蘇科新版八年級上學(xué)期《2.4線段、角的軸對稱性》

同步練習(xí)卷

一.解答題(共50小題)

1.如圖：在△ABC中，ZC=90°,AD是NB4c的平分線，DELABE,F

在AC上，BD=DF,證明：

(1)CF=EB.

(2)AB=AF+2EB.

2.如圖，四邊形A3CD中，ZB=90°,AB//CD,M為3c邊上的一點(diǎn)，且AM

平分NA4D,DM平分NADC.求證:

(1)AM±DM；

(2)”為3c的中點(diǎn).

3.如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和3C,交A3于〃、N兩點(diǎn),

DM與EN相交于點(diǎn)H

(1)若△口3的周長為15c機(jī)，求A3的長;

(2)若NMFN=70°,求NMCN的度數(shù).

DE

MB

4.如圖，四邊形A3DC中，ZD=ZABD=90°，點(diǎn)。為3。的中點(diǎn)，且。4

平分NB4c.

(1)求證：0c平分NACD；

(2)求證：Q4L0C；

(3)求證：AB+CD=AC.

5.如圖，點(diǎn)E是NA03的平分線上一點(diǎn)，ECLOA,ED10B,垂足分別為C、

D.

求證：(1)/ECD=/EDC；

(2)0C=0D；

(3)0E是線段CD的垂直平分線.

6.如圖，DE±ABE,DF±ACF,若BD=CD、BE=CF.

(1)求證：AD平分NA4C；

(2)直接寫出A3+AC與AE之間的等量關(guān)系.

7.如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,BE平分/ABC,交AC于E,DE垂直

平分A3于D,

求證：BE+DE=AC.

DB

8.如圖，在△ABC中，AB^AC,NB4c的外角平分線交直線3C于。，過。

作DR,AC分別交直線A3,AC于E,F,連接EH

(1)求證：EFLAD-,

(2)DE//AC,且DE=1,求AD的長.

9.如圖，已知：E是NA03的平分線上一點(diǎn)，EC±OB,ED±OA,C、。是垂

足，連接CD,且交0E于點(diǎn)反

(1)求證：0E是CD的垂直平分線.

(2)若乙4。3=60°,請你探究0E,"之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)

論.

10.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE,BE

LAE,延長AE交的延長線于點(diǎn)R.求證：

(1)FC=AD；

(2)AB=BC+AD.

11.如圖，AABC^,AD平分NB4C,DG,3c且平分3C,DELABE,DF

±AC于F.

(1)說明3石=。歹的理由；

(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的長.

12.四邊形A3CD中，AC平分NR4D,CE±ABE,ZADC+ZB=180°

13.如圖，在△ABC中，A3邊的垂直平分線。交3C于點(diǎn)。，AC邊的垂直平分

線h交BC于點(diǎn)E,h與為相交于點(diǎn)O,連結(jié)OB,OC,若△ADE的周長為

6cm,ZXOBC的周長為16cm.

(1)求線段的長；

(2)連結(jié)。4,求線段。4的長；

(3)若NB4c=120。，求ND4E的度數(shù).

14.如圖，已知3。為NABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在5。上，PMLAD于

M,PNLCD于N,求證：PM=PN.

15.如圖，在△ABC中，。是3C的中點(diǎn)，DELAB,DF±AC,垂足分別是E,

F,BE=CF.

求證：AD是△ABC的角平分線.

16.已知甲村和乙村靠近公路a、b,為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲乙兩村準(zhǔn)備合建一個(gè)工

廠，經(jīng)協(xié)商，工廠必須滿足以下要求：

(1)到兩村的距離相等；

(2)到兩條公路的距離相等.你能幫忙確定工廠的位置嗎？

17.如圖，在四邊形A5CD中，BOBA,AD=CD,3。平分NABC,

求證：ZA+ZC=180°.

A

RC

18.如圖，3。平分NABC交AC于點(diǎn)D,DELAB于E,DF±BCF,AB=

BC=8,若S“BC=28,求DE的長.

19.已知：如圖，P是。C上一點(diǎn)，PDLQ4于。，PELOB于E,F、G分別是

0A.。3上的點(diǎn)，＞PF=PG,DF=EG.

20.已知：如圖，iSAABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分線MN

分別交3C,A3于點(diǎn)M,N,求證：CM=2BM.

21.已知，如圖，3。是NABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在BD上,PMLAD,

PN1CD,垂足分別是M、N.試說明：PM=PN.

22.如圖所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為3C邊上的中點(diǎn),

CELAD于點(diǎn)E,3/〃AC交CE的延長線于點(diǎn)R求證：A3垂直平分DH

23.如圖，已知N1=N2,P為3N上的一點(diǎn)，PfUBC于R,PA=PC.

24.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB于。，AE平分NA4C,交

CD于K,交3C于E,歹是3E上一點(diǎn)，S.BF=CE,

25.如圖已知：E是NA03的平分線上一點(diǎn)，EC±OA,EDLOB,垂足分別為

C、D.求證：

(1)/ECD=/EDC；

(2)0E是CD的垂直平分線.

