，∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD，∴∠A＝∠DFB，∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD，∴∠C+2∠DFC＝180°，∵∠A+∠DFC＝180°，∴2∠A﹣∠C＝180°，∵∠A+2∠C＝180°，解得：∠A＝108°，答：∠A的度數(shù)是108°．（3）證明：在BC上截取BQ＝BD，連接DQ，延長(zhǎng)BA到W使BW＝BQ，連接DW．∵∠A＝100°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBQ＝20°，∵BD＝BQ，∴∠DQB＝∠BDQ=12（180°﹣∠∴∠CDQ＝∠DQB﹣∠C＝40°＝∠C，∴DQ＝CQ，∵在△WBD和△QBD中BW=BQ∠WBD=∠QBD∴△WBD≌△QBD，∴∠W＝∠DQB＝80°，DW＝DQ＝CQ，∵∠BAC＝100°，∴∠WAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，即∠WAD＝∠W，∴AD＝DW＝DQ＝CQ，∴BC＝BD+DA．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的∠B和∠C的平分線BD，CE相交于點(diǎn)F，∠A＝60°，（1）求∠BFC的度數(shù)．（2）求證：BC＝BE+CD．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠FBC+∠FCB，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解．（2）在BC上取一點(diǎn)O使得BO＝BE，易證∠BFE＝∠CFD＝60°，即可證明△BFE≌△BFO，可得∠BFO＝∠BFE＝60°，即可證明△OCF≌△DCF，可得CO＝CD，根據(jù)BC＝BO+OC即可證明．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=1∴∠FBC+∠FCB=12（∠ABC+∠ACB）在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．（2）證明：在BC上取一點(diǎn)O，使得BO＝BE，∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BFC＝120°，∴∠BFE＝∠CFD＝60°，在△BFE和△BFO中，BF=BF∠FBE=∠FBO∴△BFE≌△BFO，（SAS）∴∠BFO＝∠BFE＝60°，∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，在△OCF和△DCF中，∠CFO=∠CFD=60°CF=CF∴△OCF≌△DCF（ASA），∴CO＝CD，∵BC＝BO+CO，∴BC＝BE+CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2023春?達(dá)川區(qū)期末）如圖，在△ABC和△BCD中，AC＝CD，∠BAC+∠BDC＝180°，在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE＝AB，連接CE．（1）試說明：∠ABC＝∠DBC；（2）連接AD交BC于點(diǎn)F，若∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，試說明：BD＝AB+AF．【分析】（1）由“SAS”可證△BAC≌△EDC，可得∠ABC＝∠CEB，BC＝CE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠CEB＝∠CBE；（2）由“SAS”可證△ABF≌△HBF，可得∠BAD＝∠BHF＝80°，AF＝FH，可證FH＝DH，即可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠CDE+∠BDC＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，在△BAC和△EDC中，AC=CD∠BAC=∠CDE∴△BAC≌△EDC（SAS），∴∠ABC＝∠CEB，BC＝CE，∴∠CEB＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBC；（2）如圖，在BD上截取BH＝AB，連接FH，∵∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，∴∠BAD＝80°，在△ABF和△HBF中，AB=BH∠ABF=∠HBF∴△ABF≌△HBF（SAS），∴∠BAD＝∠BHF＝80°，AF＝FH，∵∠BHF＝∠ADB+∠DFH，∴∠DFH＝40°＝∠ADB，∴DH＝FH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AB+AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．方法2根據(jù)平分平行出等腰（知二推三）7．（2022秋?建昌縣期末）如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，求證：AD+BC＝AB．【分析】延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，根據(jù)AAS證明△ADE與△FCE全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，∴ED＝CE，在△ADE與△FCE中，∠DAE=∠CFE∠AED=∠FEC∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠F，∴∠BAF＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明△ADE≌△FCE．模型二倍半角與線段和差8．（2023春?扶風(fēng)縣期末）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：EF＝BE+FD（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解題；（2）如圖2，同理可得：EF＝BE+DF；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結(jié)論：EF＝BE﹣DF．【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF=90°∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3=12∠BAD＝∠∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易證△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如圖2，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3=12∠BAD＝∠∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（3）當(dāng)（1）結(jié)論EF＝BE+FD成立，當(dāng)圖三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．同理可得：∴EG＝EF∵EG＝BG﹣BE∴EF＝FD﹣BE．