2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?臨門一卷(一)

數(shù)學(xué)

本試題卷共4頁.全卷滿分150分，考試用時120分鐘.

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注意事項：

1.答題前、考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上.

2.作答時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區(qū)域均無效.

3.考試結(jié)束后，本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

3i

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2+i?°23在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3,

2.已知集合人={》62|---GN},B={xeZ|x2-x-6<0},則AB-()

l-x

A{0,2}B.{-2,0,2)

C.{-2,0}D.{-2,0,2,4)

4.已知i,j是平面內(nèi)互相垂直的單位向量，且4=，'+2）,h--3/+4/,則。與人夾角余弦值為

)

7T7T

5.已知函數(shù)/。）=5皿5+$3>0）,若對于任意實數(shù)X,都有了（X）=—/（、—X）,則①的最小值為（）

5

A.2B.-C.4D.8

2

6,一排10個座位，現(xiàn)安排甲、乙、丙三人就座，規(guī)定中間的2個座位不能坐，且甲、乙相鄰，甲、乙與丙

不能相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）

A.56B.44C.38D.32

7.設(shè)4,5為正數(shù)，若直線公一切+1=0被圓/+'2+4》一2,+1=0截得弦長為4,則竺史的最小

ab

值為（）

A.6B.7C.8D.9

8.已知過拋物線C:y2=2px（p>0）焦點的直線與拋物線C交于A,8兩點，且|A3|=8,圓

C：f+y2—_|y=。，若拋物線c與圓c‘交于「，。兩點，月」PQI=JL則線段AS的中點。的橫坐

標(biāo)為（）

A.2B.3C.4D.5

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯的得0分.

9.下列為真命題的有（）

A.90,92,92,93,93,94,95,97,99,100的中位數(shù)為93.5

B.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)%,馬，?，毛的方差為2,則數(shù)據(jù)4占,4元2，,4%的方差為8

C.甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9,則樣本容量為18

D,已知隨機(jī)變量J~N（2,CT2）,且P（J<4）=0.8,則P（0<J<4）=0.6

2

10.已知雙曲線/一方=1（5>0）的左、右焦點分別為耳，K，過點尸2作X軸的垂線與雙曲線交于A,B

兩點，若.AB々為直角三角形，則（）

A.〃=2+2血

B.雙曲線的離心率收+1

C.雙曲線的焦距為

D.A5G的面積為12+8近

11.如圖，正方體ABCO-AB'C'。'的棱長為4,M是側(cè)面皿辦'上的一個動點（含邊界），點尸在棱

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為4石

B.保持PM與BD'垂直時，點M的運動軌跡長度為3亞

C.若保持|PM|=2逐，則點例的運動軌跡長度為手

D.平面47P被正方體ABC。-A'8'C'。'截得截面為等腰梯形

12.已知函數(shù)/（x-l）是定義在R上的偶函數(shù)，且/（2+x）=—/（x）,當(dāng)xe（0,l］時，/（x）=xcos-,則

x

下列說法正確的是（）

A.A>是奇函數(shù)

B./（X）在區(qū)間［也巴■，膽二1）上有且只有一個零點

I兀71）

C.f（x）在區(qū)間（會,1）上單調(diào)遞增

D.fM區(qū)間上有且只有兩個極值點

三、填空題：本題共4小題.每小題5分.共20分.

4

13.已知sina=則8s(%-2a)=

5

14.已知函數(shù)f(x)-ax+b(a,&eR),g(x)=x2+x,若這兩個函數(shù)的圖象在公共點A(l,2)處有相同

的切線，則。一/?=.

15.已知數(shù)列｛%｝的前n項和S?滿足5,+24=-1,則a“=.

16.已知四棱錐產(chǎn)一ABC￡＞的底面四邊形ABC。是邊長為6的正方形，且平面ABC。，PA=百，

點M為線段PC上的動點(不包含端點)，則當(dāng)三棱錐M—的外接球的體積最小時，CM的長為

四、解答題：本題共6小題.共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛a,,｝滿足q+2a2+3/+=2-(〃+2+，等差數(shù)列也｝的前〃項和為S”，且

=4S2也“=2〃+1.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

(2)若q,=a,2，求數(shù)列｛c,J前〃項和7；.