，B

26.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DELA3于點(diǎn)E,DfUAC于點(diǎn)E

BE=CF,求證：AD是3c的中垂線.

27.(1)如圖1,在△ABC中，AD平分NB4c交于。，DELAB于E,DF

LAC于E則有相等關(guān)系DE=DRAE=AF.

(2)如圖2,在(1)的情況下，如果/MDN=/EDF,NMDN的兩邊分別與

A3、AC相交于M、N兩點(diǎn)，其它條件不變，那么又有相等關(guān)系A(chǔ)M+=

2AF,請加以證明.

(3)如圖3,在RtZXABC中，ZC=90°,NR4c=60°,AC=6,AD平分N

A4c交BC于。，ZMDN=12Q°,ND//AB,求四邊形AMDN的周長.

28.如圖，OAf平分NP。。，MALOP,MBLOQ,A、3為垂足，A3交0M于

點(diǎn)N.

求證：Z0AB=Z0BA.

n

29.如圖，已知NB4C=90°,AD,3c于點(diǎn)。，Z1=Z2,E歹〃3C交AC于

點(diǎn)、F.試說明AE=CH

30.已知△ABC中，AD是N3AC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線

于凡

求證：ZBAF=ZACF.

31.在△ABC中，AD是高，在線段DC上取一點(diǎn)E,使BD=DE,已知A5+3D

=DC,

32.如圖，四邊形A3CD中，AC為NA4D的角平分線，AB=AD,E、R兩點(diǎn)分

別在A3、AD±,且AE=DF請完整說明為何四邊形AECT的面積為四邊

形ABCD的一半.

33.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)歹是5c延長線上一點(diǎn)，連接

DF,交AC于點(diǎn)E,連接BE,ZA=ZABE.

(1)求證：DR是線段A3的垂直平分線；

(2)當(dāng)A3=AC,ZA=46°時(shí)，求NE3C及NR的度數(shù).

D,

B

34.作圖題：(不寫作法，但必須保留作圖痕跡)

如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，(點(diǎn)航，N表示大學(xué)，AO,B0表

示公路).現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩

條公路的距離也相等.你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形

中畫出你的設(shè)計(jì)方案.

35.如圖，在△ABC中，ZA=60°,點(diǎn)。是3c邊的中點(diǎn)，DE±BC,ZABC

的角平分線3口交DE于△ABC內(nèi)一點(diǎn)尸，連接PC.

(1)若NACP=24。，求NA3P的度數(shù)；

(2)若NACP=機(jī)。，ZABP=n°,請直接寫出加〃滿足的關(guān)系式：

36.如圖，在△ABC中，AD為NB4c的平分線，DELAB于E,DF±ACF,

△ABC的面積是28cm2,AB=T6cm,AC=12cm,求DE的長.

E,

BDlc

37.AABC中，ZABC^ZACB的平分線交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作一直線交A3、

AC于E、F.<BE=EO.

(1)說明OR與CR的大小關(guān)系；

(2)若BC=12cm,點(diǎn)0到AB的距離為4cm,求△03C的面積.

38.如圖，AABC^,AD±BC,ER垂直平分AC,交AC于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)E,

且BD=DE.

(1)若NA4E=40°,求NC的度數(shù)；

(2)若△ABC周長13cm,AC=6cm,求DC長.

39.已知：ZAOB=90°,0M是NA03的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射

線?！鄙匣瑒?dòng)，兩直角邊分別與。4、交于C、D,PC和尸。有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，請說明理由.

40.已知：如圖，ZB=ZC=90°,〃是3c的中點(diǎn)，DM平分NADC.

(1)求證：AM平分NB4D；

(2)試說明線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系？

(3)線段。、AB.AD間有怎樣的關(guān)系？直接寫出結(jié)果.

41.如圖，i￡AABC中，ZC=90°,AD平分NA4C,DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F

在AC上，且凡

(1)求證：CF=EB；

(2)請你判斷AE、AR與3E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

交A3延長線于點(diǎn)E,

連接CE.求證：ZBCE=ZA+ZACB.

43.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DR分別是△A3。和△ACD的高，求

證：AD垂直平分ER.

44.已知直線/及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B,如圖.

(1)在直線/上求一點(diǎn)P,使必=P&

(2)在直線/上求一點(diǎn)。，使/平分NAQ3.

(以上兩小題保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法)

.B

45.已知，如圖，3。是NA3C的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在3。上，PMLAD,

PN±CD,垂足分別是“、N.試說明：PM=PN.

46.如圖，△ABC的外角ND4c的平分線交3c邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD1

A3于。，PELAC于E.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=6c/n,AC=10cm,求AD的長.

47.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,NA=22.5°,斜邊A3的垂直平分

線交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)R在AC上，點(diǎn)E在3c的延長線上，CE=CF,連接3F

DE.線段DE和3R在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說明理由.

