【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題5.7坐標(biāo)系中的新定義問題大題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）一．解答題（共22小題）1．（2022春?海門市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y(tǒng)2﹣y1≠0，則稱點(diǎn)A與點(diǎn)B互為“對(duì)角點(diǎn)”，例如：點(diǎn)A（﹣1，3），點(diǎn)B（2，6），因?yàn)?﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B互為“對(duì)角點(diǎn)”．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，﹣2），則在點(diǎn)B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，點(diǎn)A的“對(duì)角點(diǎn)”為點(diǎn)；（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，4）的“對(duì)角點(diǎn)”B在坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，﹣1）與點(diǎn)B（m，n）互為“對(duì)角點(diǎn)”，且點(diǎn)B在第四象限，求m，n的取值范圍．2．（2021秋?豐縣校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ax+y，x+ay），其中a為常數(shù)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”例如，點(diǎn)P（1，4）的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知點(diǎn)A（2，﹣6）的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P的5級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（9，﹣3），求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N位于坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．3．（2021秋?錫山區(qū)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，設(shè)點(diǎn)P（a，b），若滿足3a＝2b+5，則稱點(diǎn)P為“新奇點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)A（3，2）是否為“新奇點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（m﹣1，3m+2）是“新奇點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限，并說明理由．4．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：若實(shí)數(shù)x，y，x′，y′滿足x＝kx′+3，y＝ky′+3（k為常數(shù)，k≠0），則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱點(diǎn)（x，y）是點(diǎn)（x'，y'）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（7，﹣5）是點(diǎn)（1，﹣2）的“4值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）判斷在A（2，3），B（2，4）兩點(diǎn)中，哪個(gè)是P（1，﹣1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；（2）設(shè)兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)m，n滿足點(diǎn)E（m2+mn，2n2）是點(diǎn)F（m，n）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”求點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離的最小值．5．（2021秋?濱?？h校級(jí)月考）已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，稱p（m﹣1，）為“開心點(diǎn)”．例如點(diǎn)A（5，3）為“開心點(diǎn)”．因?yàn)楫?dāng)A（5，3）時(shí)，m﹣1＝5，＝3，得m＝6，n＝4，所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以A（5，3）是“開心點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)B（4，10）是否為“開心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“開心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．6．（2020春?崇川區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點(diǎn)P（a，b），實(shí)數(shù)a，b，m滿足以下兩個(gè)等式：2a﹣3m+1＝0，3b﹣2m﹣16＝0．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離為；（2）若點(diǎn)P落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)a≤4＜b時(shí)，求m的最小整數(shù)值．7．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ax+y，x+ay），其中a為常數(shù)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”例如，點(diǎn)P（1，4）的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知點(diǎn)A（﹣2，6）的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)A1，求點(diǎn)A1的坐標(biāo)．（2）已知點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”M′位于y軸上．求點(diǎn)M′的坐標(biāo)．8．（2022春?海安市校級(jí)月考）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+kb，b+）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k系好友點(diǎn)”；例如：P（3，2）的“3系好友點(diǎn)”為P′（3+3×2，2+），即P′（9，3）．請(qǐng)完成下列各題．（1）點(diǎn)P（﹣3，1）的“2系好友點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為．（2）若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k系好友點(diǎn)”為P′點(diǎn)，若在△OPP′中，PP′＝3OP，求k的值．（3）已知點(diǎn)A在第四象限，且滿足xy＝﹣8；點(diǎn)A是點(diǎn)B（m，n）的“﹣2系好友點(diǎn)”，求m﹣2n的值．9．（2022春?啟東市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P，Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．下圖中的P，Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，1），①在點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（3，﹣3），G（2，﹣5）中，為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”的是；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（m，m+6），且A，B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，求k的值．