18.2023年3月中旬，我國很多地區(qū)出現(xiàn)倒春寒現(xiàn)象，突然大幅降溫，河南下起了暴雪.研究表明，溫度的突

然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某數(shù)學(xué)建

模興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒學(xué)生人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，查

閱了這六天中每天去校醫(yī)新增患感冒而就診的學(xué)生人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表：

日期第一天第二天第：天第四天第五天第六天

晝夜溫差X(℃)47891412

新增就診人數(shù)y(位)力%%為乂

666

參考數(shù)據(jù):Zy2=3160,￡5一方=256,±a--/(X.一歹)=120.

f=l1=11=1

(1)已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有6位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽

取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為?，求V的值；

(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程§=》矢+》，且據(jù)此估計晝夜溫差為16℃時，該校新增患感冒的學(xué)生

數(shù)(用四舍五入法結(jié)果保留整數(shù)).

附：B=上―------------,a=y-bx.

i=l

19.在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b,c,其面積為S,且S-a)S+a)+accosB=￥s.

(1)求角A的大??；

(2)若。=2百，求S的取值范圍.

20.如圖.在直三棱柱ABC-44G中，A3=AA=3C=2,平面A^C，平面ABgA.

(1)求點4到平面4BC的距離；

(2)設(shè)。為4c的中點，求平面詼與平面C8D夾角的正弦值.

22

21.己知橢圓C:j+親■=l(a>b>0)的離心率為號，左、右焦點分別為《，居，直線x=，〃與橢圓C交于

A,B兩點，且.A8￡的周長最大值為8.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)如圖，P,Q是橢圓C上的兩點，且直線OP與。。的斜率之積為--(。為坐標(biāo)原點)，O為射線

4

2

OP上一點，且10Pl=|PD|,線段。Q與橢圓C交于點E,\QE\=-\ED\,求四邊形OPE。的面積.

22已知函數(shù)/(x)=mx+士匚絲W(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點，求。的最大整數(shù)值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

3i

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2+產(chǎn)23在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運算和除法運算求解作答.

3i3i3i-(2+i)-3+6i36.

【詳解】i^=k(2.i)(2+i)=^.

所以復(fù)數(shù)上而在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(-二一)位于第二象限.

2+155

故選：B

3

2.己知集合人={》€(wěn)2|---GN},B={xeZ|x2-x-6<0},則AB-()

l-x

A.{0,2}B.{-2,0,2)

C.{-2,0}D.{-2,0,2,4)

【答案】C

【解析】

【分析】利用列舉法表示集合A,B,再利用交集的定義求解作答.

3

【詳解】A={xeZ|<eN}={—2,0},

l-x

B={xeZ|x2-x-6<0}={xeZ|-2<x<3}={xeZ|-2,-l,0,l,2,3},

所以A3={-2,0}

故選：C

3.函數(shù)y=；(x—2)21n》2的圖像是()

【解析】

【分析】根據(jù)題意，令y=0,可以排除AD,然后求導(dǎo)得V，即可排除c.

【詳解】因為y=；(x-2)21nf,令y=0,則;(x—Z-ln/=0,

即(x—2)2=0,解得x=2,或lnx2=0,解得x=±l,

所以當(dāng)x<0時，函數(shù)有1個零點，當(dāng)x>0時，函數(shù)有2個零點，

所以排除AD；

II97

當(dāng)x>0時，_y=—(x-2)2Inx2=—(x-2)~x21nx=(x-2)~Inx,

則y=2(x—2)lnx+^~a_,當(dāng)x>2時,

所以當(dāng)xe(2,+8)時，y>0,函數(shù)單調(diào)遞增，所以B正確；

故選：B.

4.已知")是平面內(nèi)互相垂直的單位向量，且d=i+2),b=-3i+4j,則。與。夾角余弦值為

()

A.正B.1C.—D.-

5285

【答案】A

【解析】

【分析】應(yīng)用向量夾角公式及數(shù)量積的運算律求cos即可.

,■ab(i+2/A(-3y)-3i2-2i-j+Sj2

【詳解】由題設(shè),cos<a,b>=-----

\a\\b\Iz+2./11-3/+4/1|i+2)||—3i+4"

又i?/=0,月Ji+2)|=yji2+4i-j+4j2=75，同理，I-3i+4j|=5,

-3-0+875

所以COS<〃,/?>=

5石一5

故選：A

5.已知函數(shù)f（x）=sin（5+：）3>0）,若對于任意實數(shù)x,都有/（尤）=一/吟-幻，則。的最小值為（）

5

A.2B.-C.4D.8

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)/（X）圖象的對稱中心，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解作答.