48.如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于。，3C邊的垂直平分

線EN交BC于E,DM與EN相交于點(diǎn)R

(1)若△口3的周長為20cm,求A3的長；

(2)若/MFN=7G°,求NMCN的度數(shù).

49.如圖，RtAABCZACB=9Q°,。是A3上一點(diǎn)，BD=BC,過點(diǎn)。作

A3的垂線交AC于點(diǎn)E,求證：3E垂直平分CD.

50.已知：△ABC內(nèi)部一點(diǎn)。到兩邊A3、AC所在直線的距離相等，且。3=

OC.

蘇科新版八年級上學(xué)期《2?4線段、角的軸對稱性》

同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

一.解答題(共50小題)

1.如圖：在△ABC中，ZC=90°,AD是NB4c的平分線，DELAB于E,F

在AC上，BD=DF,證明：

(1)CF=EB.

(2)AB=AF+2EB.

W決

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，

可得點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)D到AC的距離即CD=DE.再根據(jù)RtACDF2

RtAEDB,得CF=EB；

(2)利用角平分線性質(zhì)證明RtZXADCmRtZXADE,AC=AE,再將線段A3進(jìn)行

轉(zhuǎn)化.

【解答】證明：(1)..工。是NA4c的平分線，DELAB,DCLAC,

：.DE=DC,

在RtACDF和RtAEDB中，

[BD=DF,

lDC=DE，

RtACDF^RtAEDB(HL).

：.CF=EB；

(2)是NBAC的平分線，DELAB,DCLAC,

：.CD=DE.

在RtAA￡>C與RtAADE中，

[CD=DE,

iAD=AD'

RtAADC^RtAADE(HL),

：.AC=AE,

：.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

【點(diǎn)評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)

D到AC的距離，即CD=DE,是解答本題的關(guān)鍵.

2.如圖，四邊形A3CD中，ZB=90°,AB//CD,”為3C邊上的一點(diǎn)，且AM

平分NB4D,DM平分NADC.求證：

(1)AM1DM；

(2)〃為3c的中點(diǎn).

【分析】⑴根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NR4D+NADC=180°,根據(jù)角平分線的定

義得到NMAD+NADM=90°,根據(jù)垂直的定義得到答案；

(2)作根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到3/=汝匚MN=CM,等量代換得

到答案.

【解答】解：(1),：AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

,.?AM平分NA4D,DM平分NADC,

/.2ZMAD+2ZADM=180°,

AZMAD+ZADM=90°,

ZAMD=90°,

即AM±DM；

(2)作TWLAD交AD于N,

VZB=90°,AB//CD,

：.BM±AB,CMLCD,

,.?AM平分NB4D,DM平分NADC,

：.BM=MN,MN=CM,

：.BM=CM,

即“為3c的中點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點(diǎn)

到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和3C,交A3于M、N兩點(diǎn)，

DM與EN相交于點(diǎn)H

(1)若的周長為15cm,求A3的長；

(2)若/MFN=70°,求NMCN的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM,

BN=CN,然后求出△?新的周長=A&

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出NMNR+NNME再求出NA+NB根據(jù)

等邊對等角可得NA=NACM,ZB=ZBCN,然后利用三角形的內(nèi)角和定理

列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：（1）'：DM.EN分別垂直平分AC和BC,

：.AM=CM,BN=CN,

：.△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,

'.,△CMN的周長為15c/n,

.".AB=15cm；

(2)VZMFN=10°,

/.ZMNF+ZNMF=180°-70°=110°,

：ZAMD=ZNMF,ZBNE=ZMNF,

：.ZAMD+ZBNE=ZMNF+/NMF=110°,

AZA+ZB=90°-ZAMD+90°-ZBNE=1SQ°-110°=70°,

'：AM=CM,BN=CN,

：.ZA=ZACM,ZB=ZBCN,

：.ZMCN=180°-2(ZA+ZB)=180°-2X70°=40°.

【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等

邊對等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，(2)整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，四邊形A3DC中，ZD=ZABD=90°，點(diǎn)。為3。的中點(diǎn)，且。4

平分NA4c.

(1)求證：0c平分NACD；

(2)求證：OA±OC；

(3)求證：AB+CD=AC.

【分析】(1)過點(diǎn)。作OELAC于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離

相等可得。3=。應(yīng)從而求出OE=OD,然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)

在角的平分線上證明；

(2)利用“HL”證明△AB。和△AE。全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZAOB=ZAOE,同理求出NCOD=NCOE,然后求出NAOC=90°,再根

據(jù)垂直的定義即可證明；

(3)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AE,CD=CE,然后證明即可.