10．（2021秋?江陰市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連結(jié)AB．如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)大1，且點(diǎn)P到直線AB的距離小于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰近點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)C（，）是否是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍．11．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，M（a，b），N（c，d），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，我們稱P（ka+kc，kb+kd）為點(diǎn)M和點(diǎn)N的k系和點(diǎn)．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），點(diǎn)M和點(diǎn)N的2系和點(diǎn)為K（6，2）．橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，已知A（1，2），B（2，0）．（1）點(diǎn)A和點(diǎn)B的系和點(diǎn)的坐標(biāo)為（直接寫出答案）；（2）已知點(diǎn)C（m，2），若點(diǎn)B和點(diǎn)C的k系和點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D在第一、三象限的角平分線上．①求m的值；②若點(diǎn)D為整點(diǎn)，且三角形BCD的內(nèi)部（不包括邊界）恰有3個(gè)整點(diǎn)，求k的值．12．（2021春?崇川區(qū)期末）【了解概念】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P（a，b），Q（c，d），式子|a﹣c|+|b﹣d|的值就叫做線段PQ的“勾股距”，記作dPQ＝|a﹣c|+|b﹣d|，同時(shí)，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．【理解運(yùn)用】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（2，3），B（4，2），C（m，n）．（1）線段OA的“勾股距”dOA＝；（2）若點(diǎn)C在第三象限，且dOC＝2dAB，求dAC并判斷△ABC是否為“等距三角形”；【拓展提升】（3）若點(diǎn)C在x軸上，△ABC是“等距三角形”，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．13．（2021秋?射陽縣校級(jí)期末）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），則這兩點(diǎn)的距離PQ＝＝．特別地，如果兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡化為MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（3）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形狀嗎？請(qǐng)說明理由．14．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）閱讀材料：兩點(diǎn)間的距離公式：如果直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B兩點(diǎn)的距離AB＝．則AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若點(diǎn)A（4，1），B（2，3），則AB＝，根據(jù)上面材料完成下列各題：（1）若點(diǎn)A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點(diǎn)間的距離是．（2）若點(diǎn)A（﹣2，3），點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，求B點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，求x的值．15．（2021春?海安市校級(jí)月考）問題情境：在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線段AB的長度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1﹣x2|；【應(yīng)用】：（1）若點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，1），則AB∥x軸，AB的長度為．（2）若點(diǎn)C（1，0），且CD∥y軸，且CD＝2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【拓展】：我們規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：圖1中，點(diǎn)M（﹣1，1）與點(diǎn)N（1，﹣2）之間的折線距離為d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解決下列問題：（1）如圖2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），則d（E，F(xiàn)）；（2）如圖2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，則t＝．（3）如圖3，已知P（3，3），點(diǎn)Q在x軸上，且三角形OPQ的面積為3，則d（P，Q）＝．16．（2016秋?虎丘區(qū)校級(jí)期中）先閱讀下列一段文字，在回答后面的問題．已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離．（3）已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．17．（2021春?海安市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（x，y），點(diǎn)B（x﹣my，mx﹣y）（其中m為常數(shù)，且m≠0），則稱B是點(diǎn)A的“m族衍生點(diǎn)”．例如：點(diǎn)A（1，2）的“3族衍生點(diǎn)”B的坐標(biāo)為（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．（1）點(diǎn)（2，0）的“2族衍生點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)A的“3族衍生點(diǎn)”B的坐標(biāo)是（﹣1，5），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（3）若點(diǎn)A（x，0）（其中x≠0），點(diǎn)A的“m族衍生點(diǎn)“為點(diǎn)B，且AB＝OA，求m的值；（4）若點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”與“﹣m族衍生點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A在；（5）若點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”（m≠1）在第一、三象限的角平分線上，則點(diǎn)A在．（描述點(diǎn)A的位置）18．（2021秋?金安區(qū)校級(jí)期中）已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，稱P（m，n+2）為“開心點(diǎn)”．例如點(diǎn)A（6，6）為“開心點(diǎn)”．因?yàn)楫?dāng)A（6，6）時(shí)，m＝6，n+2＝6，得m＝6，n＝4．所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以A（6，6）是“開心點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)B（4，5）（填“是”或“不是”）“開心點(diǎn)”；（2，若點(diǎn)M（a，a﹣1）是“開心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．