八下期中考試解答題壓軸題訓練（一）（時間：60分鐘總分：100）班級姓名得分一、解答題1．閱讀材料：一些含根號的式子可以寫成另一個含根號的式子的平方，如其思考過程如下：設（其中均為正整數）則有，∴，請你解決問題：（1）當均為正整數時，若，用含的式子分別表示，得：=_____，=____．（2）利用所探索的結論，找一組正整填空：____+____=；（3）若，且均為正整數，求的值．【答案】（1），；（2）13，4，1，2（答案不唯一）；（3）或．【分析】（1）利用完全平方公式得到，則，；（2）可設，，根據（1）中的公式代入即可；（3）由于，則，即，所以，或，，然后分別計算對應的的值．【詳解】解：（1），，；故答案為，；（2）令，，則，，故答案為13，4，1，2（答案不唯一）；（3），，即，而、為正整數，，或，，當，時，，當，時，．故或．【點睛】本題考查了二次根式的計算．先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了完全平方公式．2．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A，B分別在x軸與y軸上，已知OA＝6，OB＝10．過A作AC⊥OA且AC＝10，連接BC，點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→C→B的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．（1）如圖1，把長方形沿OP折疊，點B的對應點B1恰好落在AC邊上，求點P的坐標；（2）若點D（0，2）為y軸上的一點，點P在運動的過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）點P的坐標是（，10）；（2）存在，P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）【分析】（1）當點B的對應點B1恰好落在AC邊上時，根據勾股定理列方程即可求出此時P坐標；（2）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可．【詳解】解：（1）如圖1中，設P（m，10），則PB＝PB1＝m，∵OB1＝OB＝10，OA＝6，∴AB1＝＝8，∴B1C＝10﹣8＝2，∵PC＝6﹣m，∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝，則此時點P的坐標是（，10）．（2）存在，理由為：若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖2，①當BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，根據勾股定理得：CP1＝＝2，∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；②當BP2＝DP2時，此時P2（6，6）；③當DB＝DP3＝8時，在Rt△DEP3中，DE＝6，根據勾股定理得：P3E＝＝2，∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），綜上，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．【點睛】本題主要考查幾何圖形中的動點問題，掌握等腰三角形的定義，勾股定理并分情況討論是關鍵．3．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當點A在x軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動．在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離．【答案】【分析】取AC的中點D，連接BD、OD，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和．【詳解】解：如圖7-2，取AC的中點D，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，∴OD＝AC＝1，BD＝．在△OBD中，總是有OB＜OD＋BD．如圖7-3，當點D落在OB上時，OB最大，最大值為．

【點睛】本題考查了最短路徑問題和斜邊中線的性質，解題關鍵是恰當的作輔助線，構造三角形，利用三邊關系解決問題．4．先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：，，所以，問題：（1）填空：__________，____________﹔（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個正數a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化簡：（請寫出化簡過程）【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根據題目所給的方法將根號下的數湊成完全平方的形式進行計算；（2）根據題目給的a，b與m、n的關系式，用一樣的方法列式算出結果；（3）將寫成，4寫成，就可以湊成完全平方的形式進行計算．【詳解】解：（1）；；（2）；（3）==．【點睛】本題考查二次根式的計算和化簡，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則．5．已知，H為射線上一定點，，P為射線上一點，M為線段上一動點，連接，滿足為鈍角，以點P為中心，將線段順時針旋轉135°，得到線段，連接．（1）依題意補全圖1；（2）求證：；（3）點M關于點H的對稱點為Q，連接．寫出一個的值，使得對于任意的點M總有，并證明．【答案】（1）畫圖見解析，（2）證明見解析，（3）OP=，證明見解析．【分析】（1）按照題意畫圖即可；（2）證明和與∠OPM的和都是135°即可；（3）過點N、P分別作OB、OA的垂線，垂足分別為D、C，證△PDN≌△MCP，Rt△ODN≌Rt△QCP，列方程即可求出OP．