【解答】證明：(1)過點(diǎn)。作。ELAC于E,

VZABD=90°,04平分N3AC,

：.0B=0E,

:點(diǎn)。為3。的中點(diǎn)，

：.0B=0D,

：.0E=0D,

??.0C平分NACD；

(2)在RtAABO和RtAAEO中，

fAO=AO(

lOB=OE，

RtAABO^RtAAEO(HL),

：.ZAOB=ZAOE,

同理求出NCOD=NCOE,

/.ZAOC=ZAOE+ZCOE=lx180°=90°,

2

：.OA±OC；

(3)RtAABO^RtAAEO,

：.AB=AE,

同理可得CD=CE,

"：AC=AE+CE,

：.AB+CD=AC.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊

距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并

作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，點(diǎn)E是NA03的平分線上一點(diǎn)，EC±OA,EDLOB,垂足分別為C、

D.

求證：(1)ZECD=ZEDC；

(2)OC=OD；

(3)OE是線段CD的垂直平分線.

【分析】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)可證ED=EC,從而可知△CDE為等腰三角形,

可證NECD=NEDC；

(2)由OE平分NAOB,ECLOA,EDLOB,OE=OE,可證△OED注△OEC,

可得0c=0。；

(3)根據(jù)ED=EC,OC=OD,可證0E是線段CD的垂直平分線.

【解答】證明：(1),JOE^ZAOB,ECLOA,EDLOB,

：.ED=EC,即為等腰三角形，

：.ZECD=ZEDC；

(2)?點(diǎn)E是NA03的平分線上一點(diǎn)，ECLOA,ED±OB,

：.ZDOE=ZCOE,ZODE=ZOCE=90°,OE=OE,

:AOED經(jīng)AOEC(AAS),

：.OC=OD；

(3)'：OC=OD,1.DE=EC,

??.OE是線段CD的垂直平分線.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線的判定,等腰三角形的判定,

三角形全等的相關(guān)知識.關(guān)鍵是明確圖形中相等線段，相等角，全等三角形.

6.如圖，DE±ABE,DF±ACF,若BD=CD、BE=CF.

(1)求證：AD平分NA4C；

(2)直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系.

【分析】（1）根據(jù)相“HL”定理得出△3DE四△CDE故可得出DE=DF,所

以AD平分NA4C；

（2）由（1）中mZXCDE可知3E=CEAD平分N5AC,故可得出△AED

經(jīng)&AFD,所以AE=ARi^AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

【解答】（1）證明："CDELAB^E,DF±ACF,

：.ZE=ZDFC=9Q°,

I./\BDE與△CDE均為直角三角形，

...[BD=CD

,lBE=CF

ABDE^ACDF,

：.DE=DF,即AD平分NB4C；

(2)AB+AC=2AE.

證明：'：BE=CF,AD平分NA4C,

：.ZEAD=ZCAD,

VZE=ZAFD=9Q°,

ZADE=ZADF,

在△川￡￡>與△ARD中，

'/EAD=/CAD

,?*<AD=AD，

ZADE=ZADF

AAED^AAFD,

：.AE=AF,

：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知角平分

線的性質(zhì)及其逆定理是解答此題的關(guān)鍵.

7.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC,交AC于E,DE垂直

平分A3于D,

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CE=DE,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=

BE,代入AC=AE+CE求出即可.

【解答】證明：?.?NACB=90°,

：.AC±BC,

'JEDLAB,BEABC,

/.CE=DE,

?「DE垂直平分A—

：?AE=BE,

*：AC=AE+CE,

：?BE+DE=AC.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂

直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

8.如圖，在△ABC中，AB^AC,NB4c的外角平分線交直線于。，過。

作DELAB,DR,AC分別交直線A3,AC于E,F,連接EH

(1)求證：EFLAD-,

(2)DE//AC,且DE=1,求A。的長.

【分析】(1)根據(jù)AD是NE4R的平分線，那么DE=DR如果證得EA=E1,

那么我們就能得出AD是EF的垂直平分線，那么就證得EFLADT.因此證

明E4=網(wǎng)是問題的關(guān)鍵，那么就要先證得三角形AED和ARD全等.這兩個(gè)

三角形中已知的條件有NEAD=/剛。，一條公共邊，一組直角，因此兩三角

形全等，那么就可以得出EA=AR了.

(2)要求AD的長，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了NADE

或NE4D的度數(shù)，那么就能求出AD了.如果。E〃AC,那么NEAC=90°,

ZEAD=45°,那么在直角三角形AED中就能求出AD的長了.

【解答】⑴證明：..ND是NEAR的平分線，

：.ZEAD=ZDAF.

'：DE±AE,DF±AF,

：.ZDEA=ZDFA=9Q°

又AD=AD,

ADEA^^DFA.

：.EA=FA

,:ED=FD,

.??AD是ER的垂直平分線.

即ADLEF.

(2)解：'JDE//AC,

：.ZDEA=ZFAE=90°.

又ND物=90°,

??.四邊形E4ED是矩形.

由(1)得E4=￡4,

???四邊形E4ED是正方形.

"：DE=1,

.".AD=y/2-

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性

質(zhì)等知識點(diǎn).本題中利用全等三角形得出線段相等是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知：E是NA03的平分線上一點(diǎn)，ECLOB,EDLOA,C、。是垂

足，連接CD,且交0E于點(diǎn)色

(1)求證：OE是CD的垂直平分線.

