7.1條件概率及全概率公式考法一條件概率【例1-1】（2023·云南）某校有7名同學(xué)獲省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，其中男生4名，女生3名．現(xiàn)隨機(jī)選取2名學(xué)生作“我愛(ài)數(shù)學(xué)”主題演講．假設(shè)事件為“選取的兩名學(xué)生性別相同”，事件為“選取的兩名學(xué)生為男生”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，事件和包含的樣本點(diǎn)數(shù)，所以.故選：D【例1-2】（2024·陜西漢中）袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】B【解析】設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录?，第二次取得紅球?yàn)槭录栽诘谝淮稳〉眉t球前提下，則第二次取得白球的概率為：.故選：B.【一隅三反】1．（2024·遼寧）小張?小王兩家計(jì)劃國(guó)慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤(pán)錦紅海灘”這五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風(fēng)凰山”，事件B：“兩家選擇景點(diǎn)不同”.則概率（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知兩家都沒(méi)選擇丹東鳳凰山，即，所以，而有一家選擇丹東鳳凰山，另一家選別的景點(diǎn)，則，所以.故選：D2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）現(xiàn)有若干大小、質(zhì)地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)依次摸出2個(gè)球，若第一次摸出的是白球，則放回袋中；若第一次摸出的是黑球，則把黑球換作白球，放回袋中.記事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可知，第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率，則,故選：D.3．（2024·北京）俗話說(shuō)“斜風(fēng)細(xì)雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風(fēng).已知某地8月份刮風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為.記事件為“8月份某天刮風(fēng)”，事件為“8月份某天下雨”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得利用條件概率公式可得.故選：B4．（2024·江西）我國(guó)的生態(tài)環(huán)境越來(lái)越好，旅游的人越來(lái)越多．現(xiàn)有兩位游客慕名來(lái)江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件為“兩位游客選擇的景點(diǎn)相同”，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，知，所以．故選：A．考法二條件概率性質(zhì)【例2-1】（2024·湖北）已知，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，則等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即，同理，由得，因?yàn)椋?，，所以，所以．故選：A.【例2-2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由條件概率公式知，但是不一定等于，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)條件概率的性質(zhì)可知，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由條件概率公式可得出，所以選項(xiàng)C正確；由條件概率公式可得出，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C【例2-3】（2023·云南保山）（多選）為隨機(jī)事件，已知，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨(dú)立，則D．若，則相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件的加法公式可得，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，若為互斥事件,故，類似集合的運(yùn)算：，由，故B選項(xiàng)不正確；C選項(xiàng)，由于是相互獨(dú)立事件，故，于是，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，即，于是相互獨(dú)立，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【一隅三反】1．（2024·廣西）（多選）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)?，，所以?因?yàn)榕c為互斥事件，所以，所以，所以，故，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，，所以，故D錯(cuò)誤.故選:AB.2．（2024·福建）（多選）已知隨機(jī)事件滿足，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不可能事件與事件互斥B．必然事件與事件相互獨(dú)立C．D．若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)椴豢赡苁录c事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?所以，所以必然事件與事件相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，且互斥，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，假如做拋擲一枚骰子1次的試驗(yàn)，設(shè)事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于4，事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于2，則，但故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC.3．