【詳解】（1）如圖所示：（2）由旋轉得，∠OPN+∠OPM=135°，∵∠POM+∠PMO+∠OPM=180°，∠POM=45°，∴∠OMP+∠OPM=135°，∴；（3）OP=；過點N、P分別作OB、OA的垂線，垂足分別為D、C，由（2）得，，∴，∠PDN=∠MCP=90°，PN=PM，∴△PDN≌△MCP，∴PD=MC，ND=PC，∵，∴Rt△ODN≌Rt△QCP∴OD=CQ，設PC=OC=a，則PO=a，CH=OH-OC，MH=HQ=MC+CH，CQ=MQ-MC=2(MC+CH)-MC=2CH+MC，OD=2CH+MC，PO=2CH+MC-PD=2CH，a=2（-a），解得，a=1，即OP=；【點睛】本題考查了旋轉的性質和全等三角形的判定與性質以及勾股定理，解題關鍵是恰當作出輔助線，構建全等三角形，然后列方程解決問題．6．在菱形中，，為菱形內對角線右側一點．（1）如圖1，連接，若，求證：；（2）如圖2，過點作于點，于點，于點．連接，若，求面積的最大值．【答案】（1）證明解詳解；（2）【分析】（1）延長DP至E，使PE＝PB，連接BE，根據菱形的性質和等邊三角形的判定易證：△ABD和△PBE是等邊三角形，繼而根據“SAS”證得：△ABP≌△DBE，根據全等三角形對應邊相等和等量代換即可求證結論；（2）連接DP、BP、CP，設AC、BD相交于點O，根據圖形可知：S△BCD＝S△BDP＋S△BCP＋S△CDP，進而可得：，根據圖形可得：S△EFG＝S△PEF＋S△EPG＋S△FPG，設，，，繼而可得，繼而即可求解．【詳解】（1）延長DP至E，使PE＝PB，連接BE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝AD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠BPD＝2∠BAD，∴∠BPD＝120°，∴∠BPD＋∠BPE＝180°，∴∠BPE＝60°，∵BP＝PE，∴△PBE是等邊三角形，∴BP＝BE，∠PBE＝60°，∴∠ABD＝∠PBE，∴∠ABD＋∠DBP＝∠PBE＋∠DBP，即∠ABP＝∠DBE，在△ABP和△DBE中，，∴△ABP≌△DBE（SAS），∴AP＝DE，∵DE＝DP＋PE＝BP＋DP，∴AP＝BP＋DP；（2）連接DP、BP、CP，設AC、BD相交于點O，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6∴AC⊥BD，OB＝OD，BC＝CD＝BD＝6，OB＝3∴∴S△BCD＝∵S△BCD＝S△BDP＋S△BCP＋S△CDP∴∵∠BCD＝∠CBD＝∠BDC＝60°，PF⊥BD，PE⊥CD，PG⊥BC，∴∠FPG＋∠DBC＝180°，∠FPE＋∠BDC＝180°，∠FPG＋∠BCD＝180°，∴∠FPG＝∠FPE＝∠EPG＝120°∵S△EFG＝S△PEF＋S△EPG＋S△FPG設，，∴∴∵∴∴S△EFG＝,S△EFG最大值為．【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質、三角形面積公式，勾股定理，綜合性較強，解題的關鍵是綜合運用所學知識．7．觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗證：；．（1）按照上述等式及驗證過程的基本思想，猜想的變形結果，并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用（為正整數，且）表示的等式．【答案】（1），驗證見解析；（2）（為正整數，）．【分析】（1）應用二次根式對根式進行變形，總結規(guī)律，三個連續(xù)自然數的倒數，第一個乘以后兩個的差，結果等于中間數作結果的系數，中間數的分母作結果中被開方數的分子，另兩個數的分母的乘積作被開方數的分母，即可得到結果；（2）根據（1）即可得到等式．【詳解】解：（1）猜著：驗證：；（2）（為正整數，）．【點睛】本題考查二次根式的化簡，同時考查學生歸納總結的能力，特別注意寫用含n的式子表示時一定要寫上相應的n的取值范圍．8．如圖，和都是以為直角頂點的等腰直角三角形，連接，．（1）如圖1，試判斷與的數量關系和位置關系，并說明理由．（2）如圖2，若點哈好在上，且為的中點，，求的面積．（3）如圖3，設與的交點為，若，，，求的長．【答案】（1），，見解析；（2）；（3）．【分析】(1)結論:AC=BD，AC⊥BD.如圖1中，設AC交BD于K，OA交BD于E.證明△AOC≌△BOD(SAS)即可解決問題.(2)如圖2中，作OH⊥CD于H.首先證明OH=DH=CH，設OH=DH=CH=m，構建方程求出m即可解決問題.(3)如圖3中，連接BC，作BH⊥CO交CO的延長線于H.依次求出OB，OH，BH，CH，再求出OC即可解決問題.【詳解】（1）如圖，設交于點，交于點，圖1所以，∴，∴，，∴≌（SAS），∴，，∴，，∴，∴，∴．（2）如圖，作于點，圖2∵，，，∴，設，則，∵，，，∴，在中，∵，∴，解得或（舍），∴，，∵≌，．（3）如圖，連接，圖3作交的延長線于點，∵，，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，，在中，，∴，∵，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，30°角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題.9．在和中，，且，．（1）如圖1，如果點D在BC上，且，，求DE的長；（2）如圖2，AD與BC相交于點N，點D在BC下方，連接BD，且，連接CE并延長與BA的延長線交于點F，點M是CA延長線上一點，且，求證：；（3）如圖3，若，繞著點A旋轉，取DE中點M，連接BM，取BM中點N，連接AN，點F為BC中點，連接DN，若DN恰好經過點F，請直接寫出的值．【答案】（1）5；（2）見解析；（3）．【分析】（1）連接，根據同角的余角相等得到，繼而證明，由全等三角形的性質，得到，，接著證明是直角三角形，最后根據勾股定理解題即可；（2）先證明，再由全等三角形的性質得到，由等角的余角相等得到，繼而可證，根據內錯角相等，