數(shù)列第六章第四節(jié)數(shù)列求和考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)數(shù)列求和

2017·全國(guó)卷Ⅰ·T12·5分等比數(shù)列求和，不等式的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2016·全國(guó)卷Ⅱ·T17·12分?jǐn)?shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和

2015·全國(guó)卷Ⅱ·T16·5分等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算2015·全國(guó)卷Ⅰ·T17·12分等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和命題分析本節(jié)內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法求和為考查重點(diǎn)，常與函數(shù)、方程、不等式等聯(lián)系綜合考查，多以解答題形式出現(xiàn).02課堂·考點(diǎn)突破03課后·高效演練欄目導(dǎo)航01課前·回顧教材01課前·回顧教材4．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解．5．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.提醒：辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)．(2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√2．(教材習(xí)題改編)一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是(

)A．100＋200×(1－2－9)

B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)A

3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_________.答案：2n＋1＋n2－24．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝___________________.答案：(n－1)2n＋1＋202課堂·考點(diǎn)突破分組轉(zhuǎn)化法求和[提能力]【典例】

(2018·唐山檢測(cè))已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．[刷好題]已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N＋)，bn＝an－3n(n∈N＋)．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.[明技法]錯(cuò)位相減法求和策略(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．錯(cuò)位相減法求和[提能力]【典例】

(2018·太原模擬)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝anbn，n∈N＋，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述兩式相減，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N＋.[刷好題](2018·漳州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.裂項(xiàng)相消法求和[析考情]裂項(xiàng)法求和在高考中經(jīng)常考查，多以解答題的形式考查，并且往往出現(xiàn)在第二問(wèn)，難度屬中低檔．(1)解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.又a1＝2也滿足上式，綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.[悟技法]利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)(1)裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)