19．（2020春?新余期末）已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，就稱點(diǎn)P（m﹣1，）為“愛心點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)A（5，3），B（4，8）哪個(gè)點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“愛心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．20．（2021春?石城縣期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ax+y，x+ay），則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且a≠0），例如，點(diǎn)P（1，4）的“2級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，5），則它的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)P的“5級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（9，﹣3），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′位于坐標(biāo)軸上．求點(diǎn)P′的坐標(biāo)．21．（2018春?香洲區(qū)期末）對(duì)于a、b定義兩種新運(yùn)算“*”和“⊕”：a*b＝a+kb，a⊕b＝ka+b（其中k為常數(shù)，且k≠0）．若平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），有點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a*b，a⊕b）與之相對(duì)應(yīng)，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P的“k衍生點(diǎn)”例如：P（1，4）的“2衍生點(diǎn)”為P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）點(diǎn)P（﹣1，6）的“2衍生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為．（2）若點(diǎn)P的“3衍生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（5，7），求點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（2020?開福區(qū)校級(jí)開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“近似距離”，給出如下定義：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1（x1，y1）與點(diǎn)P2（x2，y2）的“近似距離”為|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則P1（x1，y1）與點(diǎn)P2（x2，y2）的“近似距離”為|y1﹣y2|；（1）已知點(diǎn)P（﹣3，4）、點(diǎn)Q（1，1），則點(diǎn)P與點(diǎn)Q的“近似距離”為．（2）已知點(diǎn)A（0，﹣2），B為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，①若點(diǎn)A與B的“近似距離”為3，寫出滿足條件的B點(diǎn)的坐標(biāo)．②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“近似距離”的最小值．（3）已知C（2m+2，m），D（1，0），寫出點(diǎn)C與點(diǎn)D的“近似距離”的最小值及相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題5.7坐標(biāo)系中的新定義問題大題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）一．解答題（共22小題）1．（2022春?海門市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y(tǒng)2﹣y1≠0，則稱點(diǎn)A與點(diǎn)B互為“對(duì)角點(diǎn)”，例如：點(diǎn)A（﹣1，3），點(diǎn)B（2，6），因?yàn)?﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B互為“對(duì)角點(diǎn)”．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，﹣2），則在點(diǎn)B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，點(diǎn)A的“對(duì)角點(diǎn)”為點(diǎn)B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，4）的“對(duì)角點(diǎn)”B在坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，﹣1）與點(diǎn)B（m，n）互為“對(duì)角點(diǎn)”，且點(diǎn)B在第四象限，求m，n的取值范圍．【分析】（1）、（2）讀懂新定義，根據(jù)新定義解題即可；（3）根據(jù)新定義和直角坐標(biāo)系中第四象限x、y的取值范圍確定m、n的取值范圍即可．【解答】解：（1）根據(jù)新定義可以得B2、B3與A點(diǎn)互為“對(duì)角點(diǎn)”；故答案為：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）①當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，設(shè)B（t，0），由題意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t＝﹣6，∴B（﹣6，0）．②當(dāng)點(diǎn)B在y軸上時(shí)，設(shè)B（0，b），由題意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，解得b＝6，∴B（0，6）．綜上所述：A的“對(duì)角點(diǎn)”點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（0，6）．（3）由題意得m﹣3＝n﹣（﹣1），∴m＝n+4．∵點(diǎn)B在第四象限，∴，∴，解得﹣4＜n＜0，此時(shí)0＜n+4＜4，∴0＜m＜4．由定義可知：m≠3，n≠﹣1，∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．故答案為：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．2．（2021秋?豐縣校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ax+y，x+ay），其中a為常數(shù)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”例如，點(diǎn)P（1，4）的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知點(diǎn)A（2，﹣6）的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P的5級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（9，﹣3），求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N位于坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義和點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N位于坐標(biāo)軸上，即可求出N的坐標(biāo)．