專題09解析幾何專題（數(shù)學文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形SKIPIF1<0截某圓錐得到橢圓SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與矩形SKIPIF1<0的四邊相切.設橢圓SKIPIF1<0在平面直角坐標系中的方程為SKIPIF1<0，下列選項中滿足題意的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題得SKIPIF1<0，再判斷選項得解.【詳解】解：矩形SKIPIF1<0的四邊與橢圓相切，則矩形的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.只有選項A符合.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現(xiàn)代風格融為一體，呈現(xiàn)出新時代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運五環(huán)，不僅象征五大洲的團結，而且強調(diào)所有參賽運動員應以公正、坦誠的運動員精神在比賽場上相見．其中奧運五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設五個圓的圓心分別為SKIPIF1<0，若雙曲線C以SKIPIF1<0為焦點、以直線SKIPIF1<0為一條漸近線，則C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，求出雙曲線漸近線的方程，結合離心率的意義計算作答.【詳解】依題意，以點SKIPIF1<0為原點，直線SKIPIF1<0為x軸建立平面直角坐標系，如圖，點SKIPIF1<0，設雙曲線C的方程為SKIPIF1<0，其漸近線為SKIPIF1<0，因直線SKIPIF1<0為一條漸近線，則有SKIPIF1<0，雙曲線C的離心率為SKIPIF1<0.故選：B3．（2022春·云南曲靖·高二校考開學考試）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙），則橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑．【詳解】解：由蒙日圓的定義，可知橢圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0在圓上，所以蒙日圓的半徑SKIPIF1<0.故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習）我們把離心率為SKIPIF1<0的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓C為“最美橢圓”，且以橢圓C上一點P和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的最大值得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得到橢圓C的方程.【詳解】解：由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0.故選：D．5．（2022秋·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上的兩個定點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一個動點，當SKIPIF1<0在何處時，SKIPIF1<0最大?問題的答案是：當且僅當SKIPIF1<0的外接圓與邊SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸正半軸上的一動點，當SKIPIF1<0最大時，點SKIPIF1<0的縱坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】由米勒定理確定SKIPIF1<0的外接圓與SKIPIF1<0軸的位置關系，再應用垂徑定理、直線與圓關系確定圓心和半徑，進而寫出SKIPIF1<0的外接圓的方程，即可求SKIPIF1<0的縱坐標.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸正半軸上的一動點，根據(jù)米勒定理知，當SKIPIF1<0的外接圓與SKIPIF1<0軸相切時，SKIPIF1<0最大，由垂徑定理知，弦SKIPIF1<0的垂直平分線必過SKIPIF1<0的外接圓圓心，所以弦SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，故弦SKIPIF1<0中點的橫坐標即為SKIPIF1<0的外接圓半徑的大小，即SKIPIF1<0，由垂徑定理得圓心為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圓的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的縱坐標為SKIPIF1<0.故選：C6．（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中校考期中）德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運行軌道是橢圓，已知地球運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，若軌道近日點到太陽中心的距離和遠日點到太陽中心的距離之比為SKIPIF1<0，那么地球運行軌道所在橢圓的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，進而即得.【詳解】設橢圓的長半軸長為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此地球運行軌道所在橢圓的離心率是SKIPIF1<0．故選：D.7．（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點SKIPIF1<0是銳角SKIPIF1<0的一邊SKIPIF1<0上的兩點，試在SKIPIF1<0邊上找一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0最大.”如圖，其結論是：點SKIPIF1<0為過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點且和射線SKIPIF1<0相切的圓與射線SKIPIF1<0的切點.根據(jù)以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，給定兩點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上移動，當SKIPIF1<0取最大值時，點SKIPIF1<0的橫坐標是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．1或SKIPIF1<0 D．1或SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用米勒問題的結論，將問題轉(zhuǎn)化為點SKIPIF1<0為過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點且和SKIPIF1<0軸相切的圓與SKIPIF1<0軸的切點，求出切點的橫坐標即可.【詳解】由題意知，點SKIPIF1<0為過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點且和SKIPIF1<0軸相切的圓與SKIPIF1<0軸的切點，線段SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，所以以線段SKIPIF1<0為弦的圓的圓心在線段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0上，所以可設圓心坐標為SKIPIF1<0，又因為圓與SKIPIF1<0軸相切，所以圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即切點分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，由于圓上以線段SKIPIF1<0（定長）為弦所對的圓周角會隨著半徑增大而圓周角角度減小，，且過點SKIPIF1<0的圓的半徑比過SKIPIF1<0的圓的半徑大，所以SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0為所求，所以當SKIPIF1<0取最大值時，點SKIPIF1<0的橫坐標是1.故選：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中?？计谀┕?世紀，古希臘數(shù)學家梅內(nèi)克繆斯利用垂直于母線的平面去截頂角分別為銳角、鈍角和直角的圓錐，發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線.之后，數(shù)學家亞理士塔歐、歐幾里得、阿波羅尼斯等都對圓錐曲線進行了深入的研究.直到3世紀末，帕普斯才在其《數(shù)學匯編》中首次證明：與定點和定直線的距離成定比的點的軌跡是圓錐曲線，定比小于、大于和等于1分別對應橢圓、雙曲線和拋物線.已知SKIPIF1<0是平面內(nèi)兩個定點，且|AB|=4，則下列關于軌跡的說法中錯誤的是（