7T7T

【詳解】因為對于任意實數(shù)占都有/（1）=—/（彳-%），則有函數(shù)/（%）圖象關(guān)于點（二,0）對稱,

36

TTTT

因此一0+—=E,ZeZ,解得3=6左一2,々eZ,而（y>0,

63

所以當(dāng)氏=1時，。取得最小值4.

故選：C

6.一排10個座位，現(xiàn)安排甲、乙、丙三人就座，規(guī)定中間的2個座位不能坐，且甲、乙相鄰，甲、乙與丙

不能相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）

A.56B.44C.38D.32

【答案】A

【解析】

【分析】按甲、乙與丙在兩個空位的同側(cè)和異側(cè)進(jìn)行分類，再結(jié)合排列問題列式求解作答.

【詳解】依題意，甲、乙與丙在兩個空位的同側(cè)和異側(cè)分成兩類，

當(dāng)甲、乙與丙在兩個空位的同側(cè)時，共有2A；A；=8種，

當(dāng)甲、乙與丙在兩個空位的異側(cè)時，共有2A；A；A；=48種，

由分類加法計數(shù)原理知，不同排法的種數(shù)是8+48=56種.

故選：A

7.設(shè)a,匕為正數(shù)，若直線儀―力+1=0被圓/+：/+4%-2^+1=0截得弦長為4,則竺竺的最小

ab

值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得2a+。=1,再由均值不等式求解即可.

詳解】由Y+y2+4x-2y+l=0可得(x+2>+(y-l)2=4,

故圓的直徑是4,

所以直線過圓心(—2,1),即2a+/?=l,

?a+2ba2b12(12Y2a2b12a2b

又------=一+一=:+—=-+-(2?+/>)=—+1+4+—>5+2J—?—=9,

abababba\baJba\ba

Oz-tOA*i

當(dāng)且僅當(dāng)'=——，即。=〃，即〃=〃=七時，等號成立.

ba3

故選：D.

8.已知過拋物線C：y2=2px(p>0)焦點的直線與拋物線。交于A,8兩點，且|A3|=8,圓

C,:?+/-|y=O,若拋物線C與圓C'交于尸，Q兩點，且|「。|=6，則線段A8的中點。的橫坐

標(biāo)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】確定P,。之一的坐標(biāo)，設(shè)另一點坐標(biāo)，結(jié)合已知求出該坐標(biāo)，再求出拋物線方程，借助拋物線定

義求解作答.

【詳解】圓C'：f+y2一|y=0過原點，則點尸，。之一為原點，不妨令點P(0,0),設(shè)

依題意，/+〃2=|PQ|2=5,又〃，+〃2=_|〃，解得根=1,n=2,即Q(1,2),

則22=2pxl,解得p=2,拋物線C:y2=4X的焦點E(l,o),準(zhǔn)線方程為x=-l,

設(shè)4百，/),6(尤2，%)，于是IAB|=|AF\+\BF\^xi+l+x2+l=xi+x2+2,而|AB|=8,

因此％+々=6,所以線段AB的中點￡>的橫坐標(biāo)土產(chǎn)=3.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯的得0分.

9.下列為真命題的有（）

A.90,92,92,93,93,94,95,97,99,100的中位數(shù)為93.5

B.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)％,工2，，七的方差為2,則數(shù)據(jù)4尤”4々,,4%的方差為8

C.甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9,則樣本容量為18

D.已知隨機(jī)變量J~N（2,b2）,且P（J<4）=0.8,則P（0<J<4）=0.6

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用中位數(shù)的定義計算即可；對于B,利用方差的性質(zhì)計算即可；對于C,利用分層抽樣

的比例進(jìn)行求解即可；對于D,利用正態(tài)分布的對稱性進(jìn)行求解即可.

93+94

【詳解】對于A,90,92,92,93,93,94,95,97,99,100的中位數(shù)為二----=93.5,故A正確；

2

對于B,樣本數(shù)據(jù)項,々,,毛的方差為2,

則數(shù)據(jù)4%,4尤2,…，4x”的方差為2x4?=32,故B不正確；

對于C,甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，

若抽取的甲種個體數(shù)為9,則樣本容量為9x3+1+2=18,故C正確；

3

對于D,隨機(jī)變量J~N（2,b2）,尸（J<4）=0.8,

所以尸（0<自<4）=（0.8-0.5）x2=0.6,故D正確.