(2)若NA03=60°,請你探究OE,ER之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)

【分析】(1)先根據(jù)E是NA03的平分線上一點(diǎn)，ECLOB,EDLOA得出△ODE

空叢OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角

形，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出0E是8的垂直平分線；

(2)先根據(jù)￡是/4。3的平分線，/4。3=60°可得出NAOE=N3OE=30°,

由直角三角形的性質(zhì)可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1),??E是NA03的平分線上一點(diǎn)，EC±OB,EDLOA,

：.DE=CE,OE=OE,

RtAODE^RtAOCE,

：.OD=OC,

...△DOC是等腰三角形，

,JOE^ZAOB的平分線，

.?.0E是CD的垂直平分線；

(2)是NA03的平分線，ZAOB=60°,

AZAOE=ZBOE=3Q°,

'：EC±OB,EDLOA,

：.OE=2DE,ZODF=ZOED=60°,

：.ZEDF=3Q°,

：.DE=2EF,

：.OE=4EF.

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE,BE

LAE,延長AE交的延長線于點(diǎn)凡求證：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD.

【分析】（1）根據(jù)可知NADC=NECE再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出

AADE^AFCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答.

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出歹即可.

【解答】證明：（1）（已知），

???NADC=NECT（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

是CD的中點(diǎn)（已知），

：.DE=EC（中點(diǎn)的定義）.

在△ADE與AFCE中，

,ZADC=ZECF

<DE=EC，

ZAED=ZCEF

/.AADE^AFCE（ASA）,

：.FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）.

（2）VAADE^AFCE,

：.AE=EF,AD=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

???3E是線段AR的垂直平分線，

：.AB=BF=BC+CF,

'：AD=CF(已證)，

：.AB=BC+AD(等量代換).

【點(diǎn)評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線

上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

11.如圖，AABCdp,AD平分NB4C,DG,3c且平分3C,DELABE,DF

LAC于F.

(1)說明3E=CR的理由；

(2)如果A3=5,AC=3,求AE、BE的長.

【分析】(1)連接3D,CD,由AD平分NR4C,DELABE,DFLACF,

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DE又由DG,5c且平分3C,根據(jù)線段

垂直平分線的性質(zhì)，可得3D=CD,繼而可證得則可

得BE=CF；

(2)首先證得△AED咨△AED,即可得AE=AR然后設(shè)3E=x,由A3-3E=

AC+CF,即可得方程5-x=3+x,解方程即可求得答案.

【解答】(1)證明：連接3D,CD,

?.?AD平分NA4C,DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,

,.,DGL3C且平分BC,

：.BD=CD,

在RtABED與RtACFD中，

[BD=CD,

lDE=DF，

RtABED^RtACFD(HL),

：.BE=CF；

(2)解：在△AED和△ARD中,

，ZAED=ZAFD=90°

<NEAD=/FAD，

,AD=AD

/.AAED^AAFD(AAS),

：.AE=AF,

設(shè)BE=x,貝UCF=x,

"：AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,

.*.5-x=3+x,

解得：x=l,

：.BE=1,AE=AB-BE=5-1=4.

【點(diǎn)評】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的

判定與性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想

與數(shù)形結(jié)合思想求解.

12.四邊形A3CD中，AC平分NBA。，CELABE,ZADC+ZB=1SO°

【分析】過C作CRLAD于E由條件可證△APC2Z\AEC,得到CR=CE.再

由條件/4。。+/3=180°BE=DF,所以ACDF咨ACEB,由全等的性質(zhì)

可得。P=EB,問題可得解.

【解答】證明：過C作CfUAD于E

：AC平分NR4D,

ZFAC=ZEAC,

'：CE±AB,CFLAD,

AZDFC=ZCEB=90°,

/.AAFC^AAEC,

：.AF=AE,CF=CE,

'：ZADC+ZB=18Q°

：.ZFDC=ZEBC,

：.AFDC^AEBC

：.DF=EB,

：.AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，常用的判斷方法為：SAS,SSS,

AAS,ASA.常用到的性質(zhì)是：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.有時(shí)還需要證“兩

步”全等.

13.如圖，在△ABC中，A3邊的垂直平分線八交3c于點(diǎn)。，AC邊的垂直平分

線/2交3c于點(diǎn)E,A與為相交于點(diǎn)0,連結(jié)OB,0C,若△ADE的周長為

6cm,△OBC的周長為16cro.