【解答】解（1）∵點(diǎn)A（2，﹣6）的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)B，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）∴B的坐標(biāo)（﹣5，﹣1）；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)P的5級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（9，﹣3），∴，解得，∵P（2，﹣1）；（3）∵點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為M′（﹣4（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣4）×2m），當(dāng)N位于y軸上時(shí)，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；當(dāng)N位于x軸上時(shí)，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m＝，∴﹣4（m﹣1）+2m＝，∴N（，0）；綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣15）或（，0）．3．（2021秋?錫山區(qū)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，設(shè)點(diǎn)P（a，b），若滿足3a＝2b+5，則稱點(diǎn)P為“新奇點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)A（3，2）是否為“新奇點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（m﹣1，3m+2）是“新奇點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限，并說明理由．【分析】（1）直接利用“新奇點(diǎn)”的定義得出a，b的值，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用“新奇點(diǎn)”的定義得出m的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）當(dāng)A（3，2）時(shí)，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇點(diǎn)”；（2）點(diǎn)M在第三象限，理由如下：∵點(diǎn)M（m﹣1，3m+2）是“新奇點(diǎn)”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴點(diǎn)M在第三象限．4．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：若實(shí)數(shù)x，y，x′，y′滿足x＝kx′+3，y＝ky′+3（k為常數(shù)，k≠0），則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱點(diǎn)（x，y）是點(diǎn)（x'，y'）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（7，﹣5）是點(diǎn)（1，﹣2）的“4值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）判斷在A（2，3），B（2，4）兩點(diǎn)中，哪個(gè)是P（1，﹣1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；（2）設(shè)兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)m，n滿足點(diǎn)E（m2+mn，2n2）是點(diǎn)F（m，n）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”求點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離的最小值．【分析】（1）由“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可求解；（2）由“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義列方程組，從而結(jié)合勾股定理和完全平方公式分析求解．【解答】解：（1）若A（2，3）是P（1，﹣1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則k+3＝2，解得k＝﹣1，﹣k+3＝3，解得k＝0，∵k的值前后矛盾，∴A（2，3）不是P（1，﹣1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，若B（2，4）是P（1，﹣1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則k+3＝2，解得k＝﹣1，﹣k+3＝4，解得k＝﹣1，∵k值符合題意，∴B（2，4）是P（1，﹣1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；（2）由題意可得：，整理，可得，∴m2n+mn2﹣3n＝2mn2﹣3m，mn（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，（m﹣n）（mn+3）＝0，∵m≠n，∴mn+3＝0，即mn＝﹣3，∴m＝﹣，∵點(diǎn)F（m，n）到原點(diǎn)O的距離為，且（m+n）2≥0，∴m2+n2+2mn≥0，∴m2+n2≥﹣2mn，而﹣2mn＝﹣2n?＝6，∴m2+n2≥6，∴點(diǎn)F（m，n）到原點(diǎn)O的距離≥，即點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離的最小值為．5．（2021秋?濱?？h校級(jí)月考）已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，稱p（m﹣1，）為“開心點(diǎn)”．例如點(diǎn)A（5，3）為“開心點(diǎn)”．因?yàn)楫?dāng)A（5，3）時(shí)，m﹣1＝5，＝3，得m＝6，n＝4，所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以A（5，3）是“開心點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)B（4，10）是否為“開心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“開心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n檢驗(yàn)等號(hào)是否成立即可；（2）直接利用“開心點(diǎn)”的定義得出a的值進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）（4，10）不是“開心點(diǎn)”，理由如下，當(dāng)B（4，10）時(shí)，m﹣1＝4，，解得m＝5，n＝18，則2m＝10，8+18＝26，所以2m≠8+n，所以點(diǎn)B（4，10）不是“開心點(diǎn)”；（2）點(diǎn)M在第三象限，理由如下：∵點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“開心點(diǎn)”，∴m﹣1＝a，，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3），故點(diǎn)M在第三象限．6．（2020春?崇川區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點(diǎn)P（a，b），實(shí)數(shù)a，b，m滿足以下兩個(gè)等式：2a﹣3m+1＝0，3b﹣2m﹣16＝0．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離為6；（2）若點(diǎn)P落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)a≤4＜b時(shí)，求m的最小整數(shù)值．【分析】（1）求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可解決問題；（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征，可知b＝0，據(jù)此可得m的值，進(jìn)而得出a的值；（3）構(gòu)建不等式組，求出m的取值范圍即可解決問題．【解答】解：（1）∵a＝1，∴2﹣3m+1＝0，∴m＝1，∴3b﹣2﹣16＝0，∴b＝6，∴P（1，6），∴點(diǎn)P到x軸的距離為6，故答案為6．