數列新定義解答題專項訓練數列新定義解答題專項訓練1．（2024·廣東韶關·二模）記上的可導函數的導函數為，滿足的數列稱為函數的“牛頓數列”.已知數列為函數的牛頓數列，且數列滿足.(1)求；(2)證明數列是等比數列并求；(3)設數列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【詳解】（1）因為，則，從而有，由，則，則，解得則有，所以；（2）由，則，所以，故（非零常數），且，所以數列an是以2為首項，2為公比的等比數列，所以；（3）由等比數列的前n項和公式得：，因為不等式對任意的恒成立，又且單調遞增，所以對任意的恒成立，令，x∈0,+∞，則，當時，，是減函數，當時，，是增函數，又，且，，，則，當n為偶數時，原式化簡為，所以當時，；當n為奇數時，原式化簡為，所以當時，，所以；綜上可知，.2．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數列稱為an的“生成數列”．(1)若，求其生成數列的前項和；(2)設數列的“生成數列”為，求證：；(3)若是等差數列，證明：存在正整數，當時，，，，是等差數列．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因為關于單調遞增，所以，，于是，的前項和．（2）由題意可知，，所以，因此，即是單調遞增數列，且，由“生成數列”的定義可得．（3）若是等差數列，證明：存在正整數，當時，是等差數列．當是一個常數列，則其公差必等于0，，則，因此是常數列，也即為等差數列；當是一個非常數的等差數列，則其公差必大于0，，所以要么，要么，又因為是由正整數組成的數列，所以不可能一直遞減，記，則當時，有，于是當時，，故當時，，…，因此存在正整數，當時，，…是等差數列．綜上，命題得證．3．（2024·廣東廣州·模擬預測）若無窮項數列滿足（，，為常數，且），則稱數列為“數列”.(1)設，，若首項為1的數列為“數列”，求；(2)若首項為1的等比數列為“數列”，求數列的通項公式及前項和；(3)設，，若首項為1的數列為“數列”，記數列的前項和為，求所有滿足的值.【答案】(1)(2)答案見解析(3)1【詳解】（1）由題意有，，，，則，，，，，，，，，，…一般有，，,所以.（2）數列bn是首項為1的等比數列，設其公比為，又bn為數列，，，當時，，，.有，又，，，于是得，解得，有或，當時，，，bn為數列，當時，，，bn為數列，當時，則，，構成以為公差的等差數列，即，有，解得，于是得，，，bn為數列，所以①當，，是大于1的任意正整數，則，；②當，，，則，.（3）依題意，，，，數列為“數列”，則，，，，，，，，，，，…，，，，是公差為1的等差數列，且,所以且,所以數列是以首項為9，公比為2的等比數列，所以,即,即,所以所以，即，化簡得，代入，等式成立.因為當時，，所以當，方程無解，綜上所述，滿足成立的值為1.4．（2024·廣東·模擬預測）定義：任取數列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為1，則稱數列具有“性質1”.已知項數為的數列的所有項的和為，且數列具有“性質1”.(1)若，且，寫出所有可能的的值；(2)若，證明：“”是“”的充要條件；(3)若，證明：或.【答案】(1)；；(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）依題意，若，此時；若，此時；若，此時.（2）必要性：因為，故數列為等差數列，所以，公差為-1，所以；充分性：由于，累加可得，，即，因為，故上述不等式的每個等號都取到，所以，所以，綜上所述，“”是“”的充要條件.（3）令，依題意，，因為，所以，因為，所以為偶數，所以為偶數；所以要使，必須使為偶數，即4整除，亦即或，當時，比如或，時，有；當時，比如或，時，有；當或時，不能被4整除，.5．（2024·廣東茂名·模擬預測）已知集合，其中且，，若對任意的，都有，則稱集合A具有性質．(1)集合具有性質，求m的最小值；(2)已知A具有性質，求證：；(3)已知A具有性質，求集合中元素個數的最大值，并說明理由．【答案】(1)20(2)證明見解析(3)8，理由見解析【詳解】（1）不妨設，①當時，由，不滿足題意；②當時，由性質定義知：，且，所以m的最小值為20；經檢驗符合題意.（2）由題設，，且，所以，，所以，得證.（3）由（2）知：，同（2）證明得且．故，又，所以在上恒成立，當，取，則，解得，矛盾；當，則，即.經計算集合，綜上，集合A中元素個數的最大值為8．6．（2024·廣東·一模）數值線性代數又稱矩陣計算，是計算數學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂椋ㄆ渲袨榫仃囍械谛械诹械臄?