故選：ACD

2

10.已知雙曲線V—方=1（6>0）的左、右焦點分別為耳，工，過點后作X軸的垂線與雙曲線交于4,B

兩點，若，A3K為直角三角形，則（）

A.8=2+2加

B.雙曲線的離心率a+1

C.雙曲線的焦距為2石

D.A3耳的面積為12+8&

【答案】BD

【解析】

【分析】畫圖分析，由雙曲線的相關(guān)性質(zhì)計算判斷即可.

【詳解】如圖所示：

若,46耳為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知：

AFt±BF],且恒司=忸聞.

設(shè)|伍|=/n,則由雙曲線的定義得：|州|=忸6|=|伍|+勿=2+m，|AB|=2/n.

所以在直角三角形43月中，由勾股定理得：（2+機(jī)）2+（2+m『=4加2.

解得：m=2+28，所以|世|=忸周=4+2夜,

所以的面積為：JA￡H%|=（（4+2及丫=12+8夜.故口正確；

|做|.忸耳|耳閭,所以|百用=2+2正，故C不正確;

2

由廠一=1（人>0）可知，<2—1>C=1+>^，

所以〃=（1+&）2—1=2+20,故A不正確；

e=--1+y/2,故B正確.

a

故選：BD.

11.如圖，正方體48C?！狝B'C'。'的棱長為4,M是側(cè)面A￡>DA上的一個動點（含邊界），點尸在棱

CC'±,且|PC'|=L則下列結(jié)論正確的有（）

D'C'

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為4近

B.保持PM與3。'垂直時，點M的運動軌跡長度為3亞

C.若保持|PM|=2逐，則點M的運動軌跡長度為等

D.平面被正方體ABC0-A'B'C'。'截得截面為等腰梯形

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過P做平面〃平面ACB',即可判斷B；根據(jù)點M的軌跡是圓

弧，即可判斷C：作出正方體ABCD-A'B'C'。'被平面AO'P所截的截面即可判斷D.

【詳解】對于A,將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接AP,則|A"=116+49=彼<46,故A錯誤;

對于B,如圖:

因為。。平面ABC。，ACu平面ABCD,DD'±AC,又AC上BD,

DD'BD=D,DD'，8E>u平面DDB，

所以AC_L平面DDB，BDcz平面DD'B

所以ACJ.B。''，同理可得BD_LAB',ACoAC^A,AC,AB'u平面ACB'.

所以8。，平面ACB'.

所以過點P作PG//CD交CD交于G,過G作GF//AC交AO交于產(chǎn)，

由AB7/C'。，可得PG//AB',PG(Z平面ACB',AB'u平面ACS',

所以PG〃平面ACS',同理可得GF〃平面AC8'.

則平面PGF〃平面ACB'.

設(shè)平面PEF交平面ADDA于瓦則M的運動軌跡為線段所，由點P在棱CC'上，且|PC'|=1,可

得|DG|=|DE|=|A￡|=I,

所以|E可=力40=3后，故B正確；

對于C,如圖：

若|PM|=2jF,則M在以尸為球心，2指為半徑的球面上，

過點P作尸Q1平面ADD'A,則=此時|QM|==2.

所以點M在以。為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為

點M的運動軌跡長度一x2=—,故C正確;

33

對于D,如圖：

所以平面47P被正方體ABC。一A'B'C'ZX截得的截面為AJPU.

\PH\\PC\\HC\

JCH3DH,所以謁=扃=留3

4

\CI\\HC\\IH\3

_心__3,所以儲=渦=高卞

所以\PH\謁\=IH\扁=\PI品\=3"所以尸〃/切，且.舊,國,皿,

所以截面A/PD為梯形，

同=|町=，16+1=a,所以截面AZPD為等腰梯形.

故D正確.

故選：BCD.

12.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且/（2+x）=—/（x）,當(dāng)xe（O,l］時，f（x）=xcos~,則

X

下列說法正確的是（）

A.Ax）是奇函數(shù)

<8714-1IOTC-IA

B./*）在區(qū)間-----，-------上有且只有一個零點

I兀71J

C./（X）在區(qū)間（盤,1）上單調(diào)遞增

D.八幻在區(qū)間［:』）上有且只有兩個極值點

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)Ax）的性質(zhì)，再結(jié)合零點存在性定理、導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性逐一判斷各個選項

作答.