(1)求線段的長；

(2)連結(jié)。4,求線段的長；

(3)若NA4c=120°,求ND4E的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB,EA=EC,根據(jù)三角形

的周長公式計(jì)算即可;

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長公式計(jì)算即可;

(3)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：(1)是A5邊的垂直平分線

：.DA=DB,

??2是AC邊的垂直平分線，

：.EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；

(2)..Z是A3邊的垂直平分線，

：.OA=OB,

是AC邊的垂直平分線，

：.OA=OC,

OB+OC+BC=16c機(jī)，

.".0A=QB=0C=5cm；

(3)VZBAC=120°,

/.ZABC+ZACB=60°,

'：DA=DB,EA=EC,

：.ZBAD=ZABC,ZEAC=ZACB,

：.ZDAE=ZBAC-ZBAD-ZEAC=6Q°.

【點(diǎn)評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線

上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

14.如圖，已知3。為NABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在BD上,于

M,PNLCD于N,求證：PM=PN.

"MD,

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NA3D=NC3D,然后利用“邊角邊”證明△

A3。和△C3D全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NADB=NCD3,然后

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可.

【解答】證明：???3。為NA3C的平分線，

ZABD=ZCBD,

在△A3。和△C3D中，

'AB=BC

<NABD=/CBD，

BD=BD

:AABD空ACBD(SAS),

ZADB=ZCDB,

:點(diǎn)P在3。上，PM±AD,PN±CD,

：.PM=PN.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形

的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在△ABC中，。是3c的中點(diǎn)，DE±AB,DF1AC,垂足分別是E,

F,BE=CF.

求證：AD是△ABC的角平分線.

【分析】首先可證明RtABDE名RtADCF(HL)再根據(jù)三角形角平分線的逆定

理求得AD是角平分線即可.

【解答】證明：,：DE±AB,DF±AC,

：.RtABDE和RtADCF是直角三角形.

[BD=DC,

lBE=CF，

RtABDE^RtADCF(HL),

：.DE=DF,

X'：DELAB,DF±AC,

???AD是角平分線.

【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的逆定理，綜合運(yùn)用了直角三角形全等的判

定.由三角形全等得到是正確解答本題的關(guān)鍵.

16.已知甲村和乙村靠近公路a、b,為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲乙兩村準(zhǔn)備合建一個(gè)工

廠，經(jīng)協(xié)商，工廠必須滿足以下要求：

(1)到兩村的距離相等；

(2)到兩條公路的距離相等.你能幫忙確定工廠的位置嗎？

【分析】先作出兩條公路相交的角平分線0C,再連接ED,作出ED的垂直平分

線RG,則0C與RG的交點(diǎn)H即為工廠的位置.

【解答】解：①以。為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交直線a、6于點(diǎn)A、

B；

②分別以A、5為圓心，以大于去43為半徑畫圓，兩圓相交于點(diǎn)C,連接0C；

③連接ED,分別以E、。為圓心，以大于為半徑畫圓，兩圓相交于R、G

兩點(diǎn)，連接RG；

④RG與。。相交于點(diǎn)H,則H即為工廠的位置.

同法可得也滿足條件，

故點(diǎn)"或即為工廠的位置.

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線及線段垂直平分線的作法，是一道比較簡單的題

目.

17.如圖，在四邊形A5CD中，BOBA,AD=CD,3。平分NABC,

【分析】首先過點(diǎn)D作DELBC于E,過點(diǎn)D作DFLAB交BA的延長線于F,

由3。平分NABC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DR又由AD=CD,

即可判定RtZ\CDE等RtZkADF則可證得：ZA+ZC=180°.

【解答】證明：過點(diǎn)D作DE±BC于E,過點(diǎn)D作DFLAB交BA的延長線于F,

,.?3。平分NA3C,

：.DE=DF,ZDEC=ZF=90°,

在RtCDE和RtAADF中，

[CD=AD,

1DE=DF，

RtACDE^RtAADF(HL),

：.ZFAD=ZC,

：.ZBAD+ZC=ZBAD+ZFAD=180°.

【點(diǎn)評】此題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中,

解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

18.如圖，3。平分NA3C交AC于點(diǎn)。，DELAB于E,DF±BCF,AB=

BC=8,若S^BC=28,求DE的長.

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于DE

的方程，求出即可.

【解答】解：,??3。平分NABC交AC于點(diǎn)。，DE±AB,DF±BC,

：.DE=DF,

?SZVLBC=28，AB=BC=8>

/.1X8XDE+1X8XDF=28,

22

8DE=28.

：.DE=3.5.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線定義的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF

是解此題的關(guān)鍵.

19.已知：如圖，尸是。C上一點(diǎn)，尸。，。4于。，PEL03于E,F、G分別是

04、03上的點(diǎn)，1.PF=PG,DF=EG.

求證：0C是/A03的平分線.

D,

【分析】利用“HL”證明RtAPFD和RtAPGE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相

等可得PD=PE,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可.

［解答】證明：在RtAPFD和RtAPGE中，(PP=PG,

IDF=EG

RtAPFD^RtAPGE(HL),

：.PD=PE,

,.?P是0c上一點(diǎn)，PD±0A,PELOB,

?..0C是NAOB的平分線.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

20.已知：如圖，1SAABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分線MN

分別交3C,A3于點(diǎn)N,求證：CM=2BM.

