第10講拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）知識點01：用向量法求空間距離1、點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.題型01利用向量法求點到直線的距離【典例1】（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)滿足，，則點E到直線的距離為（

）A． B．C． D．【典例2】（2324高二下·北京·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2324高二上·安徽亳州·期末）如圖，在三棱柱中，所有棱長都為2，且，平面平面，點為的中點，點為的中點．(1)點到直線的距離；(2)求點到平面的距離．【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線經(jīng)過，兩點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二上·貴州畢節(jié)·期末）在空間直角坐標系中，已知三點，則點到直線的距離為.【變式3】（2324高二上·廣東韶關(guān)·階段練習）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.(1)求二面角的正弦值；(2)求點到直線的距離；題型02點到平面的距離等體積法【典例1】（2324高一下·天津武清·階段練習）如圖，若正三棱柱的底面邊長為，對角線的長為，點為的中點，則點到平面的距離為．【典例2】（2324高二下·江蘇南通·階段練習）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，D是的中點，與交于點，且平面.若，則三棱柱的高為.【典例3】（2024·廣東·二模）將一個直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點到平面的距離的最大值為.【變式1】（2024高一下·全國·專題練習）已知正方體的棱長為1，點O在線段上且，則點O到平面的距離是.【變式2】（2324高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，動點P在棱上，則點P到平面的距離為.【變式3】（2324高二上·上海松江·階段練習）在直三棱柱中，，則點B到平面的距離為.題型03點到平面的距離的向量法【典例1】（廣西貴百河20232024學年高一下學期5月新高考月考測試數(shù)學試卷）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點，是邊長為2的等邊三角形，．(1)證明：；(2)求點到平面的距離．【典例2】（2324高二下·甘肅武威·期中）如圖，在直三棱柱中，為的中點，點分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【典例3】（2024·吉林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.(1)證明：平面平面；(2)若點為的中點，求直線到平面的距離.【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.【變式2】（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為，的中點，點G在棱上，，直線與平面相交于點H.(1)從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①；②直線，，相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.(2)求點A到平面的距離.【變式3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點到底面的距離為．(1)若是的中點，求證：平面；(2)若，求點到平面的距離．題型04點到平面的距離的探索性問題【典例1】（2324高二上·浙江寧波·期末）已知四棱錐的底面為邊長為2的正方形，分別為和的中點，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為.【典例2】（2324高三上·北京昌平·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點.

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【變式1】（2324高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，，P為棱AD的中點，且，，若點M到平面SBC的距離為，則實數(shù)