第二十四章

圓24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系第4課時

直線和圓的位置關(guān)系——切線長1課堂講解切線長定理三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)心2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了切線的判定和性質(zhì)，已知⊙O和⊙O外一點P，你能夠過點P畫出⊙O的切線嗎？1.猜想：圖中的線段PA與PB有什么關(guān)系？2.圖中還有哪些量？猜想它們之間有什么關(guān)系？1知識點切線長定理下面研究經(jīng)過圓外一點所作的兩條切線之間的關(guān)系.如圖，過圓外一點P有兩條直線PA,PB分別與⊙O相切.經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.知1－講知1－講如圖，連接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.總

結(jié)知1－講（來自教材）由此得到切線長定理：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

例1

如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C是

AB上一點，過點C作⊙O的切線分別交PA，PB于點

D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半徑為，則△PDE的周長為______，∠DOE的度數(shù)為______．知1－講⌒660°（來自《點撥》）知1－講導(dǎo)引：如圖，連接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切線長定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周長可轉(zhuǎn)化為PA＋PB，即2PA.又由切線長定理易得∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，∴∠DOE＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB.由∠APB＝60°得∠APO＝30°，又∵AO＝，由切線的性質(zhì)得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴PO＝2，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.∴PA＝＝3，∠DOE＝∠AOB＝60°.總

結(jié)知1－講（來自《點撥》）利用切線長定理進(jìn)行幾何計算時，要注意構(gòu)成切線長定理的基本圖形，作過切點的半徑、連接圓外一點與圓心是常用的作輔助線的方法．由于切線長定理涉及的線段、角較多，因此熟記基本圖形的相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵，而三角形的有關(guān)性質(zhì)在解決有關(guān)切線問題時，也起到了很好的輔助作用．1下列說法正確的是(

)

A．過任意一點總可以作圓的兩條切線

B．圓的切線長就是圓的切線的長度

C．過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等

D．過圓外一點所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑知1－練（來自《典中點》）2如圖，從圓O外一點P引圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長是()A．4B．8C．4D．8知1－練（來自《典中點》）2知識點三角形的內(nèi)切圓知2－導(dǎo)圖是一塊三角形的鐵片，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使截下來的圓與三角形的三條邊都相切？知2－導(dǎo)歸

納如圖，分別作∠B，∠C的平分線BM和CN，設(shè)它們相交于點I，那么點I到AB，BC，CA的距離都相等.以點I為圓心，點I到BC的距離ID為半徑作圓，則⊙I與△ABC的三條邊都相切，圓I就是所求作的圓.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.（來自教材）例2如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA,AB分別相切于點D,

E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的長.知2－講解：設(shè)AF=x，則AE=x.CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.（來自教材）總

結(jié)知2－講求三角形內(nèi)切圓的問題，一般的作輔助線的方法為：一是連頂點、內(nèi)心產(chǎn)生角平分線；二是連切點、內(nèi)心產(chǎn)生半徑及垂直條件.在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則它的內(nèi)切圓半徑是()

A.B．1C．2D.知2－練（來自《典中點》）2(湖州)如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG.點F，G分別在邊AD，

BC上，連接OG，DG.若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是()

A．CD＋DF＝4B．CD－DF＝

C．BC＋AB＝D．BC－AB＝2知2－練（來自《典中點》）知3－講3知識點三角形的內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.例3如圖，點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝

80°，則∠BOC的度數(shù)為(

)

A．130°B．100°C．50°D．65°

導(dǎo)引：由題意知BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝

×(180°－80°)＝50°，

∴∠BOC＝180°－50°＝130°.知3－講A（來自《點撥》）1下列說法錯誤的是()

A．三角形有且只有一個內(nèi)切圓

B．等腰三角形的內(nèi)心一定在它的底邊的高上

C．三角形的內(nèi)心不一定都在三角形的內(nèi)部D．若I是△ABC的內(nèi)心，則AI平分∠BAC知3－練（來自《典中點》）2如圖，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，點

O是△ABC的內(nèi)心.求∠BOC的度數(shù)