（2）∵點(diǎn)P落在x軸上，∴b＝0，∴﹣2m﹣16＝0，∴m＝﹣8，∴2a+24+1＝0，∴a＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）；（3）∵2a﹣3m+1＝0，3b﹣2m﹣16＝0，∴a＝，b＝，當(dāng)a≤4＜b時(shí)，，解得：﹣2＜m≤3，∴m的最小整數(shù)值為﹣1．7．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ax+y，x+ay），其中a為常數(shù)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”例如，點(diǎn)P（1，4）的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知點(diǎn)A（﹣2，6）的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)A1，求點(diǎn)A1的坐標(biāo)．（2）已知點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”M′位于y軸上．求點(diǎn)M′的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義和點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”M′位于y軸上，即可求出M′的坐標(biāo)．【解答】解（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣2，6）的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)A1，所以A1為A1（5，1）．（2）∵點(diǎn)M（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為M′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），M′位于y軸上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝3∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，∴M′（0，﹣16）．8．（2022春?海安市校級(jí)月考）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+kb，b+）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k系好友點(diǎn)”；例如：P（3，2）的“3系好友點(diǎn)”為P′（3+3×2，2+），即P′（9，3）．請(qǐng)完成下列各題．（1）點(diǎn)P（﹣3，1）的“2系好友點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）．（2）若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k系好友點(diǎn)”為P′點(diǎn)，若在△OPP′中，PP′＝3OP，求k的值．（3）已知點(diǎn)A在第四象限，且滿足xy＝﹣8；點(diǎn)A是點(diǎn)B（m，n）的“﹣2系好友點(diǎn)”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根據(jù)“k系好友點(diǎn)”的定義列式計(jì)算即可求解；（2）設(shè)P（0，t）（t＞0），根據(jù)定義得到點(diǎn)P′（kt，t），則PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）點(diǎn)A是點(diǎn)B（m，n）的“﹣2系好有點(diǎn)”，可得點(diǎn)A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）點(diǎn)P（﹣3，1），根據(jù)“k系好友點(diǎn)”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），故答案為（﹣1，﹣）；（2）設(shè)P（0，t）其中t＞0，根據(jù)“k系好友點(diǎn)”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x軸，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有點(diǎn)A為（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）?（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵點(diǎn)A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．9．（2022春?啟東市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P，Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．下圖中的P，Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，1），①在點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（3，﹣3），G（2，﹣5）中，為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”的是E、F；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（m，m+6），且A，B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，3）；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，求k的值．【分析】（1）①找到x、y軸距離最大為3的點(diǎn)即可；②先分析出直線上的點(diǎn)到x、y軸距離中有3的點(diǎn)，再根據(jù)“等距點(diǎn)”概念進(jìn)行解答即可；（2）先分析出直線上的點(diǎn)到x、y軸距離中有4的點(diǎn)，再根據(jù)“等距點(diǎn)”概念進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）①∵點(diǎn)A（﹣3，1）到x、y軸的距離中最大值為3，∴與A點(diǎn)是“等距點(diǎn)”的點(diǎn)是E、F．②當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)中到x、y軸距離其中至少有一個(gè)為3的點(diǎn)有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），這些點(diǎn)中與A符合“等距點(diǎn)”的是（﹣3，3）．故答案為①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，①若|4k﹣3|≤4時(shí)，則4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4時(shí)，則|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2或k＝0（舍去）．根據(jù)“等距點(diǎn)”的定義知，k＝1或k＝2符合題意．即k的值是1或2．10．（2021秋?江陰市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連結(jié)AB．如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)大1，且點(diǎn)P到直線AB的距離小于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰近點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)C（，）是否是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍．【分析】（1）由3﹣2.5＝0.5＜1可得出點(diǎn)C是線段AB的“臨近點(diǎn)”；（2）由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可找出n＝m﹣1，由點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“臨近點(diǎn)”結(jié)合“臨近點(diǎn)”的定義即可找出點(diǎn)n的取值范圍，再借助一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可找出m的取值范圍．