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（多選）玻璃缸中裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中先后無(wú)放回地取2個(gè)球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取黑球、第二次取黑球的概率，第一次取白球、第二次取白球的概率，，所以A錯(cuò)誤；第一次取黑球、第二次取白球的概率，第一次取白球、第二次取黑球的概率，，所以B正確；由，，得，所以C錯(cuò)誤；由，得，所以D正確．故選：BD4．（2023·河南平頂山）（多選）一個(gè)口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中隨機(jī)取出一個(gè)球，若取到紅球，則往口袋里再放入一個(gè)白球，若取到白球，則往口袋里再放入一個(gè)紅球，取出的球不放回.像這樣取兩次球，設(shè)事件為“第i次取到紅球”，事件為“第j次取到白球”，事件C為“兩次取到的球顏色相同”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，則，所以與不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是指在第一次取出紅球的條件下，第二次取出白球的概率，第一次取出紅球后，再放入一個(gè)白球，袋中變?yōu)?個(gè)紅球和3個(gè)白球，此時(shí)取出白球的概率為，故B正確；對(duì)于C，是第一次取到白球且第二次取到紅球的概率，，故C正確；對(duì)于D，事件包含“兩次都取到紅球”和“兩次都取到白球”兩種情況，，故D正確．故選：BCD.考法三全概率公式【例3-1】（2024·黑龍江）某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的概率為0.1.若鄰居澆水的概率為，該人回來(lái)盆栽沒(méi)有枯萎的概率為0.83，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75【答案】A【解析】記為事件“盆栽沒(méi)有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，，由對(duì)立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得.故選：A【例3-2】（2024·河南南陽(yáng)）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令=“玩手機(jī)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生”，=“玩手機(jī)時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生”，=“任意調(diào)查一人，此人近視”，，且互斥，，依題意有，解得從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.故選：C【一隅三反】1．（2024·黑龍江）小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時(shí)小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個(gè)進(jìn)行答題，答對(duì)則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對(duì)A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.077 D．0.067【答案】C【解析】由題意，小明闖關(guān)失敗的概率.故選：C.2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某批麥種中，一等麥種占80%，二等麥種占20%等麥種種植后所結(jié)麥含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為（

）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65【答案】B【解析】種植一等麥種和二等麥種的事件分別為，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件，依題意，，，，，由全概率公式得，.故選：B3．（2023·湖北）某卡車(chē)為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書(shū)籍，共裝有個(gè)紙箱，其中箱英語(yǔ)書(shū)、箱數(shù)學(xué)書(shū).到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下箱中任意打開(kāi)兩箱，結(jié)果都是英語(yǔ)書(shū)，則丟失的一箱也是英語(yǔ)書(shū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】用表示丟失一箱后任取兩箱是英語(yǔ)書(shū)，用表示丟失的一箱為英語(yǔ)書(shū)，表示丟失的一箱為數(shù)學(xué)書(shū)，則，，，由全概率公式可得，所以，.故選：B.4．（2023·湖北）（多選）某兒童樂(lè)園有甲，乙兩個(gè)游樂(lè)場(chǎng)，小王同學(xué)第一天去甲、乙兩家游樂(lè)場(chǎng)游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他第一天去甲游樂(lè)場(chǎng)，那么第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.7；如果第一天去乙游樂(lè)場(chǎng)，那么第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.6，則王同學(xué)（

