直線(xiàn)的方程知識(shí)點(diǎn)及典型例題

知識(shí)點(diǎn)：

1.直線(xiàn)的傾斜角：傾斜角的取值范圍.

定義:-當(dāng)直線(xiàn)與X軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線(xiàn)的傾斜角.

2.直線(xiàn)的斜率：定義:____________________________

計(jì)算：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)「2（久2，、2）的直線(xiàn)傾斜角是%斜率是k,則k=

當(dāng)戊=時(shí)，直線(xiàn)的斜率

3.直線(xiàn)的斜率k與傾斜角a的函數(shù)關(guān)系：a?[0《）時(shí)，ke,左隨a的增大而；

a?[0,：）時(shí)，kE,/c隨a的增大而.

4.直線(xiàn)方程的幾種形式

名稱(chēng)已知條件方程的形式適用范圍

點(diǎn)斜式

斜截式

兩點(diǎn)式

截距式X截距：

一般式

5.兩直線(xiàn)的位置關(guān)系判斷

一重合h_LG

斜截式”匕瓦

一般式"弋。

/2：月2%+82y+c2=0

6.距離公式

1.平面上兩點(diǎn)P1O1，%）、22（久2，%）間的距離因「2卜

2.點(diǎn)PQo，yo）到線(xiàn)4久+By+C=0的距離d=

※求點(diǎn)到線(xiàn)的距離時(shí)，直線(xiàn)方程要化為一般式

3.兩條平行線(xiàn)”北然變：狗的距離d=________________________

?Dy"TC<2—U

※求兩條平行線(xiàn)間的距離時(shí)，必須將兩直線(xiàn)方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。

典型例題

例1.給出下列說(shuō)法：其中說(shuō)法正確的是

①若a是直線(xiàn)I的傾斜角，則(T4a<180。；②若k是直線(xiàn)的斜率，則keR；

③任一條直線(xiàn)都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一條直線(xiàn)都有斜率，但不一定有傾斜角.

例2.(1)已知點(diǎn)4(2,-3),5(-3,-2),直線(xiàn)小過(guò)且與線(xiàn)段AB相交，求直線(xiàn)小的斜率k的取值范圍為

(2)已知點(diǎn)4(2,-3),B(5,5),直線(xiàn)小過(guò)且與線(xiàn)段4B相交，求直線(xiàn)小的斜率k的取值范圍為

(3)已知點(diǎn)A(0,3),B(-3,-2),直線(xiàn)小過(guò)且與線(xiàn)段4B相交，求直線(xiàn)m的斜率k的取值范圍為

例3.(1)求與直線(xiàn)3x+4y+1=。平行且過(guò)(1,2)的直線(xiàn)方程；

(2)求與直線(xiàn)2x+y-10=。垂直且過(guò)(2,1)的直線(xiàn)方程.

例4.卜：ax+y+a-1=0不經(jīng)過(guò)第一象限，且%(1)求證：k恒過(guò)定點(diǎn)；

例5.如圖，在ANBC中，已知4(5,-2),5(7,3),且4C邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上.

y

M

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo);（2）求AB邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程.

補(bǔ)充練習(xí)：

一、單選題：在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.直線(xiàn)x-2y-2=0在y軸上的截距為（）

A.-2B.2C.-1D.1

7

2.經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)%:%+y=2,%：2%—y=l的交點(diǎn)，且直線(xiàn)的一個(gè)方向向量力=（一6,4）的直線(xiàn)方程為（）

A.2x—y—1=0B.2%+y—3=0C.3x—2y—5=0D.2x+3y—5=0

3.設(shè)aER,則“直線(xiàn)a=+y—1=。與直線(xiàn)為+ay+1=0平行”是"a=±1"的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)/（一1,0）,8（2,3）的直線(xiàn)的傾斜角為（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

5.已知函數(shù)/（%）=alnx+合在％=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)％+y+1=0垂直，則a=（）

A.2B.-2C.1D.-1

6.已知直線(xiàn)k：x+（a—l）y+2=0,Z2：^T~3bx+y=0,且hl%，則小+/的最小值為（）

A工B-CD—

A。42C，216

二、多選題:在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

7.(多選)實(shí)數(shù)刈y滿(mǎn)足%2+y2+2%=0,則下列關(guān)于長(zhǎng)的判斷正確的是()

A.彳的最大值為VZB.上彳的最小值為一1^

x—ix—1

C.-彳的最大值為、^D.的最小值為-

X—13X—13

8.設(shè)直線(xiàn)系L：(x—4)cos0—ysind—1(0<0<2TT),貝！|()