）A．到SKIPIF1<0兩點距離相等的點的軌跡是直線B．到SKIPIF1<0兩點距離之比等于2的點的軌跡是圓C．到SKIPIF1<0兩點距離之和等于5的點的軌跡是橢圓D．到SKIPIF1<0兩點距離之差等于3的點的軌跡是雙曲線【答案】D【分析】判斷到SKIPIF1<0兩點距離相等的點的軌跡是SKIPIF1<0連線的垂直平分線，判斷A;建立平面直角坐標系，求出動點的軌跡方程，可判斷B;根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可判斷SKIPIF1<0.【詳解】對于A，到SKIPIF1<0兩點距離相等的點的軌跡是SKIPIF1<0連線的垂直平分線，正確；對于B，以SKIPIF1<0為x軸，SKIPIF1<0的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，設動點SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，化簡為SKIPIF1<0，即此時點的軌跡為圓，B正確；對于C，不妨設動點P到SKIPIF1<0兩點距離之和等于5，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故到SKIPIF1<0兩點距離之和等于5的點的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，C正確；對于D，設動點P到SKIPIF1<0兩點距離之差等于3，即SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0，故到SKIPIF1<0兩點距離之差等于3的點的軌跡是雙曲線靠近B側的一支，D錯誤，故選：D9．（2021秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明．他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當SKIPIF1<0時，軌跡為橢圓；當SKIPIF1<0時，軌跡為拋物線；當SKIPIF1<0時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程SKIPIF1<0表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】將原方程兩邊同時開平方，結合兩點得距離公式和點到直線的距離公式，以及圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可得關于SKIPIF1<0的不等式，從而可得出答案.【詳解】解：由方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得動點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0和定直線SKIPIF1<0的距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0，由雙曲線得定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.10．（2022·全國·高三專題練習）如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家Germinaldandelin（SKIPIF1<0）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面?截面相切，兩個球分別與截面相切于SKIPIF1<0，在截口曲線上任取一點SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作圓錐的母線，分別與兩個球相切于SKIPIF1<0，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離SKIPIF1<0是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以SKIPIF1<0為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為SKIPIF1<0的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源SKIPIF1<0，則球在桌面上的投影是橢圓，已知SKIPIF1<0是橢圓的長軸，SKIPIF1<0垂直于桌面且與球相切，SKIPIF1<0，則橢圓的焦距為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設球SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切與點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，利用二倍角正切公式可得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求得焦距.【詳解】設球SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切與點SKIPIF1<0，作出軸截面如下圖所示，由題意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓的焦距為SKIPIF1<0.故選：C.11．（2022·全國·高三專題練習）阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積．當我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率SKIPIF1<0與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，兩個焦點分別為SKIPIF1<0，點P為橢圓C的上頂點．直線SKIPIF1<0與橢圓C交于A，B兩點，若SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，則橢圓C的長軸長為（

）A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意得到方程組SKIPIF1<0①和SKIPIF1<0②，即可解出a、b，求出長軸長.【詳解】橢圓的面積SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①.因為點P為橢圓C的上項點，所以SKIPIF1<0.因為直線SKIPIF1<0與橢圓C交于A，B兩點，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入整理化簡得：SKIPIF1<0②①②聯(lián)立解得：SKIPIF1<0.所以橢圓C的長軸長為2a=6.故選：B12．（2022秋·北京·高二北京工業(yè)大學附屬中學?？计谥校┲麛?shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：SKIPIF1<0可以轉(zhuǎn)化為平面上點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的距離.結合上述觀點，可得SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】記點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，數(shù)形結合可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】因為SKIPIF1<0，記點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點時，等號成立，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中學?？茧A段練習）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【分析】根據(jù)5顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E并確定∠OO3E的大小，即可知AB所在直線的傾斜角.【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點，∴OO3平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為36°知：∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.