）A．第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.63B．第二天去乙游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.42C．第二天去了甲游樂(lè)場(chǎng)，則第一天去乙游樂(lè)場(chǎng)的概率為D．第二天去了乙游樂(lè)場(chǎng)，則第一天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為【答案】AC【解析】設(shè)：第一天去甲游樂(lè)場(chǎng)，：第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)，：第一天去乙游樂(lè)場(chǎng)，：第二天去乙游樂(lè)場(chǎng)，依題意可得，，，，對(duì)A，，A正確；對(duì)B，，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，C正確；對(duì)D，，D錯(cuò)誤，故選：AC.5．（2024·陜西漢中）某電子設(shè)備廠所用的元件由甲、乙兩家元件廠提供，根據(jù)以往的記錄，這兩個(gè)廠家的次品率分別為0.01，0.03，提供元件的份額分別為0.90，0.10．設(shè)這兩個(gè)廠家的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)里是均勻混合的，且無(wú)任何區(qū)分的標(biāo)志，現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取出一個(gè)元件，取到的元件是次品的概率為．【答案】0.012【解析】設(shè)事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲廠生產(chǎn)”，：“取得次品是乙廠生產(chǎn)”，由題意可知,所以由全概率公式知取得次品的概率為.故答案為：考法四貝葉斯公式【例4】（2024·福建）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】記小孔同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求．故選：A．【一隅三反】1．（2024湖南）設(shè)有5個(gè)袋子中放有白球，黑球，其中1號(hào)袋中白球占，另外2，3，4，5號(hào)4個(gè)袋子中白球都占，今從中隨機(jī)取1個(gè)袋子，從所取的袋子中隨機(jī)取1個(gè)球，結(jié)果是白球，則這個(gè)球是來(lái)自1號(hào)袋子中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)事件表示“取到第號(hào)袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，則由貝葉斯公式得，故選：A2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）張宇去某地參加會(huì)議，他乘汽車(chē)或飛機(jī)去的概率分別為、．如果他乘汽車(chē)或飛機(jī)前去，遲到的概率如圖所示．結(jié)果他遲到了，求張宇乘的是汽車(chē)的概率．

【答案】【解析】記事件為“張宇乘汽車(chē)”，則事件為“張宇乘飛機(jī)”，事件為“張宇遲到”，則，，，．根據(jù)貝葉斯公式可得．因此，張宇遲到了，他乘的是汽車(chē)的概率為．3．（2023·湖南）某一地區(qū)患有某疾病的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是患者的概率有多大？（保留小數(shù)點(diǎn)后四位）【答案】【解析】設(shè)“抽查的人是患者”為事件，“試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性”為事件，則“抽查的人不是患者”為事件，由題意可知，，，，則由貝葉斯公式可得，即抽查一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，此人是患者的概率為.考法五綜合運(yùn)用【例5-1】（2024·吉林）中國(guó)傳統(tǒng)文化中，過(guò)春節(jié)吃餃子，餃子是我國(guó)的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”,乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個(gè)三鮮餡的“餃子”和4個(gè)青菜餡的“餃子”.問(wèn)：(1)從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？(2)若依次從甲箱中取出兩盒“餃子”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；(3)若先從甲箱中隨機(jī)取出一盒“餃子”放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）設(shè)事件“取出餃子是肉餡”，，（2）設(shè)事件“甲箱中取出的第一盒餃子是肉餡”，事件“取出第二個(gè)盒餃子是三鮮餡”，（3）設(shè)事件“從乙箱取出的“餃子”是肉餡”.設(shè)事件，，分別是甲箱中取出肉餡的“餃子”，三鮮餡的“餃子”和青菜餡的“餃子”，【例5-2】（2023·河北保定）某地舉辦了一次地區(qū)性的中國(guó)象棋比賽，小明作為選手參加.除小明外的其他參賽選手中，一、二、三類棋手的人數(shù)之比為5：7：8，小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.6、0.5、0.4.(1)從參賽選手中隨機(jī)抽取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手分別為一、二、三類棋手的概率.【答案】(1)0.485(2)、、.【解析】（1）記事件B：“小明獲勝”，記事件：“小明與第類棋手相遇”，由題可得，，，，，，（1）由全概率公式可知.（2）由條件概率公式可得，，.即小明獲勝，對(duì)手分別為一、二、三類棋手的概率為、、.【一隅三反】1．（2023下·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）（多選）一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)都是紅球的概率為B．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為C．第二次取到紅球的概率為D．第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，抽取的兩個(gè)都是紅球的概率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取白球，則，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，，，，由全概率公式可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，所以，，D對(duì).