A.點(diǎn)Q(4,0)到L中任意一條直線(xiàn)的距離為定值

B,存在定點(diǎn)P不在L中任意一條直線(xiàn)上

C.點(diǎn)M(l,4)到L中所有直線(xiàn)距離的最大值為5

D.對(duì)任意的整數(shù)n(nN3),存在正n邊形，其所有邊均在L中的直線(xiàn)上

9.已知直線(xiàn)入：CLX+2y+3a=0和直線(xiàn)%：3%+(a—l)y+7—a=0,下列說(shuō)法正確的是()

7

A.當(dāng)a=耳時(shí)，卜1l2

B.當(dāng)a=—2時(shí)，lr//l2

C.直線(xiàn)k過(guò)定點(diǎn)(-3,0),直線(xiàn)%過(guò)定點(diǎn)(T,l)

D.當(dāng)k,。平行時(shí)，兩直線(xiàn)的距離為總中

10.已知點(diǎn)M(l,0)關(guān)于直線(xiàn)小比一丫+1=0(zn?R)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N在直線(xiàn)x+y=0上，則實(shí)數(shù)小的值為()

A.RB.2C.—CD.-2

三、填空題：

11.設(shè)點(diǎn)P(5,2)到直線(xiàn)Z:y=k(x-1)-2的距離為d,貝卜的最大值是.

12.直線(xiàn)/與直線(xiàn)丫='x+1平行，且過(guò)直線(xiàn)x+y=4與2x+3y-8=0的交點(diǎn)，則直線(xiàn)Z的方程為

13.一條光線(xiàn)從P(6,4)射出與無(wú)軸相交于點(diǎn)Q(2,0),經(jīng)x軸反射，交y軸于R,則光線(xiàn)從P到R所走的路程為.

14.平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)4(久1，%),5(%2,72)>定義服/?=[(%1一久2)2+(、1->2)2為“4B兩點(diǎn)間的距離”，

定義|MB||=|%i-x2|+|為一刃為“，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離”，已知。(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x,y)(x>0,y<0)為

平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)，且||OP||=2,則d°p的最小值為.

四、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(1)求原點(diǎn)到直線(xiàn)x+2y—5=0的距離.

(2)已知直線(xiàn)x—2y—2—0,12：x—2y—1—0,求直線(xiàn)1之間的距離.

16.在平面直角坐標(biāo)系久。y中，已知？4BC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(-3,2),B(4,3),C(2,l).

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)4且與直線(xiàn)8c平行的直線(xiàn)方程；

(2)在?4BC中，求BC邊上的高線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.

補(bǔ)充練習(xí)答案：

1.【答案】C

【解答】

解：直線(xiàn)方程為汽—2y—2=0,

令X=0,得y=-1,

所以直線(xiàn)X—2y—2=0在y軸上的截距為—1.

故選C.

2.【答案】D

【解答】

解：聯(lián)立直線(xiàn)匕與5解得：｛;二;，

所以?xún)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)為(1,1),

又直線(xiàn)的一個(gè)方向向量3=(-6,4),所以所求直線(xiàn)的斜率為-|,

故所求直線(xiàn)方程為：y—l=-|(x—1),即2x+3y-5=0,

故選D

3.【答案】A

解：由兩條直線(xiàn)平行的充要條件可得：a2-1=0,解得a=±l.

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得：a=-l時(shí)，兩條直線(xiàn)重合，舍去，所以a=l,

???"直線(xiàn)ax+y-l=。與直線(xiàn)比+ay+l=0平行”是"a=±1”的充分不必要條件.

故選A.

4.【答案】B

【解答】

解：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為a,ae[0°,180°),

由于經(jīng)過(guò)做-1,0),B(2,3)兩點(diǎn)，

所以直線(xiàn)A8的斜率k==1,則tana=1,

a=45°.

5.【答案】D

【解答】

解：函數(shù)/(%)=alnx+x2,求導(dǎo)得：/'(刀)=2%+%

因?yàn)?(久)在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+y+l=0垂直,

所以“X)在久=1處的切線(xiàn)斜率為r(1)=2+a=1,

解得Q=-1.

故選。.

6.【答案】A

【解答】

解：由題意，匕！。，從而1+(。-1)=0,即a=l-V"百力，

從而a?+b2=4b2—2yT~^b+1=4(b—?/+p由二次函數(shù)性質(zhì)知

當(dāng)b=?時(shí)，a2+62有最小值;.

故選A.

7.【答案】CD

【解答】

解：由/+y2+2%=0得(％+1)2+y2=1,實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足%2+y2+2%=0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)p(x,y)在以為圓心,以1為

半徑的圓上，

告的幾何意義是表示圓上的點(diǎn)P(x,y)到4(1,0)連線(xiàn)的斜率，

設(shè)“\=/c,則y=/a:-M當(dāng)直線(xiàn)y=for-k與圓。+1)2+*=1有公共點(diǎn)時(shí)，\~k-k\_解得一字工人工?，

—33

所以-'彳的最大值為■的最小值為-

x—l3x—13

故CD正確.

故選CD

8.【答案】ABD

【解答】

解：對(duì)于4中，由點(diǎn)Q(4,0)到L的距離為d=『1=1,所以點(diǎn)Q(4,0)到L中任意一條直線(xiàn)的距離為定值，所以A

Jcos2?+sin2?

正確；

對(duì)于B中，由點(diǎn)Q(4,0)到L的距離為d=1,可得直線(xiàn)L表示的是圓C:(x—4>+V=1的所有切線(xiàn)，所以存在定點(diǎn)P,例

如：圓。一4)2+必=1內(nèi)部的點(diǎn)，不在直線(xiàn)L中任意一條直線(xiàn)上，所以8正確；

對(duì)于C中，由直線(xiàn)B項(xiàng)知直線(xiàn)L表示的是圓C:(x—4>+V=1的所有切線(xiàn)，其中圓C的圓心C(4,0),半徑為r=1,又由

”(1,4),可得|MC|=5,

所以點(diǎn)M(l,4)到L中所有直線(xiàn)距離的最大值為5+r=6,所以C不正確；

對(duì)于。中，例如：若圓C是一個(gè)正三角形的內(nèi)切圓，即正三角形的三邊分別為圓C的切線(xiàn)，因?yàn)橹本€(xiàn)L表示的是圓。:。-

4)2+y2=1的所有切線(xiàn)，所以三角形的三邊均在直線(xiàn)L中的直線(xiàn)上，所以。正確.

故選：ABD.

9.【答案】AD

【解答】

解：對(duì)于A,當(dāng)。=,時(shí)，直線(xiàn)4為,％+2y+,=0,直線(xiàn)=為3%—5y+7—1=0,

此時(shí)兩直線(xiàn)的斜率分別為七=—和&=5,

所以々1,左2=—1，所以-L，2，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于當(dāng)。=一2時(shí)，直線(xiàn)h為X—y+3=0,直線(xiàn)%為第―y+3=0,

此時(shí)兩直線(xiàn)重合，故3選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由直線(xiàn)k：ax+2y+3a=0,整理可得：a(x+3)+2y=0,

故直線(xiàn)。過(guò)定點(diǎn)(一3,0),

直線(xiàn)3%+(a—l)y+7—a=0,整理可得：a(y—1)+3%—y+7=0,

故直線(xiàn)。過(guò)定點(diǎn)(-2,1),故。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)%平行時(shí)，a(a-l)=2x3,解得a=3或。=一2,

當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線(xiàn)重合，舍去；

當(dāng)a=3時(shí)，直線(xiàn)為3%+2y+9=0,直線(xiàn)，2為3%+2y+4=0,

此時(shí)兩直線(xiàn)的距離d=J一旬=書(shū),故。選項(xiàng)正確.

J32+2213

故選：AD.

10.【答案】AC

【解答】

解：因?yàn)辄c(diǎn)N在直線(xiàn)x+y=0上，設(shè)點(diǎn)N(a,—a),

又M(L0),

則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(等,￡),

其必在直線(xiàn)血％—y+1=0(m?/?)_L,

則mx孚+|+1=0,

化衙為根(。+l)+a+2=0,Q)

又直線(xiàn)MN垂直直線(xiàn)租％-y+1=0(zn?R),

故^--X7?1=-l(aH1),化筒=a—1,(2)

聯(lián)立①②，解得

-1+AT3-1-<3

g、一,或"、一,

m=-y/~3\m=7-3

又當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)MN垂直直線(xiàn)m%—y+1=0(m?/?),

必有m=0,此時(shí)直線(xiàn)方程為y=1,

MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-手，不在直線(xiàn)y=l上，不滿(mǎn)足題意，

故m=±V-3,

故選：AC.

11.［答案］4V7

【解答】

解:直線(xiàn)=/久—1)-2過(guò)定點(diǎn)M(l,-2),

則PM垂直于直線(xiàn)/時(shí)，d有最大值，為|PM|=J(5—1尸+(2+2尸=4。,

故答案為4。.

12.【答案】3x—4y—12=0

【解答】

解:聯(lián)立直線(xiàn)x+y=4和2x+3y-8=0得久=4,y=0,則得其交點(diǎn)為(4,0).

因?yàn)橹本€(xiàn)I與直線(xiàn)y=1x+1平行，

所以設(shè)直線(xiàn)1的方程為丫=，無(wú)+6(b?l),將點(diǎn)(4,0)坐標(biāo)代入得b=-3,

4

3

X3即2-O

所以直線(xiàn)I的方程為y4--3%

故答案為：3x—4y-12=0.

13.［答案］6c

【解答】

解：2(6,