高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王曉與 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識(shí)圖譜圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)精講旋轉(zhuǎn)的基本知識(shí)旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．旋轉(zhuǎn)的相關(guān)計(jì)算與證明旋轉(zhuǎn)過程中的角度和線段計(jì)算問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等的，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角來求解角度和線段長度．旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑長度一般是一段弧的長度，面積一般是一個(gè)扇形的面積，所以解決問題的關(guān)鍵是找到路徑所在圓或面積所在扇形的圓心，半徑和圓心角，然后利用弧長公式或扇形面積公式來求解．旋轉(zhuǎn)與全等三角形綜合“半角”旋轉(zhuǎn)模型，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也會(huì)有涉及． 已知,；可將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合．旋轉(zhuǎn)中的最值問題解決此類問題要從分析旋轉(zhuǎn)過程中相關(guān)量之間的關(guān)系入手，嘗試在變換中尋求不變的關(guān)系，并借助“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”尋找線段長度取得最值時(shí)的特殊位置，最后利用勾股定理等知識(shí)求得線段的長度．旋轉(zhuǎn)與相似三角形綜合方法點(diǎn)撥1．在幾何綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇見求解線段長度、角的度數(shù)或者是圖形的面積問題，求解的過程除了直接利用幾何圖形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行求解外，有時(shí)候還需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形，產(chǎn)生新的圖形進(jìn)行邊和角的等量代換，并最終求出結(jié)果．2．構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形求線段長度主要是讓所求線段在一個(gè)特殊的三角形中或者是直接通過等量代換找到與所求線段長相等的線段，最后利用相關(guān)知識(shí)求解．3．構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形求解角的度數(shù)或者是圖形的面積主要是通過等量代換或者產(chǎn)生特殊角或特殊圖形，然后再計(jì)算相應(yīng)的角的度數(shù)或者圖形的面積．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的基本知識(shí)，與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的證明與計(jì)算，旋轉(zhuǎn)與全等三角形綜合，旋轉(zhuǎn)中的最值問題，旋轉(zhuǎn)與相似三角形結(jié)合．二．重難點(diǎn)：動(dòng)態(tài)問題一定要分析清楚運(yùn)動(dòng)的每個(gè)階段點(diǎn)的軌跡或者是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算出每一階段的路徑長度或掃過的面積，再按照題目要求求出最終結(jié)果．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．研究旋轉(zhuǎn)問題應(yīng)把握兩個(gè)元素：旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角．2．每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．旋轉(zhuǎn)的基本知識(shí)例題例題1、不等式組的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.例題2、解不等式．例題3、以下圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等腰梯形B.平行四邊形C.矩形D.等邊三角形例題4、如圖，它可以看作“”通過連續(xù)平移3次得到的，看作“”繞中心旋轉(zhuǎn)次，每次旋轉(zhuǎn)度得到的．例題5、如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，-1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A.（-a，-b）B.（-a．-b-1）C.（-a，-b+1）D.（-a，-b-2）隨練隨練1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____________．與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的計(jì)算與證明例題例題1、試確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解．例題2、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為（）A.B.C.D.π例題3、如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，連接A′C，則A′C的長為______________．隨練隨練1、解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來．旋轉(zhuǎn)與全等三角形綜合例題例題1、通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線．根據(jù)____，易證△AFG≌____，得EF=BE+DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系____時(shí)，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．隨練旋轉(zhuǎn)中的最值問題例題例題1、如圖①，已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接、．（1）試猜想線段和的關(guān)系（位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系），請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論．（2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．若，正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度（），當(dāng)為最大值時(shí)，求的值．隨練旋轉(zhuǎn)與相似三角形綜合例題例題1、如圖，和都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連結(jié)BD，BE，CE，延長CE交AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）若是邊長可變化的等腰直角三角形，并將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使CE的延長線始終與線段BD（包括端點(diǎn)B、D）相交．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求出的值．AABCDEFG隨練隨練1、如圖，在方格紙中，△ABC經(jīng)過變換得到△DEF，正確的變換是____A.把△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移2格B.把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移5格C.把△ABC向下平移4格，再繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°D.把△ABC向下平移5格，再繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°隨練2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AB1C1，如圖所示，則點(diǎn)B所走過的路徑長為（）A.5cmB.πcmC.πcmD.5πcm隨練3、如圖，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把該矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得矩形AB′C′D′，點(diǎn)C′落在AB的延長線上，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.隨練4、在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長；

（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答：的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．隨練5、如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，，．△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K．（1）觀察：①如圖2、圖3，當(dāng)或60°時(shí)，_______MK（填“”，“”或“”）．②如圖4，當(dāng)時(shí)，_______MK（只填“”或“”）．（2）猜想：如圖1，當(dāng)時(shí)，_______MK，證明你所得到的結(jié)論．（3）如果，請(qǐng)直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值．DBDBCAFEMK圖1DBCA(F,K)EM圖2DBDBCAFEK圖3(M)DBCAFEMK圖4隨練6、如圖1，點(diǎn)為正方形的中心．（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，，，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖1；（2）根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜想并證明與的關(guān)系；（3）如圖2，點(diǎn)是中點(diǎn)，△是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，，，，△繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的最大值．圖圖1圖2隨練7、在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．隨練8、如圖，點(diǎn)O是邊長為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)，（1）將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD，如圖2所示．求證：．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，連結(jié)DE，如圖3所示．求證：（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上．并直接寫出的最小值．隨練9、將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．（1）如圖①，對(duì)△ABC作變換[60°，]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=____；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為____度；（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．拓展拓展1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線經(jīng)過點(diǎn)A，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.拓展2、有一種幾何圖形，它繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不論旋轉(zhuǎn)多少角度，所得到的圖形都與原來的圖形完全重合，這種幾何圖形是（）A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.圓拓展3、下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°能與自身重合的有（）①正方形；②長方形；③等邊三角形；④線段；⑤角；⑥平行四邊形．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)拓展4、解不等式．拓展5、如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是（）A.πB.13πC.25πD.25拓展6、如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2）、B（1，3）．△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．（直接填寫答案）（1）點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為____；（2）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為____；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BB1，那么弧BB1的長為____．拓展7、(2013初二下期末清華大學(xué)附屬中學(xué))如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．設(shè)AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，AC＝2，連接EP，當(dāng)θ=_________°時(shí)，EP長度最大，最大值為___________．拓展8、如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為____A.（3，）B.（3，-）C.（，）D.（，-）拓展9、已知：等邊中，點(diǎn)O是邊AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M、N分別在直線AC、BC上，且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系．拓展10、如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)H．①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=2，AD=3時(shí)，求線段DH的長．拓展11、已知正方形ABCD的邊長為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．拓展12、如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點(diǎn)O與邊AB的中點(diǎn)重合，OD交BC于點(diǎn)F，OE經(jīng)過點(diǎn)C，且∠DOE=∠B．（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長；（2）將扇形紙片DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE與邊AC分別交于點(diǎn)M，N（如圖2），當(dāng)CM的長是多少時(shí)，△OMN與△BCO相似？拓展13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．（1）如圖1，線段OM的長度為________________；（2）如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ACB，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D、E分別在