故選：BCD.2．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）（多選）已知編號(hào)為的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有一個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和兩個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有一個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，三個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到2號(hào)球的概率為B．第一次抽到3號(hào)球且第二次抽到2號(hào)球的概率為C．第二次抽到2號(hào)球的概率為D．如果第二次抽到的是2號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率最大【答案】AB【解析】記第一次取得號(hào)球?yàn)槭录?，則，在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到2號(hào)球的概率為，即正確；第一次抽到3號(hào)球且第二次抽到2號(hào)球的概率為，即B正確；記第二次在第i號(hào)盒子內(nèi)抽到2號(hào)球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，且，記第二次抽到2號(hào)球的事件為，則，即C錯(cuò)誤；由于原先2號(hào)盒子沒(méi)有2號(hào)球，如果第二次取到的是2號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率為，它來(lái)自3號(hào)盒子的概率，即如果第二次抽到的是2號(hào)球，則它來(lái)自3號(hào)盒子的概率最大，故D錯(cuò)誤.故選：AB3．（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）某中學(xué)籃球隊(duì)根據(jù)以往比賽統(tǒng)計(jì)：甲球員能夠勝任前鋒，中鋒，后衛(wèi)三個(gè)位置，且出場(chǎng)概率分別為0.1，0.5，0.4.在甲球員出任前鋒，中鋒，后衛(wèi)的條件下，籃球隊(duì)輸球的概率依次為0.2，0.2，0.7.(1)當(dāng)甲球員參加比賽時(shí)，求該籃球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率；(2)當(dāng)甲球員參加比賽時(shí)，在該籃球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員在這一場(chǎng)出任中鋒的概率；(3)如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)該如何使用甲球員？【答案】(1)0.4(2)0.25(3)應(yīng)該多讓甲球員出任前鋒來(lái)增加贏球場(chǎng)次【解析】（1）設(shè)表示“甲球員出任前鋒”，表示“甲球員出任中鋒”，表示“甲球員出任后衛(wèi)”，則，設(shè)B表示“球隊(duì)輸?shù)裟硤?chǎng)比賽”，則，，，，，所以.所以當(dāng)甲球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率是0.4.（2）由（1）知，球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下，甲球員在這一場(chǎng)出任中鋒的概率.（3）由（1）知，已知球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下，甲球員在這場(chǎng)出任前鋒的概率；甲球員在這場(chǎng)出任后衛(wèi)的概率；由（2）知，甲球員在這一場(chǎng)出任中鋒的概率.所以有，，所以應(yīng)該多讓甲球員出任前鋒來(lái)增加贏球場(chǎng)次.單選題1．（2024·北京昌平）已知某班級(jí)中，喜歡文學(xué)閱讀的學(xué)生占75%，喜歡文學(xué)閱讀而且喜歡科普閱讀的學(xué)生占30%.若從這個(gè)班級(jí)的學(xué)生中任意抽取一人、則在抽到的學(xué)生喜歡文學(xué)閱讀的條件下，該學(xué)生也喜歡科普閱讀的概率為（

）A．22.5% B．30% C．40% D．75%【答案】C【解析】設(shè)事件為“抽到喜歡文學(xué)閱讀的學(xué)生”，設(shè)事件為“抽到喜歡科普閱讀的學(xué)生”，則，，則，即在抽到的學(xué)生喜歡文學(xué)閱讀的條件下，該學(xué)生也喜歡科普閱讀的概率為.故選：C.2．（2023·廣東肇慶）已知，，，求（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題可得.故選：C.3．（2023·山東德州）擲一個(gè)均勻的骰子．記為“擲得點(diǎn)數(shù)大于”，為“擲得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】擲一個(gè)均勻的骰子，有，，，，，共種結(jié)果，事件包含點(diǎn)數(shù)為，共種結(jié)果，所以；事件包含點(diǎn)數(shù)為共種結(jié)果，所以，所以．故選：D4．（2023下·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某貨車(chē)為某書(shū)店運(yùn)送書(shū)籍，共箱，其中箱語(yǔ)文書(shū)、箱數(shù)學(xué)書(shū)、箱英語(yǔ)書(shū)．到達(dá)目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下的箱書(shū)中隨機(jī)打開(kāi)箱，結(jié)果是箱語(yǔ)文書(shū)、箱數(shù)學(xué)書(shū)，則丟失的一箱是英語(yǔ)書(shū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記事件從剩下的箱書(shū)中隨機(jī)打開(kāi)箱，結(jié)果是箱語(yǔ)文書(shū)、箱數(shù)學(xué)書(shū)，記事件丟失的一箱是語(yǔ)文書(shū)，事件丟失的一箱是數(shù)學(xué)書(shū)，事件丟失的一箱是英語(yǔ)書(shū)，則，，由貝葉斯公式可得.