故選：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中學校聯(lián)考期中）在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為SKIPIF1<0，若將軍從點SKIPIF1<0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為SKIPIF1<0，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即認為回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求出將軍出發(fā)點SKIPIF1<0關于河岸所在直線的對稱點SKIPIF1<0，再連接SKIPIF1<0交河岸所在直線于點SKIPIF1<0，則由對稱性可知SKIPIF1<0為最短距離，求解即可．【詳解】解：如圖，設SKIPIF1<0關于河岸線所在直線SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，根據(jù)題意，設軍營所在區(qū)域為以圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的圓上和圓內(nèi)所有點，SKIPIF1<0為最短距離，先求出SKIPIF1<0的坐標，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為1，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學校聯(lián)考期中）國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設內(nèi)層橢圓方程為SKIPIF1<0，則外層橢圓方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），分別列出過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由SKIPIF1<0分別轉(zhuǎn)化出SKIPIF1<0的表達式，結合SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關系式，齊次化可求離心率.【詳解】設內(nèi)層橢圓方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因為內(nèi)、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設成SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），設切線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，設切線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故選：D二、多選題16．（2020秋·重慶巴南·高二重慶市實驗中學?？茧A段練習）2020年11月24日，我國在中國文昌航天發(fā)射場，用長征五號遙五運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，它將首次帶月壤返回地球，我們離月球的“距離”又近一步了.已知點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，若某直線上存在點SKIPIF1<0，使得點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離比到直線SKIPIF1<0的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論正確的是（

）A．點SKIPIF1<0的軌跡曲線是一條線段B．SKIPIF1<0不是“最遠距離直線”C．SKIPIF1<0是“最遠距離直線”D．點SKIPIF1<0的軌跡與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是沒有交會的軌跡SKIPIF1<0即兩個軌跡沒有交點SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】由題意結合拋物線的定義可得點SKIPIF1<0的軌跡，可以判斷選項A，根據(jù)拋物線的曲線性質(zhì)可判斷選項D，對于選項B和C，結合題意可知，判斷直線是否是“最遠距離直線”,只需要聯(lián)立拋物線與直線方程，通過判斷方程是否有解即可.【詳解】由題意可得：點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離比等于點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，由拋物線的定義可知，點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點的拋物線，即：SKIPIF1<0，故A選項錯誤；對于選項B和C：判斷直線是不是“最遠距離直線”，只需要判斷直線與拋物線SKIPIF1<0是否有交點，所以聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0可得方程SKIPIF1<0，易得方程SKIPIF1<0無實根，故選項B正確；同理，通過聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0可得方程SKIPIF1<0，易得方程SKIPIF1<0有實根，故選項C正確；由于拋物線SKIPIF1<0與其準線SKIPIF1<0沒有交點，所以選項D正確；故選：BCD.【點睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，SKIPIF1<0等于焦點到拋物線頂點的距離．而拋物線的定義是我們解題的關鍵，牢記這些對解題非常有益．17．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與SKIPIF1<0相關的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0之間的距離的幾何問題.結合上述觀點，對于函數(shù)SKIPIF1<0，下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0無解 B．SKIPIF1<0的解為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為2SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為2SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結合橢圓的定義和性質(zhì)分別進行判斷即可．【詳解】解：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即橢圓方程為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故A錯誤，B正確，SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0三點共線時，SKIPIF1<0最小，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無最大值，故C正確，D錯誤，故選：BC.18．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）(多選)如圖所示，“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，下列式子正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0<SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根據(jù)題意得SKIPIF1<0，再結合不等式的性質(zhì)即可得答案.【詳解】觀察圖形可知SKIPIF1<0，即A不正確；SKIPIF1<0，即B正確；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0,即：SKIPIF1<0,即D正確，C不正確．故選：BD【點睛】本題考查知識的遷移與應用，考查分析問題與處理問題的能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于由圖知SKIPIF1<0，進而根據(jù)不等式性質(zhì)討論求解.19．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)學家稱SKIPIF1<0為黃金比，記為ω.定義：若橢圓的短軸與長軸之比為黃金比ω，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.以橢圓中心為圓心，半焦距長為半徑的圓稱為焦點圓.若黃金橢圓”：SKIPIF1<0與它的焦點圓在第一象限的交點為Q，則下列結論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．黃金橢圓離心率SKIPIF1<0C．設直線OQ的傾斜角為θ，則SKIPIF1<0 D．