【詳解】函數(shù)/（X—1）是偶函數(shù)，則/（-X-I）=f（x-1）,

因為/(2+x)=-/(x),所以/(I+x)=-/(x-l),故/(x+l)=-/(T-l),

將X替換為X-1,得到/(T)=-/(x),故"X)為奇函數(shù)，A正確；

因為/(2+x)=-/(x),故/(4+x)=-/(x+2),故f(4+x)=/(x),所以，*)的一個周期為4,

故，(x)在區(qū)間(出L①上的零點個數(shù)與在區(qū)間(工,"二']上的相同，

I兀兀JV71717

因為/[2]=2cos1=0,而/(2+冗)=-f(x)=f(-x),

兀2

故---j=/—]=0,其中一,2GI—,--------|,故/,(X)區(qū)間(一,------]至少有2個零點，B

錯誤；

當(dāng)一,1|時，/(x)=xcos—,則f\x)=cos—+—sin—,

)XXXX

令/=—,/i(r)=cos/+/sinf,當(dāng)t￡時，所以"Q)=-sin，+sin，+/cosr=/cosf,

x

(兀、(7T5兀)

時，1(r)=fcosr>0,4(r)單調(diào)遞增，當(dāng)代天7)時，/QhrcosrcO,/?”)單調(diào)遞減,

又購=-1的傳卜cos浮金*冷冬空薩>0,

故如)>0在fe(吟)上恒成立，所以/'(x)〉0在xe仔,1)上恒成立，故/⑺在峰,1)上單調(diào)遞增,

C正確;

當(dāng)犬E一,1時,/(X)=xcos—,故/'(X)=cos—+—sin—,令1=一,h(t)=cosr+rsinz,當(dāng)/w(1,兀)時,

)XXXXX

則〃'(，)=，cos，，

(TI、

當(dāng)TK吐〃'(。=北05/>0,〃。)單調(diào)遞增，當(dāng)[可不,兀時,“Q)=/cos/<0,h(t)單調(diào)遞減,

I，7

7171,71萬八

因為A(l)=cos1+sin1>0,/zcos——I——sin——=—>(),

2222

/z(zr)=cos?+〃sin〃=-l<0,由零點存在性定理工>€(]■，兀“使得)=0,

[11](1、

當(dāng)re。,")時，〃(。>0，當(dāng)，e?o,兀)時，/i(0<0,xe—時，/、'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，xe—,1

、兀[o)vo>

時,/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(x)區(qū)間(J,1)上有且只有一個極值點，D錯誤.

故選：AC

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)的定義域為。，Vxe￡),

(1)存在常數(shù)a,b使得/(x)+f(2a—x)=2b=f(a+x)+f(a-x)=2b,則函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于點

(a,b)對稱.

(2)存在常數(shù)a使得/(%)=/(2a—x)of(a+x)=/(?-%),則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.

三、填空題：本題共4小題.每小題5分.共20分.

13.已知sina=則cos(〃-2a)二

7

【答案】石

【解析】

【分析】由誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得cos(萬一2a)=-cos2a=2sin2a-1,將條件代入可得答案.

4

【詳解】由sintz=-

cos(萬一2a)=-cos2a=2sin2a-l=2xl—I—1=—

7

故答案為：—

25

【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)/(X)=e*+b(a,beR),g(x)=Y+x,若這兩個函數(shù)的圖象在公共點4(1,2)處有相同

的切線，則。一。=.

【答案】e-2##-2+e

【解析】

【分析】先根據(jù)y=/(x)和y=g(x)在公共點A(l,2)處有相同的切線得出在x=1處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等，再

由A(l,2)在y=/(x)上,列方程組求解即可.

x2

【詳解】因為/(%)=e-ax+b{a,bGR),g(x)=x+x,

所以/'(x)=e*-a,g'(x)=2x+l,

因為/(x),g(x)在公共點A(l,2)處有相同的切線,

g'(D=/'⑴3=e-a

所以

"1)=2e-a+。=2

所以a-Z?=e-2

故答案為：e—2

15.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S,滿足S,+2a,=-1,則/=

【答案】-1x(|)n-'

【解析】

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合。“與S”的關(guān)系求解作答.

【詳解】數(shù)列｛4｝的前〃項和S,滿足Sn+2a?=-1,即S?=

2

當(dāng)〃22時，an=Sn-S“_]=一一1一（一261-1）=+2an_x,即有％=§an_x

ii,

當(dāng)”=1時，3%=-1,即4=一一，因此數(shù)列｛%｝是首項為公比為:的等比數(shù)列,

333

所以%=一3（|嚴(yán).

