11.2.1三角形的內(nèi)角第十一章——三角形01

了解并掌握三角形的內(nèi)角和定理；02

了解直角三角形兩個銳角的關系；03掌握直角三角形的判定方法.我們在小學就已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.當時我們是通過度量或剪拼得出這一

結(jié)論的，可是這種方法不能完全讓人信服，所以

我們需要通過推理的方法去證明這一定理.下面開

始本節(jié)知識的學習.一個三角形的內(nèi)角和等于180°將三角形的內(nèi)角剪下，試著拼拼看.平角的度數(shù)是180°從這個操作過程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?將三角形的任意兩個內(nèi)角剪下，試著拼拼看.平角的度數(shù)是180°直線1與邊BC

平行由此，你又能受到什么啟發(fā)?你能發(fā)現(xiàn)證

明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路嗎?通過添加與邊BC平行的輔助線l,利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明結(jié)論.如圖所示，ZB

和

∠C

分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)了一條過點A

的直線1,直線1與邊BC

有什么位置關系?已知：△ABC求證：∠A+∠B+∠C=180°

.證法1:過點A作l//BC,∴∠B=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠C=∠2.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°(平角的定義),∴∠B+∠C+∠BAC=180°三角形的內(nèi)角和等于180°證法2:延長BC到D,

過

點C

作CE//BA,∴∠A=∠1.

(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.三角形的內(nèi)角和等于180°為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫

做輔助線

.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.例題練習如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)解：∵∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°例題練習如圖是A、B、C

三島的平面圖，C

島在A島的北偏東50°方向，

B

島在A島的北偏東80°方向，C

島在B島的北偏西40°方向.從

B

島看A,C

兩島的視角∠ABC

是多少度?從C

島看A、B

兩島的視角∠ACB

是多少度?分析：∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角，求∠ACB

需先求∠CAB、∠CBA.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°

.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所

以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在

△ABC

中，∠ACB=180°-∠ABC-∠

CAB=180°-60°-30°=90°,答：從B

島看A,C

兩島的視角∠ABC

是60°,從C

島看A,B

兩島的視角

∠ACB是90°.如圖，在直角△ABC中，∠C=90°,

兩銳角的和等于多少?“RtA”直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言：

在Rt△ABC中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°

.例題練習如圖，∠C=∠D=90°,AD,BC

相交于點E.∠CAE

與∠DBE有什么關系?說明理由.解：∠CAE=∠DBE.理由如下：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠DBE.【思考】如果一個三角形的直角三角形，那

么這個三角形有兩個角互余，反之，有兩個

角互余的三角形是直角三角形嗎?如圖，在△ABC中

，∠

A+∠B=90°,

那么△ABC是直角三角形嗎?三角形內(nèi)角和定理∴△ABC是直角三角形直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形在△ABC中

，∵∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形幾何語言：練習1如圖所示，在△ABC中，∠C=90°,∠A=40°,則∠B的度數(shù)為(C

)A.40°B.45°C.50°D.70°解析：∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=90°,∠A=40°,

∴40°+∠B+90°=180°,∴∠B=180°-90°-40°=50°,

故選：C.練習2已知△ABC

中，∠A=50°,∠B=20°,則△ABC

的形狀為(

A

)A.鈍角三角形

B.直角三角形C.銳角三角形D.

等腰三角形解析：∵∠C=180-∠A-∠B=180°-50°-20°=110°∴△ABC

是鈍角三角形.故選：A.練習3在△ABC中，∠A=35°

,

∠B=65°,

則∠C的度數(shù)是(

B

)A.90°B.80°C.30°D.100°解析：∵∠A=35°,∠B=65°,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠A-∠B=80°

.

故選：B練習4如圖，直線AB//CD,∠ABE=45°,∠E=20°,A.20°

B.25°C.30°解析：∵AB//CD,∴∠ABE=∠BCD=45°,∴∠DCE=135°,由三角形的內(nèi)角和可得∠D=180°-135°-20°=25°.故選

：B則∠D的度數(shù)為(B

)D.35°練習5在三角形△ABC

中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3則△ABC是

直

角

三角形解析：∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴設∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴6x=180°,∴x=30°,∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,∴△ABC

是直角三角形，故答案為：直角.練習6如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，過點C

的射線CE與

AD平行，若∠B=60°,∠ACB=30°,則∠ACE=45

°解析：∵∠B=60°,∠ACB=30°,∴∠BAC=180°-60°-30°=90°,∵AD

是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC=45°,∵AD//CE,∴∠ACE=∠DAC=45°,

故答案為：45°.求∠ADC的度數(shù).解析：在△ABC

中，∠A=70°,∠B=50°∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°.

∵