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，判定再求出乙8=30°,ZCAM

=90°,根據(jù)直角三角形中30度的角對的直角邊是斜邊的一半，得出BM=

AM=^CA即CM=2BM.

2

【解答】證法1：如答圖所示，連接AM,

VZBAC=120°,AB=AC,

：.ZB=ZC=3Q°,

,:MN是AB的垂直平分線，

：.BM=AM,：.ZBAM=ZB=30°,

ZMAC=90°,

：.CM=2AM,

：.CM=2BM.

證法二：如答圖所示，過A

作AD〃跖V交于點(diǎn)D.

,:MN是AB的垂直平分線，

:.N是AB的中點(diǎn).

'：AD//MN,

，M是3。的中點(diǎn)，即BM=MD.

'：AC=AB,ZBAC=12Q°,

/.ZB=ZC=3Q°,

VZBAD=ZBNM=90°,

:.AD=LBD=BM=MD,

2

又,.?NG4D=N3AC-N3AD=120°-90°=30°,

：.ZCAD=ZC,

：.AD=DC,BM=MD=DC,

：.CM=2BM.

【點(diǎn)評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線

上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

21.已知，如圖，3。是NA3C的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在3。上，PMLAD,

PNLCD,垂足分別是M、N.試說明：PM=PN.

M

D.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NA3D=NC3D然后利用“邊角邊”證明△

A3。和△C3D全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NAD3=NCD3,然后

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可.

【解答】證明：???3。為NA3C的平分線，

ZABD=ZCBD,

fAB=BC

在△A3。和△C3D中，，/ABD=NCBD，

BD=BD

/.AABD^ACBD(SAS),

ZADB=ZCDB,

:點(diǎn)尸在3。上，PM±AD,PN±CD,

：.PM=PN.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形

的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到是解題的關(guān)鍵.

22.如圖所示，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為3c邊上的中點(diǎn)，

CELAD于點(diǎn)E,3/〃AC交CE的延長線于點(diǎn)F求證：A3垂直平分DH

［分析］先根據(jù)A5A判定△ACD之△CBF得至UBF=CD,然后又。為3C中點(diǎn)，

根據(jù)中點(diǎn)定義得到8=3。，等量代換得到3歹=5。，再根據(jù)角度之間的數(shù)量

關(guān)系求出NA3C=NA3R即R4是NR3D的平分線，從而利用等腰三角形三

線合一的性質(zhì)求證即可.

【解答】證明：連接DR

VZBCE+ZACE=9Q°,ZACE+ZCAE=9Q°,

ZBCE=ZCAE.

"：AC±BC,BF//AC.

：.BF±BC.

：.ZACD=ZCBF=9Q°,

'：AC=CB,

：.AACD^ACBF.：.CD=BF.

,:CD=BD=LBC,:.BF=BD.

2

.?.△3即為等腰直角三角形.

VZACB=90°,CA=CB,

：.ZABC=45°.

VZFBD=9Q°,

/.ZABF=45°.

ZABC=ZABF,即BA是NFBD的平分線.

...A4是ED邊上的高線，B4又是邊RD的中線,

即AB垂直平分DF.

【點(diǎn)評】主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線

的性質(zhì)等幾何知識.要注意的是：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端

點(diǎn)的距離相等.

23.如圖，已知N1=N2,尸為3N上的一點(diǎn)，PF±BC^F,PA=PC.

求證：ZPCB+ZBAP=1SQ0.

A

BFC

【分析】過點(diǎn)P作PE±BA于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得

PE=PF,然后利用HL證明RtAPEA與RtAPFC全等，根據(jù)全等三角形對

應(yīng)角相等可得/以E=NPC3,再根據(jù)平角的定義解答.

【解答】證明：如圖，過點(diǎn)P作胡于E,

VZ1=Z2,PR,5c于F

：.PE=PF,ZPEA=ZPFB=90°,

在RtAPEA與RtAPFC中JPA-PC,

lPE=PF

.,.RtAPEA^RtAPFC(HL),

：.ZRXE=ZPCB,

VZBAP+ZPAE=1SO°,

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLA3于。，AE平分NA4C,交

CD于K,交3c于E,R是3E上一點(diǎn)，^.BF=CE,

【分析】過點(diǎn)K作MK//BC,根據(jù)AE是NA4c的平分線及NAC3=90°,CD

±AB可求出NDK4=NCE4,再由對頂角的性質(zhì)知NDK4=NCKE,故CK

=BF,由MK〃3C可知N3=NAMK,ZAMK=ZDCA,由全等三角形的判

定定理可知△AMK法△ACK,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，CK=MK,MK=

BF,MK//BF,故四邊形BRKM是平行四邊形，所以RK〃AB.