故答案為：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AF＝AG是解題關(guān)鍵，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出EF＝EG，本題的4個(gè)問題運(yùn)用了類比的方法依次解決問題．模型三手拉手模型與線段和差9．（2023春?榮成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點(diǎn)作互相平行的直線AM，BN，過點(diǎn)C的直線分別交直線AM，BN于點(diǎn)D，E．（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）延長(zhǎng)AC交BN于點(diǎn)F，證明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出結(jié)論；（2）在EB上截取EH＝EC，連接CH，證明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)AC交BN于點(diǎn)F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，∠DAC=∠EFCAC=FC∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：如圖2，在EB上截取EH＝EC，連接CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等邊三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC與△HCB中，∠DAC=∠HCB∠ADC=∠CHB∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．模型四倍長(zhǎng)中線模型與線段和差10．（2022秋?葫蘆島期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)．（1）如圖1，連接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求證：BD+CF＝AB．【分析】（1）利用三角形面積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得：S△AEC＝6，再利用三角形面積公式可求得AB＝6；（2）通過倍延中線構(gòu)造全等三角形的方法，延長(zhǎng)BE至G，使EG＝BE，連接CG，則△BED≌△GEC（SAS），再證明：△ABF≌△GBC（AAS）即可．【解答】（1）解：∵AD＝2BD，S△BDC＝6，∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，∵E為CD中點(diǎn)，∴S△ACE=12S△∵EH⊥AC，∴12AC?EH∵EH＝2∴AC＝6∵AB＝AC∴AB＝6（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)BE至G，使EG＝BE，連接CG，在△BED和△GEC中，BE=EG∠BED=∠GEC∴△BED≌△GEC（SAS），∴BD＝CG，∠ABE＝∠G，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB，∵∠BAC＝∠CBF，∴∠ABF+∠BAC＝∠ACB，∵∠BFC＝∠ABF+∠BAC，∴∠BFC＝∠ACB，∴BF＝BC，∵∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，∴∠BAC＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF，∴∠ABF＝∠GBC，在△ABF和△GBC中，∠BAC=∠G∠ABF=∠GBC∴△ABF≌△GBC（AAS），∴AF＝CG，又∵BD＝CG，∴AF＝BD，∵AF+CF＝AC，AB＝AC，∴BD+CF＝AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，等腰三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是倍延中線構(gòu)造全等三角形．模型五根據(jù)一邊一角相等構(gòu)造全等11．（2022秋?青神縣期末）如圖，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在射線AC上，連結(jié)AD，若AD＝AB．求證：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）在FA上截取FM＝AE，連接DM，利用SAS證明△AED≌△MFD，得DA＝DM，再利用SAS證明△ABC≌△DAM，得AM＝BC，從而證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，∠BAC+∠ANE+∠AED＝∠DNF+∠EDF+∠AFD＝180°，∴∠AED＝∠AFD；（2）如圖，在FA上截取FM＝AE，連接DM，在△AED與△MFD中，AE=MF∠AED=∠MFD∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，∴∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC與△DAM中，AB=DA∠BAC=∠ADM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF，∴AF＝AE+BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．類型二2a＝b＋c或2a＝b－c類型12．（2023春?北林區(qū)期末）如圖，已知DE⊥AE，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，BD＝CD，BE＝CF．（1）證明：AD平分∠BAC；（2）證明：AB+AC＝2AE．【分析】（1）根據(jù)HL定理求出Rt△BED≌Rt△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE＝DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等得出AE＝AF，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）證明：∵∠E＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵BE＝CF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE﹣CF+AE+CF＝2AE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．13．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且∠B＝∠ADB，過點(diǎn)C作CM垂直于AD的延長(zhǎng)線，垂足為M．（1）若∠DCM＝α，試用α表示∠BAD；（2）求證：AB+AC＝2AM．【分析】（1）由CM⊥AD，可得∠CMD＝90°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可得出答案；（2）如圖，延長(zhǎng)AM至E，使ME＝AM，則AE＝2AM，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：CE＝AC，再由AD平分∠BAC，可得出∠E＝∠BAD