故選：B.5．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個(gè)球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記為第次摸到的是紅球，則，又，，所以，故選：A.6．（2023上·上海·高二上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式中不能判斷事件與事件獨(dú)立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)?所以，由事件相互獨(dú)立意義可知，事件與事件獨(dú)立；故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?又，所以，由選項(xiàng)A可知，事件與事件獨(dú)立；故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?即所以,即事件與事件獨(dú)立，所以事件與事件獨(dú)立，故C正確；故選：D.7．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┫铝杏嘘P(guān)事件的說(shuō)法正確的是（

）A．事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比，中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大B．若，則事件，為對(duì)立事件C．若，為互斥事件，則D．若事件，，滿足條件，和為互斥事件，則【答案】C【解析】對(duì)于A中，若事件和都為不可能事件，此時(shí)兩個(gè)概率相等，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若在不同試驗(yàn)下，雖然有，但事件和不對(duì)立；若在同一試驗(yàn)下，說(shuō)明事件和對(duì)立，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若，互斥，且，對(duì)立，則，若，不對(duì)立，則，所以C正確；對(duì)于D中，若事件，，滿足條件，和為互斥事件，則，所以D錯(cuò)誤，故選：C.8．（2023下·浙江臺(tái)州·高二統(tǒng)考期末）已知，，，，，均大于0，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．B．若，則C．若，則D．【答案】A【解析】對(duì)于A，若相互獨(dú)立，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則,即，所以,故B正確；對(duì)于C，若，則，則，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選:A.多選題9．（2023·吉林長(zhǎng)春·）盒子中有12個(gè)乒乓球，其中8個(gè)白球4個(gè)黃球，白球中有6個(gè)正品2個(gè)次品，黃球中有3個(gè)正品1個(gè)次品．依次不放回取出兩個(gè)球，記事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)A，，，所以,故A正確；對(duì)B，事件“第次取球，取到正品”，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，事件“第次取球，取到正品且第次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黃，正白），（正黃，次白），共有種情況，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，事件“第次取球，取到白球且第次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黃正），（白次，白正），（白次，黃正），共有種情況，，又因?yàn)椋?故D正確；故選：AD.10．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，對(duì)其編號(hào)紅球1，2，白球3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的兩球不同色”，則（

）A．與互斥 B．與互為對(duì)立事件C．與相互獨(dú)立 D．【答案】BC【解析】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12種，事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”；事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵，∴與不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；，，∴與互為對(duì)立事件，故B正確；事件“12，21”，∴，，，，∴與相互獨(dú)立，故C正確；事件“31，41，32，42”，，，∴，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11．（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）若、分別為隨機(jī)事件、的對(duì)立事件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，但與不一定相等，故不一定等于，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，所以，事件、?dú)立，故，D對(duì).故選：BD.12．（2024·河南）深圳某中學(xué)社團(tuán)招新活動(dòng)開(kāi)展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學(xué)計(jì)劃籃球社、足球社、羽毛球社三個(gè)社團(tuán)中各自任選一個(gè)，每人選擇各社團(tuán)的概率均為，且每人選擇相互獨(dú)立，則（