交點Q坐標為(b,ωb)【答案】AC【分析】A：由方程SKIPIF1<0的根可判斷正誤；B：由題設SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓參數(shù)關系及離心率SKIPIF1<0即可判斷正誤；C：由圓的性質(zhì)有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結合同角平方關系、倍角正弦公式可判斷正誤；D：由C易得Q點縱坐標為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即可判斷正誤.【詳解】A：方程SKIPIF1<0的一個根為SKIPIF1<0，正確；B：由題意知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，錯誤；C：易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，正確；D：由SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0知：Q點縱坐標為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)黃金橢圓、焦點圓定義及橢圓參數(shù)關系，計算離心率、夾角正弦值以及判斷交點坐標.20．（2022·全國·高二假期作業(yè)）1765年，數(shù)學家歐拉在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線就是后人所說的“歐拉線”.已知SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0，重心SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0為等邊三角形C．歐拉線方程為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0外接圓的方程為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)重心公式計算得到A正確；計算SKIPIF1<0得到B錯誤；計算線段SKIPIF1<0垂直平分線的方程得到C正確；計算外接圓圓心為SKIPIF1<0，得到圓方程，D正確，得到答案.【詳解】SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，設SKIPIF1<0，由重心坐標公式SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，選項A正確；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是等邊三角形，故選項B錯誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心?重心?垂心都位于線段SKIPIF1<0的垂直平分線上，SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點的坐標為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0所在直線的斜率SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0垂直平分線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的歐拉線方程為SKIPIF1<0，故選項C正確；因為線段SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的垂直平分線與線段SKIPIF1<0的垂直平分線的交點，所以交點SKIPIF1<0的坐標滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，外接圓半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓方程為SKIPIF1<0，故選項D正確.故選：ACD.21．（2023秋·江蘇南京·高二?？计谀┕畔ＥD著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記點SKIPIF1<0的軌跡為圓SKIPIF1<0，又已知動圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.則下列說法正確的是（

）A．圓SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0變化時，動點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，過直線SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0引圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0使得圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切【答案】ABC【分析】對于A根據(jù)“阿波羅尼斯圓”的定義列式化簡即可；對于B，設圓心SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0即可得到圓心SKIPIF1<0的估計方程；對于C，因為SKIPIF1<0是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)找出SKIPIF1<0的最大值，再得出SKIPIF1<0的最大值；對于D，根據(jù)兩點間的距離公式計算出SKIPIF1<0范圍，再根據(jù)兩圓內(nèi)切條件判斷即可.【詳解】.解：設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0化簡整理得：SKIPIF1<0.故A正確；設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故B正確；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最大，只需SKIPIF1<0最小.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故C正確；因為SKIPIF1<0，若兩圓內(nèi)切有SKIPIF1<0，故不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故D錯誤.故選:ABC22．（2022秋·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學?？计谀╇p紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布﹒伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，把到定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距離之積等于SKIPIF1<0的點的軌跡稱為雙紐線SKIPIF1<0.已知點SKIPIF1<0是雙紐線SKIPIF1<0上一點，下列說法中正確的有（

）A．雙紐線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱 B．SKIPIF1<0C．雙紐線SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0有兩個 D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對A，設動點SKIPIF1<0，則對稱點SKIPIF1<0代入軌跡方程，顯然成立；對B，根據(jù)SKIPIF1<0的面積范圍證明；對C，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在y軸上，代入軌跡方程求解；對D，根據(jù)余弦定理分析SKIPIF1<0中的邊長關系，進而利用三角形的關系證明即可.【詳解】對A，設動點SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0把SKIPIF1<0關于x軸對稱的點SKIPIF1<0代入軌跡方程，顯然成立，故A正確；對B，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故B正確；對C，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中垂線即y軸上．故此時SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，僅有一個，故C錯誤；對D，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線時取等號．故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D正確．故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題考查了動點軌跡方程的性質(zhì)判定，因為軌跡方程比較復雜，故在作不出圖像時，需要根據(jù)題意求出動點的方程進行對稱性分析，同時結合解三角形的方法對所給信息進行辨析.