，為求和符號），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數在機器學習等前沿領域有重要的應用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【答案】(1)10(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意得.若，則，即.因式分解得.因為，所以.所以使的的最小值是10.（2）由題得第1對角線上的平方和為，第2對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，所以所以.（3）由題意知，證明等價于證明，注意到左側求和式，將右側含有的表達式表示為求和式有故只需證成立，即證成立，令，則需證成立，記，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.7．（2024·廣東茂名·二模）有無窮多個首項均為1的等差數列，記第個等差數列的第項為，公差為.(1)若，求的值；(2)若為給定的值，且對任意有，證明：存在實數，滿足，；(3)若為等比數列，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由題意得，又，所以；（2）證明：因為，所以，即，所以，因此，所以，又，即，因此，所以存在實數，滿足；（3）證明：因為為等比數列，所以，其中為的公比，于是，當時，，因為，因此，又，所以，因此，即，所以.8．（2024·廣東惠州·一模）約數，又稱因數．它的定義如下：若整數除以整數除得的商正好是整數而沒有余數，我們就稱為的倍數，稱為的約數．設正整數共有個正約數，記為，，…，，（）．(1)當時，若正整數的個正約數構成等比數列，請寫出一個的值；(2)當時，若，，…，構成等比數列，求證：；(3)記，求證：．【答案】(1)或（首項為1，公比為質數的等比數列的第四項均可）(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）（1）當時，正整數的4個正約數構成等比數列，如1，2，4，8為8的所有正約數，即；或1，3，9，27為27的所有正約數，即；或1，5，25，125為125的所有正約數，即；（首項為1，公比為質數的等比數列的第四項均可）（2）由題意可知，，，且，因為，，…，構成等比數列，不妨設其公比為，則，所以，化簡得：，所以，又因為，所以，所以公比，所以，又因為，，所以，又因為，所以；（3）由題意知，，，，，所以，因為，，，所以，因為，，所以所以，即．9．（2024·廣東廣州·模擬預測）若集合的非空子集滿足：對任意給定的，若，有，則稱子集是的“好子集”.記為的好子集的個數.例如：的7個非空子集中只有不是好子集，即.記表示集合的元素個數.(1)求的值；(2)若是的好子集，且.證明：中元素可以排成一個等差數列；(3)求的值.【答案】(1)11(2)證明見解析(3)6【詳解】（1）的全部非空子集為，，，，，，，，，，，，，，，其中好子集有，，，，，，，，，，，共有11個.所以.（2）將的元素從小到大排列，即，，其中.首先對任意的，若和奇偶性相同，則，所以，而，集合中和中間沒有項，故產生矛盾!即對任意的，和奇偶性相反，則對任意的，和奇偶性必相同，于是由題意，因，則，而且，所以.即對任意的，，即.由的任意性知，是一個等差數列.（3）記.首先證明中包含1的好子集個數為.的好子集分為兩類：包含1的和不包含1的.因為中不包含1的好子集每個元素均減去1即為的好子集，的每個好子集每個元素均加上1即為的好子集，所以的不包含1的好子集與的好子集一一對應，其個數為.故包含1的好子集個數為.同理可證：中包含1的好子集個數為，這也恰是中包含1但不包含的好子集個數.于是中包含1且包含的好子集的個數為故題目所求的為的包含1，2024的所有好子集的個數.顯然，是好子集.若好子集中除了1，2024外至少還有一個元素，則由（2）可知，中元素從小到大排列可以構成一個等差數列，設為.設公差為，因為，而，所以為的小于的正約數，故.而每一個都唯一對應一個的包含1，2024的好子集，這樣的子集有5個.因此.10．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知是各項均為正整數的無窮遞增數列，對于，定義集合，設為集合中的元素個數，特別規(guī)定：若時，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數列是等差數列，求數列的通項公式；(3)設集合，，求證：且．【答案】(1)，，；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）因為，所以，，由得，，所以，由得，，所以；（2）由題可知，所以，即，若，則，，所以，，與bn是等差數列矛盾，所以，設，因為an是各項均為正整數的遞增數列，所以，假設存在使得，設，由得，由得，，與bn是等差數列矛盾，所以對任意都有，所以數列an是等