故答案為：—§X（§）"1

16,已知四棱錐尸一A3CD的底面四邊形ABC。是邊長為6的正方形，且Q4,平面ABC。，PA=6

點例為線段PC上的動點（不包含端點），則當(dāng)三棱錐M-BQD的外接球的體積最小時，CM的長為

【答案】2

【解析】

【分析】連接M4,由題意知三棱錐BCD的外接球即四棱錐"-A6CD的外接球，然后設(shè)四棱錐

知一438外接球的球心為0,半徑為R,連接AC與80交于點。一利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征分析出當(dāng)0

與。1重合時，三棱錐BCD的外接球的體積最小，然后設(shè)CM的中點為N,連接QN,利用三角形相

似求得CN,即可求得CM的長

【詳解】因為24,平面ABC。，ACu平面ABC。，所以B4LAC,

連接MA,由題意可知三棱錐M-BCD的外接球即四棱錐"一ABC。的外接球，

則當(dāng)三棱錐M外接球的體積最小時，四棱鏈"-ABCD外接球的半徑最小，

設(shè)四棱錐M—ABC。外接球的球心為0,半徑為R,連接AC與8。交于點。一

當(dāng)。與。不重合時，連接。。，易知。。1?平面ABC。，則0。1_1_。。，

連接。C,在RtAOQC中，R=0C>0。,

P-

B

當(dāng)。與。?重合時,R=0C=0iC,

所以當(dāng)三棱錐"一BCD外接球的體積最小時，。與。?重合，R=O｝C.

設(shè)CM的中點為N,連接01N,易知0、N±CM，則cosZ0.C7V=.=差

CN叵xg

所以正一,解得CN=1,所以CM=2CN=2,

——xV3

2

故答案為：2

四、解答題：本題共6小題.共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛/｝滿足4+2/+3%++〃4=2-（〃+2+，等差數(shù)列也｝的前〃項和為S“，且

S4=4S2,b2n=2bn+l.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

（2）若q,=anbn,求數(shù)列｛%｝的前〃項和7；.

【答案】（1）%=￡，2=2〃T;

(2)1=3-甯

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式求出應(yīng)，再求出等差數(shù)列｛d｝公差、首項即可求解作答.

（2）利用（1）的結(jié)論求出c“，再利用錯位相減法求和作答.

【小問1詳解】

當(dāng)"=1時，a=2—3x—=—,

22

q+2%++幾4=2—(/?+2),,當(dāng)〃22時，q+2出++5—=2—(〃+1)?^i-\，

兩式相減，得〃4=/，即%=/，顯然4=；滿足上式，因此q=3,

4伉+Dd=4（2"+d）即物-2d=04=1

設(shè)也｝公差為d,則,,,,，解得〈

也—d=-1d=2,

b2=24+1

因此勿=1+2（〃-1）=2〃-1,

所以數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式分別為=?,a=2〃-1.

【小問2詳解】

上、-2n-l

由（1）知，

1352〃一32〃一1

明=萬+/3+L+-----i----1--------

2"''2"

2〃一32〃一1

+-----+----

32n+3

兩式相減得：3看=:+1+?+2--2n+l

所以北=3-空9.

18.2023年3月中旬，我國很多地區(qū)出現(xiàn)倒春寒現(xiàn)象，突然大幅降溫，河南下起了暴雪.研究表明，溫度的突

然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某數(shù)學(xué)建

模興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒學(xué)生人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，查

閱了這六天中每天去校醫(yī)新增患感冒而就診的學(xué)生人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X（℃）47891412

新增就診人數(shù)），（位）以%%>4%為

66,6

參考數(shù)據(jù)：=3160,E（y-刃一=256,工（七一可加一?）=120.

/=!/=!f=l

（1）已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有6位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽

取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為3,求弘的值；

6

（2）求出了關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程§=隊+》，且據(jù)此估計晝夜溫差為16℃時，該校新增患感冒的學(xué)生

數(shù)（用四舍五入法結(jié)果保留整數(shù)）.

附：$=-------------,a=y-bx.

7=1

【答案】（1）10；（2）約為35人.

【解析】

【分析】（1）利用對立事件及古典概率列式求出M的值作答.

（2）利用數(shù)表及給定的和求出7,歹，再利用最小二乘法公式求出回歸直線方程，并估計數(shù)據(jù)作答.