三、填空題23．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀┯图垈闶侵袊鴤鹘y(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史．為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示．該傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為SKIPIF1<0，當陽光與地面夾角為SKIPIF1<0時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率SKIPIF1<0_____________．【答案】SKIPIF1<0##0.5【分析】由傘沿半徑及圓心到傘柄底端的距離，得傘柄與地面夾角為SKIPIF1<0，陽光光線與傘柄平行，易得橢圓長半軸，短半軸的長，可求出離心率.【詳解】因為傘沿是半徑為2的圓，圓心到傘柄底端的距離為SKIPIF1<0，設傘柄與地面的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即陽光光線與傘柄平行，所以橢圓長半軸SKIPIF1<0，短半軸SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.24．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標球之間，設置障礙，使得本球不能直接擊打目標球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需經(jīng)過邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩次反彈后擊打目標球N，點M到SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，點N到SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，將M，N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】以C為原點，SKIPIF1<0邊分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，寫出SKIPIF1<0的坐標，求出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點SKIPIF1<0的坐標，SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點SKIPIF1<0的坐標，則直線SKIPIF1<0方向為本球射出方向，利用斜率公式和誘導公式可求出結果.【詳解】以C為原點，SKIPIF1<0邊分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖，則SKIPIF1<0，N關于x軸的對稱點為SKIPIF1<0關于y軸的對稱點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0方向為本球射出方向，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.25．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）大約在2000多年前，我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”，意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．這個定義比希臘數(shù)學家歐幾里得給圓下定義要早100多年．已知直角坐標平面內(nèi)有一點SKIPIF1<0和一動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0將動點SKIPIF1<0的軌跡分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】過定點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0將動點SKIPIF1<0的軌跡分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，圓心到直線SKIPIF1<0的距離最遠，即為圓心到M的距離.此時，直線l與CM垂直，由SKIPIF1<0可得答案.【詳解】依題意可知，動點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi).當劣弧所對的圓心角最小時，SKIPIF1<0.因為直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以所求直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.26．（2022秋·湖南·高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓SKIPIF1<0，則該橢圓的面積為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)橢圓方程求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，依題意橢圓的面積SKIPIF1<0，從而計算可得.【詳解】解：對于橢圓SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以橢圓的面積SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<027．（2022·廣東韶關·統(tǒng)考一模）我們知道距離是衡量兩點之間的遠近程度的一個概念.數(shù)學中根據(jù)不同定義有好多種距離.平面上，歐幾里得距離是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩點間的直線距離，即SKIPIF1<0.切比雪夫距離是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩點中橫坐標差的絕對值和縱坐標差的絕對值中的最大值，即SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的動點，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點）兩點之間的歐幾里得距離最小時，其切比雪夫距離為___________.【答案】6【分析】由條件確定SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩點之間的歐幾里得距離的最小值及對應的點SKIPIF1<0的位置，再根據(jù)切比雪夫距離的定義求解即可.【詳解】因為點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動點，要使SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點之間的切比雪夫距離為6.故答案為：6.28．（2022·全國·高二假期作業(yè)）中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心SKIPIF1<0的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為______厘米．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)離心率SKIPIF1<0可求出雙曲線方程，再將橫坐標代入可得縱坐標.【詳解】依題意知：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又瓶口直徑為20厘米，SKIPIF1<0代入雙曲線方程得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0高為20厘米故答案為：2029．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等領域，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，SKIPIF1<0是饋源的方向角，記為SKIPIF1<0，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值SKIPIF1<0稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角SKIPIF1<0，則其焦徑比為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】理解題意，根據(jù)拋物線有關知識求解【詳解】設拋物線的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0