吉林省“五地六?！?025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若與共線，則實數(shù)值為（）A. B.C.1 D.22．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.3．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.4．關于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.5．拋物線的焦點到其準線的距離是（）A.4 B.3C.2 D.16．直線在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.7．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）8．已知等差數(shù)列的前項和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或109．設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.3210．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.11．已知向量，，，若，則實數(shù)（）A. B.C. D.12．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，圓：.若過點的圓的切線只有一條，求這條切線方程____________.14．已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個結論：①當變化時，直線恒過定點；②直線與圓可能無公共點；③若直線與圓有兩個不同交點，，則線段的長的最小值為；④對任意實數(shù)，圓上都不存在關于直線對稱的兩個點.其中正確的結論是______.（寫出所有正確結論的序號）15．已知，且，則_____________16．有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學7步登完樓梯的概率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和18．（12分）在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數(shù)據(jù)如下表：單位：人參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓參加賽會應急救援培訓88未參加賽會應急救援培訓430（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A，A，A，A，A名女同學B，B，B現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.19．（12分）已知函數(shù)（a為非零常數(shù)）（1）若f（x）在處的切線經(jīng)過點（2，ln2），求實數(shù)a的值；（2）有兩個極值點，.①求實數(shù)a的取值范圍；②若，證明：.20．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測量一次身高，得到前7個月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個月的平均身高；（2）求出身高y關于月齡x的回歸直線方程（計算結果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結論預測一下8個月的時候小孩的身高參考公式：21．（12分）已知等差數(shù)列的前和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）現(xiàn)由數(shù)列與按照下列方式構造成新的數(shù)列①將數(shù)列中的項去掉數(shù)列中的項，按原來的順序構成新數(shù)列；②數(shù)列與中的所有項分別構成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構成一個新數(shù)列;在以上兩個條件中任選一個做為已知條件，求數(shù)列的前30項和.22．（10分）已知命題；命題.（1）若p是q的充分條件，求m的取值范圍；（2）當時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量共線有，，結合向量的坐標即可求的值.【詳解】由題設，有，，則，可得.故選：D2、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A3、C【解析】利用垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.4、C【解析】求出不等式對應方程的根，結合不等式和二次函數(shù)的關系，即可得到結果.【詳解】不等式對應方程的兩根為，因為，故可得，根據(jù)二次不等式以及二次函數(shù)的關系可得不等式的解集為或.故選：C.【點睛】本題考查含參二次不等式的求解，屬基礎題.5、C【解析】由拋物線焦點到準線的距離為求解即可.【詳解】因為拋物線焦點到準線的距離為,故拋物線的焦點到其準線的距離是2.故選：C【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程中的幾何意義,屬于基礎題型.6、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為.故選：A7、A【解析】設出切點，對函數(shù)求導得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數(shù)的導函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應用到導數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設切點，求導并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.8、B【解析】根據(jù)題意可知等差數(shù)列是，單調遞減數(shù)列，其中，由此可知，據(jù)此即可求出結果.【詳解】在等差數(shù)列中，所以，所以，即，又等差數(shù)列中，公差，所以等差數(shù)列是單調遞減數(shù)列，所以，所以等差數(shù)列的前項和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.9、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.10、B【解析】根據(jù)正方體的性質確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.11、C【解析】先根據(jù)題意求出，然后再根據(jù)得出，最后通過計算得出結果.【詳解】因為，，所以，又，，所以，即，解得.故選：.【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算及向量垂直的相關性質，熟記運算法則即可，屬于常考題型.12、B【解析】根據(jù)斜率的取值范圍，結合來求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設傾斜角為，因為，且，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】由題設知A在圓上，代入圓的方程求出參數(shù)a，結合切線的性質及點斜式求切線方程.【詳解】因為過的圓的切線只有一條，則在圓上，所以，則，且切線斜率，即，所以切線方程或，整理得或.故答案為：或.14、③④【解析】由可判斷①；根據(jù)直線過的定點在圓內可判斷②；當直線與過圓心的直徑垂直時，求出線段的長度可判斷③；把圓心代入直線的方程可判斷④.【詳解】對于①，，當變化時，直線恒過定點，故錯誤；對于②，因為，所以在圓的內部，所以直線與圓總有公共點，故錯誤；對于③，當直線與過圓心的直徑垂直時，線段的長度的最小，此時，故正確；對于④，把圓心代入直線，得對任意實數(shù)，圓上都不存在關于直線對稱的兩個點，故正確.故答案為：③④.15、2【解析】由共線向量得，解方程即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：216、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=n（2）【解析】（1）由已知條件可得（d+2）2=2d+7，從而可求出公差，進而可求得數(shù)列的通項公式，（2）由（1）得，然后利用錯位相減法求【小問1詳解】因a1，a2+1，a3+6成等比數(shù)列，所以又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；【小問2詳解】因為，所以，所以，所以所以18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，列出其一切可能的結果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為；從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：，，，共15個，根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個，被選中且未被選中的概率為.19、（1）（2）①（0，1）；②證明見解析【解析】小問1先求出切線方程，再將點（2，ln2），代入即可求出a的值；小問2的①通過求導，再結合函數(shù)的單調性求出a的取值范圍；②結合已知條件，構造新函數(shù)即可得到證明.【小問1詳解】，∴切線方程為，將點代入解得：【小問2詳解】①當時，即時，，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；f（x）無極值點，當時，由得，，故f（x）在（-1，-）上單調遞增，在（-，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，f（x）有兩個極值點；.當時，由得，，f（x）（，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞此時，f（x）有1個極值點，綜上，當時，f（x）有兩個極值點，即，即a的范圍是（0，1）②由（2）可知，又由可知，可得.要證，即證，即證，即證即證令函數(shù)，x（0，1），故t（x）在（0，1）上單調遞增，又所以在上恒成立，即所以.20、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數(shù)的計算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計算結果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當x=8時,y=3×8+50=74,所以預測8個月的時候小孩的身高為74厘米.21、（1），（2）答案見解析【解析】（1）由題意可直接得到等比數(shù)列的通項公式；求出等差數(shù)列的公差，即可得到其通項公式；（2）若選①，則可確定由數(shù)列前33項的和減去，即可得答案；若選②，則可確定由數(shù)列前27項的和加上，即可得答案.【小問1詳解】