第2課時(shí)直角三角形的兩個(gè)銳角互余教學(xué)目標(biāo)課題11.2.1第2課時(shí)直角三角形的兩個(gè)銳角互余授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余，感受從特殊到一般的思想.2.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形的判定方法，發(fā)展學(xué)生的推理能力.教學(xué)重點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)與判定．教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行計(jì)算或推理.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：結(jié)合實(shí)際，問題導(dǎo)入設(shè)計(jì)意圖結(jié)合常見的直角三角板，并提出疑問為導(dǎo)入新課做鋪墊.【情境引入】如圖所示是我們常用的一副直角三角板，量一量自己手上的這兩個(gè)三角板，它們兩銳角的度數(shù)之和分別是多少？它們兩銳角的度數(shù)之和都是90°.對于任意直角三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？讓我們在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中找尋答案吧！【教學(xué)建議】直角三角板是具有特殊角度的直角三角形，又是常見的學(xué)習(xí)用具，據(jù)此進(jìn)行抽象概括，學(xué)生能夠更直觀地了解，再進(jìn)一步延伸到任意的直角三角形.活動二：動手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖探索直角三角形中兩個(gè)銳角的關(guān)系，總結(jié)出直角三角形的性質(zhì)并利用其解題.探究點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)現(xiàn)在我們來探究活動一中的問題：(1)測量角度：在紙上任意畫幾個(gè)直角三角形，用量角器分別測量各個(gè)直角三角形兩銳角的度數(shù).(2)猜想結(jié)論：將測量的每個(gè)直角三角形兩銳角的度數(shù)相加，發(fā)現(xiàn)：兩銳角的度數(shù)之和為90°.(3)拼合驗(yàn)證：把直角三角形的兩個(gè)銳角剪下，拼合在一起，再用量角器測量，均構(gòu)成直角.(4)演繹推理：如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.(5)得到結(jié)論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.注意“Rt△”后必須緊跟直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)字母，不能單獨(dú)使用．如“直角三角形的邊”不能寫成“Rt△的邊”.例1(教材P14例3)如圖，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P14練習(xí)第1題.【教學(xué)建議】結(jié)合三角形內(nèi)角和定理的探索步驟，設(shè)計(jì)幾個(gè)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，交流合作．由于測量存在誤差，兩次測量得到的銳角之和可能在90°附近，故先進(jìn)行拼合減小這種誤差使測量結(jié)果盡可能接近90°，讓學(xué)生有一個(gè)感性認(rèn)識，再經(jīng)過嚴(yán)密推理證明，這是一個(gè)完整的閉環(huán)．注意在掌握本性質(zhì)之后，在直角三角形中求角度時(shí)可適當(dāng)簡化過程，不必通過三角形內(nèi)角和定理.教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖引入直角三角形的判定方法，使學(xué)生經(jīng)歷“提出問題”——“猜想結(jié)論”——“推理驗(yàn)證”的過程，并輔以例題引導(dǎo)學(xué)生掌握.探究點(diǎn)2直角三角形的判定思考我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？請你說說理由.是直角三角形.理由如下：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可知∠A+∠B+∠C=180°，于是得∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形.得到結(jié)論：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.例2如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠DEC=90°.∴∠C+∠D=90°.又∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°.∴△ABD是直角三角形.歸納總結(jié)：【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P14練習(xí)第2題.【教學(xué)建議】學(xué)生獨(dú)立思考，動手畫圖，強(qiáng)化學(xué)生理解，使學(xué)生感知性質(zhì)與判定的互逆關(guān)系，這里只需要有一個(gè)感性認(rèn)識即可.另外要注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)證明的嚴(yán)密性，如在沒有證明三角形是直角三角形之前,不能給三角形標(biāo)注直角符號.活動三：綜合練習(xí)，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖將直角三角形的性質(zhì)與判定綜合出題，強(qiáng)化鍛煉學(xué)生的解題能力.例如圖，AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EP平分∠AEF，F(xiàn)P平分∠EFC.(1)求證：△EPF是直角三角形；(2)若∠PEF＝30°，求∠PFC的度數(shù).(1)證明：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠EFC＝180°.又EP平分∠AEF，F(xiàn)P平分∠EFC，∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠AEF＋∠EFC)＝12×180°＝90°.∴△EPF是直角三角形.(2)解：∵△EPF是直角三角形，∠EPF＝90°，∠PEF＝30°，∴∠PFE＝90°-30°＝60°.又FP平分∠EFC，∴∠PFC＝∠PFE=60°.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=62°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ADF=74°.（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）求證：△ADF是直角三角形.（1）解：由三角形內(nèi)角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=88°.【教學(xué)建議】學(xué)生交流作答，教師根據(jù)學(xué)生做題情況予以指導(dǎo)、訂正.此類題綜合性較強(qiáng)，在解題時(shí)常需把條件集中于某個(gè)三角形.某些特定情形還可能需要利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化等角，方法常通過對頂角相等，利用平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等或同位角相等，等（同）角的余（補(bǔ)）角相等來實(shí)現(xiàn).教學(xué)步驟師生活動∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=44°.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=28°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=44°-28°=16°.（2）證明：由（1）知∠DAE=16°，又∠ADF=74°，∴∠DAE+∠ADF=90°，∴△ADF是直角三角形.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.你能利用三角形內(nèi)角和定理證明直角三角形的兩個(gè)銳角互余嗎？你能利用這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行直角三角形中的相關(guān)計(jì)算嗎？2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？你能給出證明嗎？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P16～17習(xí)題11.2第4，10題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)第2課時(shí)直角三角形的兩個(gè)銳角互余1.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余. 2.直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．教學(xué)反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)是建立在三角形內(nèi)角和定理基礎(chǔ)之上的，所以仿照三角形內(nèi)角和定理的探索過程導(dǎo)入新課，學(xué)習(xí)直角三角形的性質(zhì)和判定，起點(diǎn)較低，順暢自然，適合絕大多數(shù)學(xué)生．在學(xué)習(xí)直角三角形的性質(zhì)時(shí)，也可考慮采用幾何畫板演示作圖，這樣更形象直觀．例題與練習(xí)都強(qiáng)化了重點(diǎn)知識的學(xué)習(xí)，突出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征.解題大招一利用直角三角形的性質(zhì)求角度的方法遇到在三角形中求角的度數(shù)相關(guān)問題時(shí)，若條件中存在垂直關(guān)系或直角，首先想到利用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”解題．某些特定情況下需要作輔助線構(gòu)建直角三角形，一般采用作垂線的方法，也可能涉及三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)從而得到垂直條件．例1(1)把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡單的測角儀，如圖所示，細(xì)線與BC邊重合，則∠A的度數(shù)（B）A．30°B．40°C．50°D．75°(2)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，則∠B的度數(shù)為（C）A．55°B．45°C．35°D．25°例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)H，則∠CHD＝45°.分析：解題大招二直角三角形的判定的應(yīng)用例3下列條件中不能判定△ABC為直角三角形的是（C）A．∠A＝90°－∠CB．∠A＝∠B－∠CC．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A＝∠B＝eq\f(1,2)∠C解析：培優(yōu)點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用例如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD，BE相交于點(diǎn)F.(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；(2)∠AEF與∠AFE有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．分析：(1)根據(jù)同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；(2)根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)說明結(jié)論．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD