專題06分式及分式方程

聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解

一、分式

1.分式的概念

二般地入用_A：B表示兩個(gè)整式,A=B.就可以表示成―的形式J如果B.中含有字母，式子就叫

做分式2…其史2—A一叫做分式的分五一JL叫做分式的分母2…分式和整式通稱為有理式2。

2.分式的性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以一（或除以）一一同二個(gè)丕等于雯的整式2.分式的值不變。.

（2）分式的變號法則：

分式的分子、一分母與分式本身的符號2——改變其生任何兩個(gè)」分式的值不變。―.

3.分式的運(yùn)算法則

acacacadad

—x—二——；一H——=一x—二—;

bdbdbdbcbe

（?"=/（"為整數(shù)）；

a,ba±b

一±—=----；

ccc

acad±be

——■-------

bdbd

二、分式方程

1.分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。,

2.分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是

原方程的根。

3.分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式,

一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。

名師點(diǎn)睛☆典例分類

考點(diǎn)典例一、分式的值

[例1]（2015?黑龍江綏化）若代數(shù)式的值等于0,則x=.

【答案】x=2

【解析】

試題分析：當(dāng)二二c時(shí)，代數(shù)式—^的值等于0,解得：X=2.

I2x-6*02.V-6

考點(diǎn)：分式的值等于0.

【點(diǎn)睛】分式的值為零則有x2-5x+6為。分母2x-6不為0,從而即可求出x的值.

【舉一反三】

1.要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）

A.....B.....C.....D.

【答案】A.

【分析】根據(jù)分式分母不為0的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須.

故選A.

2.（2015?湖南常德）若分式的值為0,則=

【答案】1

考點(diǎn)：分式方程的解法

考點(diǎn)典例二、分式的化簡

【例2】化簡：=（）

A.0B、1C、xD、

【答案】C.

【解析】工一上==

X-1X-1X-1X-1

故選C.

【點(diǎn)睛】觀察所給式子，能夠發(fā)現(xiàn)是同分母的分式減法。利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到

結(jié)果.

【舉一反三】

_為卜2

1.化簡ab-ab結(jié)果正確的是【】

b-a

A....B....C....D.

【答案】B.

【解析】，故選B.

2.若，則w=()

???]B???.Cy???.D?

【答案】D.

【分析】V,

??w=-a—2(aw—2).

故選D.

3.計(jì)算：

【答案】-4—.

a2-l

【解析】原式通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到結(jié)果.

試題解析：原式=

1

(d+1)((2—1)

1

a2-l

考點(diǎn)典例三、分式方程

r2-1

【例3】(2015自貢)方程L_L=o的解是()

X+1

A.1或-1B.-1C.0D.1

【答案】D.

【解析】

試題分析：去分母得：x:-l=0,即工：=1,解得：x=l或x=-l,經(jīng)檢蛉x=-l是增根，分式方程的解為

x=l.故選D.

考點(diǎn)：解分式方程.

【點(diǎn)睛】先去掉分母，觀察可得最簡公分母是x+1,方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解，然后解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可求解。

【舉一反三】

1.（2015攀枝花）分式方程的根為

【答案】2.

【解析】

試題分析：去分母得：，解得：x=2,經(jīng)檢驗(yàn)x=2是分式方程的解.故答案為：2.

考點(diǎn)：解分式方程.

2.（2015綿陽）（8分）解方程：.

【答案】.

【解析】

試題分析：去分母得：3=2x+2-2,解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解.

考點(diǎn)：解分式方程.

考點(diǎn)典例四、分式方程的應(yīng)用

【例5】（（2015遂寧）遂寧市某生態(tài)示范園，計(jì)劃種植一批核桃，原計(jì)劃總產(chǎn)量達(dá)36萬千克，為了

滿足市場需求，現(xiàn)決定改良核桃品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增

加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計(jì)劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設(shè)原計(jì)劃

每畝平均產(chǎn)量x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為L5x萬千克，根據(jù)題意列方程為（）

A.B.C.D.

【答案】A.

【解析】

試題分析：設(shè)原計(jì)劃每畝平均產(chǎn)量x萬千克，由題意得：，故選A.

考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【點(diǎn)睛】方程的應(yīng)用解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方程求解.

【舉一反三】

1..甲乙兩地相距420千米，新修的高速公路開通后，在甲、乙兩地行駛的長途客運(yùn)車平均速度是原

來的1.5倍，進(jìn)而從甲地到乙地的時(shí)間縮短了2小時(shí).設(shè)原來的平均速度為x千米/時(shí)，可列方程為

（）

A.B.C.D.

【答案】B.

【解析】設(shè)原來的平均速度為x千米/時(shí)，

由題意得，.

故選B.

2.甲、乙兩地之間的高速公路全長200千米，比原來國道的長度減少了20千米.高速公路通車后，

某長途汽車的行駛速度提高了45千米/時(shí)，從甲地到乙地的行駛時(shí)間縮短了一半.設(shè)該長途汽車在

原來國道上行駛的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

A.B.

C.D.

【答案】B.

【解析】

試題分析：設(shè)該長途汽車在原來國道上行駛的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意得

2002201

x+45x2

故選B.

課時(shí)作業(yè)☆能力提升

一.選擇題

1.（2015?黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）關(guān)于x的分式方程有解，則字母a的取值

范圍是（）

A.a=5或a=0B.aWOC.aW5D.aW5J=LaWO

【答案】D.

考點(diǎn)：分式方程的解.

2.（2015?遼寧營口）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是（）.

A.B.C.D.或

【答案】A.

【解析】

試題分析：題中說此分式方程有增根，說明去分母后化成的整式方程的解是3,所以先把原分式方

程化成整式方程，再把3代入，求m值；原分式方程去分母化為整式方程得：2-（x+m）=2（x-3）,將

x=3代入得：m=-l,故選A.

考點(diǎn)：1.解分式方程；2.增根的意義.

3.（2015?湖南常德）分式方程的解為：（）

A.1B、2C、D、0

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2,移項(xiàng)后解得x=l,檢驗(yàn)x=l是原分式方程

的根.

答案為A

考點(diǎn)：分式方程的解法

4.(2015?山東濟(jì)寧)解分式方程時(shí)，去分母后變形正確的為()

A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)

C.2-(x+2)=3D,2-(x+2)=3(x-1)

【答案】D

考點(diǎn)：分式方程的去分母

二.填空題

5.(2015?湖北衡陽，16題，3分)方程的解....

【答案】x=T

【解析】

試題分析：此題考查解分式方程，

首先去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程：原方程兩邊同時(shí)乘以x(x-2),得x-2=3x,

移項(xiàng)得，X—3x=2,

合并同類項(xiàng)得，-2x=2,

系數(shù)化為1,得x=-l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，x(x-2)#0,所以x=-1是原方程的根.

注意解分式方程必須要檢驗(yàn)根的合理性.

考點(diǎn)：解分式方程

6.(2015?湖北襄陽，14題)分式方程的解是

【答案】.

【解析】

試題分析：去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解.故答案為：.

考點(diǎn)：解分式方程.

7.分式方程的解是.

【答案】尸-3

考點(diǎn)：解分式方程.

8.若分式方程=2有增根，則這個(gè)增根是

【答案】x=l.

【解析】

試題分析：因?yàn)榉质椒匠逃性龈訶-1=0,即x=l,故方程的增根為x=l.

故答案是X=l.

考點(diǎn)：分式方程的增根.

9.(山東威海，第16題，4分)分式方程的解為

【答案】x=4

【解析】

試題分析：解分式方程，應(yīng)先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.另外，由于本題是選擇題,

除了上面的解法外，還可以將四個(gè)選擇支中的數(shù)分別代入驗(yàn)證得以求解.本題作為解答題時(shí)，易漏

掉驗(yàn)根過程.在方程兩邊同乘以(x—3),解得x=4.檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，(x—3)W0.所以，原方程的

解是x=4

考點(diǎn)：分式方程的解法.

三、解答題

10.計(jì)算：.

【答案】史工.

a+2

【解析】

試題分析：利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果：

a2-1a-1_(a+l)(a-l)a_a+1

a~+2aaa(a+2)a-1a+2

考點(diǎn)：分式的乘除法.

n.先化簡，再求值：，其中.

【答案】-I-

【解析】

試題分析：先把原分式進(jìn)行化簡，再求a」a-2=口的解，代入求值即可.

試題解析：解a、a-2=0得即=1,a：=-二，

\"a~1=0,.'.a=l..*.a=~2.

1

,FST2a-a-1a|a-1a-1Ia-1*a-1

一.厚工L------+--------------；--------=-L

a|a-1!?a-11aia-1'aia-1'a*

二當(dāng)a=-2時(shí)，原式=1=--

(-2)'斗

考點(diǎn)：1.分式的化簡求值；2.因式分解法解一元二次方程；3.分式有意義的條件.

12.先化簡，再求值：，其中.

【答案】-V7.

7

【解析】

試題分析：原式第一項(xiàng)利用除法法則變形，約分后利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最簡結(jié)果，

將x的值代入進(jìn)行二次根式化簡即可求出值.

試題解析：.

當(dāng)時(shí)，原式=.

考點(diǎn)：1.分式的化簡求值；2.二次根式化簡.

13.先化簡，再求值：，其中

【答案】—.

2

考點(diǎn)：1.分式的化簡求值；2.二次根式化簡.

14.(2015?山東棗莊，第19題，8分)(本題滿分8分)

先化簡，再求值：，其中x滿足X?—4x+3=0

【答案】

【解析】

試題分析：本題考查分式的化簡，針對本題，應(yīng)先從運(yùn)算順序上入手，即先計(jì)算括號里的分式減法,

再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分化簡。解一元二次方程得出答案后，要考慮是否取值使分式有意義.

試題解析：原式=+

=x+2.1-x

x-1(x+2)2

=_1

能，

解方程x2-4x+3=0得，

（x-1）（x-3）=0,

xl=l,x2=3.

當(dāng)x=l時(shí)，原式無意義；當(dāng)x=3時(shí)，原式=-=-.

考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算；因式分解；；一元二次方程的解法.求代數(shù)式的求值.

15.（2015?山東泰安，第25題）（8分）某服裝店購進(jìn)一批甲、乙兩種款型時(shí)尚T恤衫，甲種款型

共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每

件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元.

（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進(jìn)多少件？

（2）商店進(jìn)價(jià)提高60%標(biāo)價(jià)銷售，銷售一段時(shí)間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定

對乙款型按標(biāo)價(jià)的五折降價(jià)銷售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？

【答案】（1）甲種款型的T恤衫購進(jìn)60件，乙種款型的T恤衫購進(jìn)40件；（2）5960元.

考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用.

16.（2015?山東濟(jì)南，第24題,8分）（8分）濟(jì)南與北京兩地相距480km,乘坐高鐵列車比乘坐普

通快車能提前4h到達(dá)，已知高鐵列車的平均行駛速度是普通快車的3倍，求高鐵列車的平均行駛速

度.

【答案】