【解答】解：（1）點(diǎn)C（，）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”．理由如下：∵2.5+1＝3.5，∴點(diǎn)C（，）在直線y＝x﹣1上，∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，∴AB∥x軸，∴點(diǎn)C（，）到線段AB的距離是3﹣2.5＝0.5＜1，∴點(diǎn)C（，）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”；（2）∵點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，∴|n﹣3|＜1，∴2＜n＜4且點(diǎn)Q（m，n）在直線y＝x﹣1上，∴n＝m﹣1．∴2＜m﹣1＜4，∴3＜m＜5．11．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，M（a，b），N（c，d），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，我們稱P（ka+kc，kb+kd）為點(diǎn)M和點(diǎn)N的k系和點(diǎn)．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），點(diǎn)M和點(diǎn)N的2系和點(diǎn)為K（6，2）．橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，已知A（1，2），B（2，0）．（1）點(diǎn)A和點(diǎn)B的系和點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）（直接寫出答案）；（2）已知點(diǎn)C（m，2），若點(diǎn)B和點(diǎn)C的k系和點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D在第一、三象限的角平分線上．①求m的值；②若點(diǎn)D為整點(diǎn)，且三角形BCD的內(nèi)部（不包括邊界）恰有3個(gè)整點(diǎn)，求k的值．【分析】（1）點(diǎn)M和點(diǎn)N的k系和點(diǎn)的定義求解即可．（2）①由題意D（2k+mk，2k），根據(jù)點(diǎn)D在在第一、三象限角平分線上，構(gòu)建方程求解即可．②判斷出D的坐標(biāo)，可得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意：（1+2）＝，（2+0）＝1，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的系和點(diǎn)的坐標(biāo)為（），故答案為：（，1）；（2）①∵點(diǎn)D（x，y）為B（2，0）和C（m，2）的k系和點(diǎn)，∴x＝2k+mk，y＝2k．即D（2k+mk，2k），∵點(diǎn)D在第一、三象限角平分線上，∴2k+mk＝2k．∴mk＝0．∵k≠0，∴m＝0．②如圖1中，由題意，當(dāng)D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）時(shí)，滿足條件．∵C（0，2），B（2，0），∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，∴k＝或，12．（2021春?崇川區(qū)期末）【了解概念】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P（a，b），Q（c，d），式子|a﹣c|+|b﹣d|的值就叫做線段PQ的“勾股距”，記作dPQ＝|a﹣c|+|b﹣d|，同時(shí)，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．【理解運(yùn)用】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（2，3），B（4，2），C（m，n）．（1）線段OA的“勾股距”dOA＝5；（2）若點(diǎn)C在第三象限，且dOC＝2dAB，求dAC并判斷△ABC是否為“等距三角形”；【拓展提升】（3）若點(diǎn)C在x軸上，△ABC是“等距三角形”，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)線段“勾股距”，由O，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段OA的“勾股距”；（2）現(xiàn)根據(jù)“勾股距”的定義求出dAB，dAC，dBC，再根據(jù)等距三角形的定義判斷即可；（3）根據(jù)“等距三角形”分三種情況討論m的取值．【解答】解：（1）由“勾股距”的定義知：dOA＝|2﹣0|+|3﹣0|＝2+3＝5，故答案為：5；（2）∵dAB＝|4﹣2|+|2﹣3|＝2+1＝3，∴2dAB＝6，∵點(diǎn)C在第三象限，∴m＜0，n＜0，dOC＝|m﹣0|+|n﹣0|＝|m|+|n|＝﹣m﹣n＝﹣（m+n），∵dOC＝2dAB，∴﹣（m+n）＝6，即m+n＝﹣6，∴dAC＝|2﹣m|+|3﹣n|＝2﹣m+3﹣n＝5﹣（m+n）＝5+6＝11，dBC＝|4﹣m|+|2﹣m|＝4﹣m+2﹣n＝6﹣（m+n）＝6+6＝12，∵3+11≠12，11+12≠3，12+3≠11，∴△ABC不是為“等距三角形”；（3）點(diǎn)C在x軸上時(shí)，點(diǎn)C（m，0），則dAC＝|2﹣m|+3，dBC＝|4﹣m|+2，①當(dāng)m＜2時(shí)，dAC＝2﹣m+3＝5﹣m，dBC＝4﹣m+2＝6﹣m，若△ABC是“等距三角形”，∴5﹣m+6﹣m＝11﹣2m＝3，解得：m＝4（不合題意），又∵5﹣m+3＝8﹣m≠6﹣m，6﹣m+3＝9﹣m≠5﹣m，∴△ABC不是“等距三角形”，∴當(dāng)m＜2時(shí)，△ABC不是“等距三角形”；②當(dāng)2≤m＜4時(shí)，dAC＝m﹣2+3＝m+1，dBC＝4﹣m+2＝6﹣m，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+6﹣m＝7≠3；若6﹣m+3＝m+1，解得：m＝4（不合題意）；若m+1+3＝6﹣m，解得：m＝1（不合題意）．∴當(dāng)2≤m＜4時(shí)，△ABC不是“等距三角形”；③當(dāng)m≥4時(shí)，dAC＝m+1，dBC＝m﹣2，若△ABC是“等距三角形”，若m+1+m﹣2＝3，解得：m＝2（不合題意）；m﹣2+3＝m+1恒成立，∵當(dāng)m＝8時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，∴m≥4且m≠8時(shí)，△ABC是“等距三角形”，綜上所述：△ABC是“等距三角形”時(shí)，m的取值范圍為：m≥4且m≠8．13．（2021秋?射陽縣校級(jí)期末）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），則這兩點(diǎn)的距離PQ＝＝．特別地，如果兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡化為MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（3）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形狀嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算；（2）由于橫坐標(biāo)相同，所以A、B兩點(diǎn)間的距離等于縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值；（3）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB、AC、BC，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）AB＝＝；（2）AB＝5﹣（﹣1）＝6；（3）△ABC為直角三角形．理由如下：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC為直角三角形．14．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）閱讀材料：兩點(diǎn)間的距離公式：如果直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B兩點(diǎn)的距離AB＝．則AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若點(diǎn)A（4，1），B（2，3），則AB＝，根據(jù)上面材料完成下列各題：（1）若點(diǎn)A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點(diǎn)間的距離是3．（2）若點(diǎn)A（﹣2，3），點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，求B點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，求x的值．【分析】（1）直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算AB的長；（2）當(dāng)B點(diǎn)在x軸上，設(shè)B（t，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解方程求出t得到此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)B點(diǎn)在y軸上，設(shè)B（0，m），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解方程求出m得到此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，然后解方程即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣2，3），B（1，﹣3），∴AB＝＝3；故答案為3；（2）當(dāng)B點(diǎn)在x軸上，設(shè)B（t，0），而點(diǎn)A（﹣2，3），A、B兩點(diǎn)間的距離是5，∴（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解得t＝2或﹣6，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（﹣6，0）；當(dāng)B點(diǎn)在y軸上，設(shè)B（0，m），而點(diǎn)A（﹣2，3），A、B兩點(diǎn)間的距離是5，∴（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解得m＝3+或3﹣，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3+）或（0，3﹣）；綜上所述，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（﹣6，0）或（0，3+）或（0，3﹣）；（3）∵點(diǎn)A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，∴（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，整理得x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝﹣1，x2＝6，即x的值為﹣1或6．15．（2021春?海安市校級(jí)月考）問題情境：在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線段AB的長度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1﹣x2|；【應(yīng)用】：（1）若點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，1），則AB∥x軸，AB的長度為3．（2）若點(diǎn)C（1，0），且CD∥y軸，且CD＝2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2）．【拓展】：我們規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：圖1中，點(diǎn)M（﹣1，1）與點(diǎn)N（1，﹣2）之間的折線距離為d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解決下列問題：（1）如圖2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），則d（E，F(xiàn)）＝5；（2）如圖2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，則t＝2或﹣2．（3）如圖3，已知P（3，3），點(diǎn)Q在x軸上，且三角形OPQ的面積為3，則d（P，Q）＝4或8．【分析】【應(yīng)用】：（1）根據(jù)若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1﹣x2|，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）由CD∥y軸，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，m），根據(jù)CD＝2即可得出|0﹣m|＝2，解之即可得出結(jié)論；【拓展】：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的折線距離公式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的折線距離公式結(jié)合d（E，H）＝3，即可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）由點(diǎn)Q在x軸上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角形OPQ的面積為3即可求出x的值，再利用兩點(diǎn)之間的折線距離公式即可得出結(jié)論．【解答】解：【應(yīng)用】：（1）AB的長度為|﹣1﹣2|＝3．故答案為：3．（2）由CD∥y軸，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，m），∵CD＝2，∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2）．故答案為：（1，2）或（1，﹣2）．【拓展】：（1）d（E，F(xiàn)）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．故答案為：＝5．（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．故答案為：2或﹣2．（3）由點(diǎn)Q在x軸上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，0），∵三角形OPQ的面積為3，∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，0）時(shí)，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．故答案為：4或8．16．（2016秋?虎丘區(qū)校級(jí)期中）先閱讀下列一段文字，在回答后面的問題．已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離．（3）已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式|y2﹣y1|來求A、B兩點(diǎn)間的距離．（3）先將A、B、C三點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系中，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求得AB、BC、AC的長度；最后根據(jù)三角形的三條邊長來判斷該三角形的形狀．【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|＝＝13，即A、B兩點(diǎn)間的距離是13；（2）∵A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B兩點(diǎn)間的距離是6；（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．17．（2021春?海安市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（x，y），點(diǎn)B（x﹣my，mx﹣y）（其中m為常數(shù)，且m≠0），則稱B是點(diǎn)A的“m族衍生點(diǎn)”．例如：點(diǎn)A（1，2）的“3族衍生點(diǎn)”B的坐標(biāo)為（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．