第第頁第四章三角函數(shù)、解三角形第四講正、余弦定理及解三角形練好題·考點(diǎn)自測1.[2024全國卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則cosB=()A.19 B.13 C.12.[2024山東,9,5分][理]在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿意sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形()A.無解 B.有一解C.有兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定4.下列說法正確的是(△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c)()①在△ABC中,若A>B,則必有sinA>sinB;②在△ABC中,若b2+c2>a2,則△ABC為銳角三角形;③在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,則B=45°或B=135°;④若滿意條件C=60°,AB=3,BC=a的△ABC有兩個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,2);⑤在△ABC中,若acosB=bcosA,則△ABC是等腰三角形.A.①③④⑤ B.①②③④C.①④⑤ D.①③⑤5.[2024全國卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,則△ABC的面積為6.[2024浙江,14,6分]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

7.[2024全國卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=8.[2024深圳市高三統(tǒng)一測試]在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,則△ABC的外接圓面積為.

9.[湖北高考,5分][理]如圖4-4-1,一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛,到A處時(shí)測得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

圖4-4-1拓展變式1.(1)[2024江淮十校聯(lián)考]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2asinA-bsinB=2csinC,cosA=14,則sinBsinC=(A.4 B.3 C.2 D.1(2)在銳角三角形ABC中,b=2,a+c=7(a>c),且滿意2asinBcosC+2csinBcosA=3b,則a-c=.

2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,(1)若cb<cosA,則△ABC的形態(tài)為(2)若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC的形態(tài)為.

3.[2024河南洛陽4月模擬]在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)若△ABC的面積S滿意43S+c2=a2+b2,c=7,a=4,且b>c,求b的值;(2)若a=3,A=π3,且△ABC為銳角三角形,求△ABC周長的取值范圍4.[2024全國卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.5.(1)[解三角形與數(shù)列、基本不等式綜合]設(shè)△ABC的角A,B,C成等差數(shù)列,且滿意sin(A-C)-sinB=-32,BC延長線上有一點(diǎn)D,滿意BD=2,則△ACD面積的最大值為(A.1 B.34 C.32 D.(2)[新課標(biāo)全國Ⅰ,5分][理]在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是.

6.[2024山東,15,5分]某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖4-4-6所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2圖4-4-6答案第四講正、余弦定理及解三角形1.A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=16+9-2×4×3×23=9,AB=3,所以cosB=9+9-2.A由題意可知sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),即2sinBcosC=sinAcosC,又cosC≠0,故2sinB=sinA,由正弦定理可知a=2b.故選A.3.C∵bsinA=122<a<b,∴三角形有兩解.4.C對(duì)于①,在△ABC中,若A>B,則a>b,a2R>b2R(R為△ABC的外接圓的半徑),即sinA>sinB,①正確;對(duì)于②,在△ABC中,若b2+c2>a2,則A是銳角,但△ABC不肯定是銳角三角形,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由asinA=bsinB得sinB=basinA=4243×32=22,因?yàn)閍>b,所以B<A,所以B=45°,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由條件可得BCsinC<AB<BC,即32a<3<a,解得3<a<2,④正確;對(duì)于⑤,由acosB=bcosA得sinAcosB=sin5.63因?yàn)閍=2c,b=6,B=π3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccosπ3,得c=23,所以a=43,所以△ABC的面積S=12acsinB=12×43×23×sin6.12257210在Rt△ABC中,易得AC=5,sinC=ABAC=45.在△BCD中,由正弦定理得BD=BCsin∠BDC×sin∠BCD=322×45=1225,sin∠DBC=sin[180°-(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)=sin∠BCDcos∠7.2113解法一因?yàn)閏osA=45,cosC=513,所以sinA=35,sinC=1213,從而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35×5解法二因?yàn)閏osA=45,cosC=513,所以sinA=35,sinC=1213,從而cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=-45×513由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=2113解法三因?yàn)閏osA=45,cosC=513,所以sinA=35,sinC由正弦定理asinA=csin從而b=acosC+ccosA=21138.43π利用正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=12,因?yàn)?°<B<180°,所以B=60°.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則由正弦定理知,2R=bsinB9.1006由題意,得∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC中,因?yàn)椤螦BC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°.因?yàn)锳B=600m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC=3002m.在Rt△BCD中,因?yàn)椤螩BD=30°,BC=3002m,所以tan30°=CD1.(1)D因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2asinA-bsinB=2csinC,利用正弦定理將角化為邊可得2a2-b2=2c2①,由①及余弦定理可得cosA=b2+c2-a(2)3因?yàn)?asinBcosC+2csinBcosA=3b,所以2sinAsinBcosC+2sinCsinBcosA=3sinB.在銳角三角形ABC中,sinB>0,所以2sinAcosC+2sinCcosA=3,即sin(A+C)=32,所以sinB=32,cosB=12.因?yàn)閎2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,所以ac=1.因?yàn)?a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且a>c,所以a-c2.(1)鈍角三角形已知cb<cosA,由正弦定理,得sinCsinB<cosA,即sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,即B(2)等腰三角形或直角三角形因?yàn)閏-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,又C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B),所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=π2或B=A(B=π-A舍去),所以△ABC為等腰三角形或直角三角形3.(1)因?yàn)?3S=a2+b2-c2,所以43×12absinC=2ab所以tanC=33,又0<C<π,所以C=π由余弦定理及c=7,a=4,得cosπ6=16+b2-78b因?yàn)閎>c=7,所以b=33.(2)由正弦定理及a=3,A=π3得3故b=2sinB,c=2sinC=2sin(2π3-B)則△ABC的周長為3+2sinB+2sin(2π3-B)=3+3cosB+3sinB=3+23sin(B+由題意可知0<B<π2,0<所以π3<B+π故32<sin(B+π因此三角形ABC周長的取值范圍為(3+3,33].4.(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin由題設(shè)知,5sin45°=2sin∠由題設(shè)知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2×BD×DC×cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25,所以5.(1)B因?yàn)椤鰽BC的角A,B,C成等差數(shù)列,所以B=π3,又sin(A-C)-sinB=-32,所以A=B=C=π3,設(shè)△ABC的邊長為x,由已知有0<x<2,則S△ACD=12x(2-x)sin2π3=34x(2-x)≤34(x+2-x(2)(6-2,6+2)如圖D4-4-1,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直線AD分別交線段PB,PC于A,D兩點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且使∠BAD=75°,則四邊形ABCD就是符合題意的四邊形.過C作AD的平行線交PB于點(diǎn)Q,在△PBC中,可求得BP=6+2,在△QBC中,可求得BQ=6-2圖D4-4-16.5π2+4如圖D4-4-2,