第4章數列綜合能力測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在數列中，，，，則的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【解析】在數列中，，，，，，．故選：B．2．數列{an}：1，，，，…，的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】觀察數列{an}各項，可寫成：，選項D滿足，選項A中，，選項B中，，選項C中，，均不符合題意．故選：D3．在數列中，，，，則18是數列中的（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【解析】由，得是首項為2，公差為4的等差數列，所以，令，解得，所以18是數列中的第5項．故選：C4．設數列滿足，，則（

）A．2 B． C． D．-3【答案】C【解析】，，，，所以數列是周期為的周期數列，，所以.故選：C5．《九章算術》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數學專著，全書總結了戰(zhàn)國?秦?漢時期的數學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數依次為等差數列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問各得多少錢？”則第1人比第3人多得錢數為（

）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢【答案】B【解析】設從前到后的5個人所得錢數構成首項為，公差為的等差數列，則有，，故，解得，則，故選：B.6．設等差數列的前n項和為，該數列是單調遞增數列，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為等差數列是單調遞增數列，設的公差為，，且，則，，即①，，即，所以②，由①②可得，，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故選：A7．記為等比數列的前項和，且成等差數列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【解析】設等比數列的公比為，則，由題意可得，即，整理得，則，解得，所以.故選：A.8．已知數列滿足是數列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設，且，所以，即，當且時，是首項為1，公比為2的等比數列，則；當且時，是首項為2，公比為2的等比數列，則；.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列命題是錯誤的是（

）A．等比數列的單調性只與q的正負有關B．為a，b的等比中項C．等比數列前n項和為D．如果數列是等差數列，那么，，仍是等差數列【答案】ABC【解析】對選項A，由知，等比數列的單調性不只與的正負有關，還與首項的符號，以及與1的大小等有關，A選項錯誤；對選項B，當時，滿足，但此時不是a，b的等比中項，B選項錯誤；對選項C，當時，公式不成立，C選項錯誤；對選項D，由等差數列的性質可知，數列是等差數列，那么，，仍是等差數列，D選項正確.故選：ABC10．已知等差數列的公差，則下列四個命題中真命題為（

）A．數列是遞增數列 B．數列是遞增數列C．數列是遞增數列 D．數列是遞增數列【答案】AD【解析】對于A，等差數列的公差，則數列是遞增數列，正確；對于B，不妨取，則不是遞增數列，B錯誤；對于C，不妨取，則不是遞增數列，C錯誤；對于D，由于等差數列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數列是遞增數列，D正確，故選：AD11．已知為各項為正數的等比數列，，.記是數列的前項和，是數列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．數列的公比為2 B．C．數列為等差數列 D．數列的前項和為【答案】ABC【解析】對于A：已知數列為各項為正數的等比數列，，所以，解得；故A正確；對于B：由條件得：，所以，故也為等比數列，且公比為4，故，，所以，故B正確；對于C：由于（常數），故C正確；對于D:，故，故D錯誤．故選：ABC．12．設等差數列的公差為d，前項和為，若，則下列結論正確的是（

）A．數列是遞增數列 B．C． D．數列中最大項為第6項【答案】BCD【解析】對于選項A、C：因為，，則，，又因為，則，解得所以等差數列是遞減數列，故A錯誤，C正確；對于選項B：因為，所以，故B正確；對于選項D：因為等差數列是遞減數列，且，，則，所以數列中最大項為第6項，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和，的通項公式為.【答案】【解析】當時，，當時，，不適合上式，故的通項公式為，故答案為：14．在數列中，若，，則的通項公式為.【答案】【解析】在數列中，，，因此數列是常數列，則，所以的通項公式為.故答案為：15．“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數，依次構成的數列的第項，則的值為.

【答案】【解析】根據題意：，，，,利用疊加法：，由，.所以，則.故答案為：16．數列的首項，且對任意，恒成立，則．【答案】【解析】依題意可得，得，又，則，所以，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，即，所以．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知數列是等差數列，其中，．(1)求數列的通項公式，并畫出它的圖象．(2)數列從哪一項開始小于0．(3)求數列前n項和的最大值，并求出對應n的值．【解析】（1）由題意數列的通項公式為，其函數圖象如圖所示：（2）由（1）可知，令，解得，所以數列從第5項開始小于0．（3）由（1）可知，所以其前項和為，而二次函數的對稱軸為，和它最接近的整數為4，因此當時，數列前n項和有最大值.18．（12分）數列的前n項和為，對任意，點在直線上.(1)求.(2)求的最小值及此時n的值.【解析】（1）因為在上，可得，所以，則，所以數列是等差數列，所以.（2）由數列的通項公式為，令，解得且，即當時，；當時，；時，，所以當或時，的最小值為.19．（12分）已知數列的前項和為，若．(1)求數列通項公式；(2)若，求數列的前項和．【解析】（1）因為，當時，，所以時，，由①②相減可得，，，當時，不相符，故的通項公式為：．（2）因為，所以，當時，；當時，，由（1）中結論可知，當時，；當時，，從而．20．（12分）設數列的前n項和為，若．(1)求證：是等比數列，并求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【解析】（1）因為，，所以，解得，當時，，所以，所以，即．因為也滿足上式，所以是首項為1，公比為2的等比數列，所以；（2）由（1）知，所以，所以，①則，②①-②得＝＝，所以．21．（12分）已知正項數列，對任意，都有為數列的前項和．(1)求數列的通項公式；(2)設，若數列是遞增數列，求實數的取值范圍．【解析】（1）因為，故，故，整理得到，因為，故，故，故為等差數列，而，故（舍）或，故.（2）由（1）可得，因為是遞增數列，故，故，整理得到：，故，當為正奇數時，故恒成立，故；當為正偶數時，故恒成立，故；故.22．（12分）數列滿足為正整數.(1)試確定實數的值，使得數列為等差數列；(2)當數列為等差數列時，等比數列的通項公式為，對每個正整數，在和之間插入個2，得到一個新數列，設是數列的前項和，試求滿足的所有正整數.【解析】（1）由，得，于是，由，可得，此時，由知：此時數列為等差數列