）A．三人選擇社團(tuán)一樣的概率為B．三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為C．至少有兩人選擇籃球社的概率為D．在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，三人選擇社團(tuán)一樣的事件是都選籃球社的事件、都選足球社的事件、都選羽毛球社的事件的和，它們互斥，三人選擇社團(tuán)一樣的概率為，A正確；對(duì)于B，三人選擇社團(tuán)各不相同的事件，是小王從3個(gè)社團(tuán)中任選1個(gè)，小李從余下兩個(gè)中任選1個(gè)，最后1個(gè)社團(tuán)給小張的事件，共6個(gè)不同結(jié)果，因此三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，至少有兩人選擇籃球社的事件是恰有2人選籃球社與3人都選籃球社的事件和，其概率為，C正確；對(duì)于D，令至少有兩人選擇羽毛球社的事件為A，由選項(xiàng)C知，，小王選擇羽毛球社的事件為B，則事件AB是含小王只有2人擇羽毛球社的事件和3人都擇羽毛球社的事件和，其概率，所以在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為，D正確.故選：ACD填空題13．（2024上·山東濰坊·高二昌樂(lè)二中校考期末）已知某地區(qū)內(nèi)狗的壽命超過(guò)15歲的概率是0.6，超過(guò)20歲的概率是0.2.那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過(guò)15歲的狗，壽命能超過(guò)20歲的概率是.【答案】【解析】設(shè)：狗的壽命超過(guò)15歲，：狗的壽命超過(guò)20歲，則所要求的就是.依題意有.又因?yàn)?，所以，從而，因?所以一只壽命超過(guò)15歲的狗，壽命能超過(guò)20歲的概率是，故答案為：.14．（2023上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，對(duì)其編號(hào)紅球1，2，白球3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的兩球不同色”，則以下命題所有正確的序號(hào)是.①A與B互斥

②C與D互為對(duì)立事件③A與C相互獨(dú)立

④【答案】②③【解析】依題意，按取球先后次序排列取球編號(hào)，得試驗(yàn)的樣本空間，事件，事件，事件，事件，顯然事件有公共的基本事件，即不互斥，①錯(cuò)誤；事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，則C與D互為對(duì)立事件，②正確；，事件，，A與C相互獨(dú)立，③正確；，事件，，，④錯(cuò)誤，所以命題中所有正確的序號(hào)是②③.故答案為：②③15．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）甲、乙兩名游客慕名來(lái)到四川旅游，準(zhǔn)備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選一個(gè)．事件甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝．則條件概率；【答案】/【解析】甲、乙兩名游客慕名來(lái)到四川旅游，準(zhǔn)備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選一個(gè)．事件甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝，則事件甲和乙中一人選九寨溝，另一人選峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山中的一個(gè)景點(diǎn)，所以，，由條件概率公式可得.故答案為：.16．（2023下·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率，，若，事件，，分別表示A，B不發(fā)生和至少有一個(gè)發(fā)生，則，.【答案】0.8/0.6/【解析】由題意得，，，，故答案為：0.8；0.6.

解答題17．（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┈F(xiàn)有10個(gè)球，其中5個(gè)球由甲工廠生產(chǎn)，3個(gè)球由乙工廠生產(chǎn)，2個(gè)球由丙工廠生產(chǎn)．這三個(gè)工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個(gè)球中任取1個(gè)球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的”．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)0.81.【解析】（1）依題意，.（2）依題意，，由（1）知，由全概率公式得.18．（2024上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有兩臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)車(chē)床加工的零件次品率為6%，第2臺(tái)車(chē)床加工的零件次品率為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起已知第1臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)與第2臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個(gè).(1)求這個(gè)零件是次品的概率；(2)已知這個(gè)零件是次品，求它是第一臺(tái)車(chē)床加工的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：記事件：第一臺(tái)車(chē)床加工的零件，記事件：第二臺(tái)車(chē)床加工的零件，記事件：這個(gè)零件是次品，由題意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）解：由（1）知，已知這個(gè)零件是次品，它是第一臺(tái)車(chē)床加工的概率為.19．（2023下·福建泉州·高二校考期末）在三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人(1)求這個(gè)人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）此人來(lái)自三個(gè)地區(qū)分別為事件，事件為這個(gè)人患流感，所以，因此；.20．（2023上·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期中）為了考察學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)不透明紙箱．其中，甲