【小問1詳解】

56x5x4

依題意,=7-整理得

oX(X-1)(M-2)6

即y(y-l)(y-2)=720=10x9x8,解得x=10,

所以X的值是10.

【小問2詳解】

66

由數(shù)表知，Z%=54,即元=9,則工(七一亍)-=(-5)2+(—2)2+(—1)2+02+52+32=64,

i=\i=\

可（其一歹）

120_15

于是8二『------------

~64~~8

￡（—）2

i=l

_6_6_62_62

又之(y-刃=安必+6(y)=Xy,2-6(y)=3160—6(刃2=256,解得了=22,

i=li=li=\i=\

,15414115

因此。=》一位=22—jx9=1,則9=9+手工,

4115

當(dāng)x=16時，y=—+—xl6?35,

■88

所以可以估計，晝夜溫差為16c時，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)為35人.

19.在銳角，ABC中，角A、8、C的對邊分別為a、b,c,其面積為S,S.（b-aXb+a）+accosB=^-S.

（1）求角A的大??；

（2）若a=26,求S取值范圍.

【答案】⑴A.；

(2)(2百,3同

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理、三角形面積公式變形給定等式，求出tanA即可作答.

（2）利用正弦定理把三角形面積表示為角C的函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【小問1詳解】

在銳角中，3—a）S+a）+accos8=2^S，由余弦定理cos8=三±三二2，

3lac

ZBJ22Cl~C~-b~2>/3c日n_Cl~2>/3[入?人.222c7A

==

GTb~-Q**4---------------=------S，即----------------S，又S=二besinA,，h~+c-a~2Z?ccosA.，

23232

因此bccosA=冬區(qū)?l力csinA，有tanA=J^，而0<A<],解得A=：，

32Z3

所以A=：

【小問2詳解】

jr27r

由(1)知，A=-,B=----C,

33

b_c_a遮=4

由正弦定理得：sin3sinCsinA6,Qp/?=4sinB,c=4sinC,

-2~

則S=^Z?csinA=-4sinB-4sinC-sinA=46sinBsinC=46sin(y-C)sinC

=4^3(-^-cosC+；sinC)sinC=4G(.,cosCsinC+gsin2C)

=46?。?；.j；2C)=2,5gsin2C-|cos2C)+&

=2V3sin(2C--)+V3,

6

0<C<-

2__?！?，兀7T兀571

又一ABC是銳角三角形，則有《,即一<。<一，亦即一v2c-一<一，

八2兀c兀62666

0<------z<——

32

1兀

于是7<sin(2C—W1,2^3vSW3y勺，

26

所以S的取值范圍是(26,36].

20.如圖.在直三棱柱ABC-44G中，AB=AAt^BC=2,平面43C_L平面.

G

（1）求點A到平面ABC的距離；

（2）設(shè)。為A0的中點，求平面加與平面夾角的正弦值.

【答案】（1）5/2；

⑵B.

2

【解析】

【分析】（1）取48的中點E，證明AE_L平面ABC,再利用等體積法求解作答.

（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.

【小問1詳解】

在直三棱柱ABC-中，AB=A4,=BC=2,

設(shè)點A到平面A3。的距離為〃，取4B的中點E，連接AE,則

因為平面ABCJ?平面,平面48Cc平面43與4=48,

則有AE_L平面ABC,又BCu平面ABC,即有MJL3C,

因為AA,，平面A8C,8Cu平面ABC,則AAJBC,

因為A4AE=A,AA，AEu平面43片4,于是8cl平面ABgA，

1114

又ABu平面ABB1*4*,ri|-因此BC3-LAB，V.1ABC3=—SABC-AA=3—x—x2x2x2=一,

匕-ABC=：SABC，〃=；X；X2X2&x〃,又匕「ABC=%-48C,解得h=6，

所以點A到平面\BC的距離為近.

【小問2詳解】

以8為坐標(biāo)原點,分別以3C,3A,34的方向為x軸,，軸,z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-孫z,

則A(0,2,0),C(2,0,0),A(0,2,2),0(1,1,1),E(0,l,l),3。=(1,1,1),BA=(0,2,0),

設(shè)平面的一個法向量〃=(x,y,z),

In-BD=x+y+z=0

則〈，令x=l,得〃=(1,0,-1),

[n-BA=2y=0

由(1)知，平面6OC的一個法向量為AE