【解答】證明：過點(diǎn)K作般K〃3C,

：AE平分NA4C,

/.ZBAE=ZCAE,

又,.,NACB=90°,CDLAB,

：.ZBAE+ZDKA=ZCAE+ZCEA=90°,

/.ZDKA=ZCEA,

又：ZDKA=ZCKE,

：.ZCEA=ZCKE,：.CE=CK,又CE=BF,

：.CK=BF（4分）

而MK//BC,

：.ZB=ZAMK,

：.ZBCD+ZB=ZDCA+ZBCD=9Q°,

ZAMK=ZDCA,

在△AMK和△ACK中，

ZAMK=ZACK,AK=AK,ZMAK=ZCAK,

：.AAMK^AACK,（4分）

I.CK=MK,

：.MK=BF,MK//BF,

四邊形BRKM是平行四邊形，（2分）

J.FK//AB.（2分）

A

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大.

25.如圖已知：E是NA03的平分線上一點(diǎn)，EC±OA,ED10B,垂足分別為

C、D.求證：

(1)/ECD=/EDC；

(2)0E是CD的垂直平分線.

【分析】(1)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得EC=DE,再根據(jù)等

邊對等角證明即可；

(2)利用證明Rt^OCE和Rt^ODE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等

可得然后根據(jù)等腰三角形三線合一證明.

【解答】證明：(1)是NA03的平分線上一點(diǎn)，ECLOA,EDLOB,

：.EC=DE,

：.ZECD=ZEDC；

(2)在和Rt^ODE中，/0E-0E,

lEC=ED

RtAOCE^RtAODE(HL),

：.OC=OD,

又「OE是/AOB的平分線，

???OE是CD的垂直平分線.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DELA3于點(diǎn)E,DfUAC于點(diǎn)R

BE=CF,求證：AD是3c的中垂線.

【分析】由AD是△ABC的角平分線，DELAB,DF±AC,根據(jù)角平分線的性

質(zhì)，可得DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,繼而證得RtZkBED等口△0吟,

則可得ZB=ZC,證得AB=AC,然后由三線合一，證得AD是3c的中垂線.

【解答】證明：：人。是△ABC的角平分線，DE±AB,DF±AC,

：.DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,

在RtABED和RtACFD中，

rDE=DF

<NBED=/CFD，

BE=CF

RtABED^RtACFD(SAS),

/./B=/C,

：.AB=AC,

".'AD是AABC的角平分線，

??.AD是3c的中垂線.

【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì).注

意掌握三線合一性質(zhì)的應(yīng)用.

27.(1)如圖1,在△ABC中，AD平分NB4c交于。，DELABE,DF

LAC于E則有相等關(guān)系DE=DRAE=AF.

(2)如圖2,在(1)的情況下，如果/MDN=/EDF,NMDN的兩邊分別與

AB.AC相交于M、N兩點(diǎn)，其它條件不變，那么又有相等關(guān)系A(chǔ)M+AN=

2AF,請加以證明.

(3)如圖3,在RtZXABC中，ZC=90°,NR4c=60°,AC=6,AD平分N

A4c交BC于。，ZMDN=12Q°,ND//AB,求四邊形AMDN的周長.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得NB4D=NC4D,然后利用“角角邊”證

明△ADE和△ADR全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；

(2)由(1)得DE=DF,再求出NMDE=NNDR然后利用“角邊角”證明△

MDE和△NDR全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ME=NF,然后求

AM+AN=AE+AF,再求解即可；

(3)根據(jù)(2)求出AM+AN=2AC,根據(jù)角平分線的定義求出乙BAD=NC4D

=30°,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/4￡^=/84。=30°,從而得

到NC4D=NADN,再根據(jù)等角對等邊可得AN=DN,根據(jù)直角三角形30°

所對的直角邊等于斜邊的一半可得DN=2CN,然后求出DN,

【解答】(1)證明：..工。平分NA4C,

/.ZBAD=ZCAD,

'：DE±AB,DF±AC,

：.ZAED=ZAFD=9Q°,

在△ADE和△ADR中，

'/BAD=NCAD

<ZAED=ZAFD=90°-

AD=AD

AAADE^AADF(AAS),

：.DE=DF,AE=AF；

⑵解：AM+AN=2AF；

證明如下：由（1）MDE=DF,

,：/MDN=ZEDF,

：.ZMDE=ZNDF,

在AMDE和△NDR中，

，ZMDE=ZNDF

<DE=DF，

ZDEM=ZDFN=90°

，叢MDE部叢NDF(ASA),

：.ME=NF,

：.AM+AN=(AE+ME)+(AF-NF)=AE+AF=2AF；

(3)由(2)可知AM+AN=2AC=2X6=12,

,.?NB4c=60°,AD平分NB4c交3c于D,

/.ZBAD=ZCAD=3Q°,

'：ND//AB,

：.ZADN=ZBAD=3Q°,

：.ZCAD=ZADN,

：.AN=DN,

在Rt^CDN中，DN=2CN,

"：AC=6,

：.DN=AN=^-X6=4,

1+2

VZBAC=60°,ZMDN=120°,

ZCDE=ZMDN,

：.DM=DN=4,

四邊形AMDN的周長=