（1）點(diǎn)（2，0）的“2族衍生點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2，4）；（2）若點(diǎn)A的“3族衍生點(diǎn)”B的坐標(biāo)是（﹣1，5），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）；（3）若點(diǎn)A（x，0）（其中x≠0），點(diǎn)A的“m族衍生點(diǎn)“為點(diǎn)B，且AB＝OA，求m的值；（4）若點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”與“﹣m族衍生點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A在y軸上；（5）若點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”（m≠1）在第一、三象限的角平分線上，則點(diǎn)A在在第二、四象限角平分線上．（描述點(diǎn)A的位置）【分析】（1）利用“m族衍生點(diǎn)”的定義可求解；（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，y），利用“m族衍生點(diǎn)”的定義列出方程組，即可求解；（3）先求出點(diǎn)A的“m族衍生點(diǎn)“為點(diǎn)B（x，mx），由AB＝OA，可求解；（4）先求出點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”為（x﹣my，mx﹣y），點(diǎn)A（x，y）的“﹣m族衍生點(diǎn)”為（x+my，﹣mx﹣y），由關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)可求x＝0，即可求解；（5）確定點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”，再根據(jù)第一、三象限的角平分線的性質(zhì)列等式可解答．【解答】解：（1）點(diǎn)（2，0）的“2族衍生點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），故答案為（2，4）；故答案為：（2，4）；（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，y），由題意可得：，∴，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，1）；故答案為：（2，1）；（3）∵點(diǎn)A（x，0），∴點(diǎn)A的“m族衍生點(diǎn)“為點(diǎn)B（x，mx），∴AB＝|mx|，∵AB＝OA，∴|x|＝|mx|，∴m＝±1；（4）∵點(diǎn)A（x，y），∴點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”為（x﹣my，mx﹣y），點(diǎn)A（x，y）的“﹣m族衍生點(diǎn)”為（x+my，﹣mx﹣y），∵點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”與“﹣m族衍生點(diǎn)”都關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，∴x＝0，∴點(diǎn)A在y軸上，故答案為：y軸上；（5）∵點(diǎn)A（x，y）的“m族衍生點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x﹣my，mx﹣y），且在第一、三象限的角平分線上，∴x﹣my＝mx﹣y，∴x+y＝m（x+y），∴（x+y）（m﹣1）＝0，∴m≠1，∴x+y＝0，∴點(diǎn)A在第二、四象限角平分線上．故答案為：在第二、四象限角平分線上．18．（2021秋?金安區(qū)校級(jí)期中）已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，稱P（m，n+2）為“開心點(diǎn)”．例如點(diǎn)A（6，6）為“開心點(diǎn)”．因?yàn)楫?dāng)A（6，6）時(shí)，m＝6，n+2＝6，得m＝6，n＝4．所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以A（6，6）是“開心點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)B（4，5）不是（填“是”或“不是”）“開心點(diǎn)”；（2，若點(diǎn)M（a，a﹣1）是“開心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)，代入（m，n+2）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n檢驗(yàn)等號(hào)是否成立即可；（2）直接利用“開心點(diǎn)”的定義得出a的值進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）點(diǎn)B（4，5）不是“開心點(diǎn)”，理由如下，當(dāng)B（4，5）時(shí)，m＝4，n+2＝5，此時(shí)m＝4，n＝3，所以2m≠8+n，所以B（4，5）不是“開心點(diǎn)”；故答案為：不是；（2）點(diǎn)M在第一象限，理由如下：∵點(diǎn)M（a，a﹣1）是“開心點(diǎn)”，∴m＝a，n+2＝a﹣1，即m＝a，n＝a﹣3，代入2m＝8+n有2a＝8+a﹣3，解得a＝5，∴M（5，4），故點(diǎn)M在第一象限．19．（2020春?新余期末）已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，就稱點(diǎn)P（m﹣1，）為“愛心點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)A（5，3），B（4，8）哪個(gè)點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“愛心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．【分析】（1）直接利用“愛心點(diǎn)”的定義得出m，n的值，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用“愛心點(diǎn)”的定義得出a的值進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）當(dāng)A（5，3）時(shí)，m﹣1＝5，＝3，解得m＝6，n＝4，則2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“愛心點(diǎn)”；當(dāng)B（4，8）時(shí)，m﹣1＝4，＝8，解得m＝5，n＝14，顯然2m≠8+n，所以B點(diǎn)不是“愛心點(diǎn)”；（2）點(diǎn)M在第三象限，理由如下：∵點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“愛心點(diǎn)”，∴m﹣1＝a，＝2a﹣1，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣12a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故點(diǎn)M在第三象限．20．（2021春?石城縣期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ax+y，x+ay），則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且a≠0），例如，點(diǎn)P（1，4）的“2級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，5），則它的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2，14）；（2）若點(diǎn)P的“5級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（9，﹣3），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′位于坐標(biāo)軸上．求點(diǎn)P′的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義和點(diǎn)P（m﹣1，2m）的“﹣3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′位于坐標(biāo)軸上，即可求出P′的坐標(biāo)．【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，5），則它的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為