圓的切線證明和圓中計(jì)算附詳解(2024年中考數(shù)學(xué)真題匯編)

1.(24年江西中考)如圖，45是半圓。的直徑，點(diǎn)。是弦ZC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接

BD,BC,ZD=ZABC=60°.

AOB

(1)求證:8。是半圓0的切線.

(2)當(dāng)=3時(shí)，求北的長(zhǎng).

2.(24年山東棗莊中考)如圖，在四邊形ABCD

中,4D〃BC,/DAB=60。，AB=BC=24D=2.以點(diǎn)A為圓心，以為半徑作正交N3于

點(diǎn)E,以點(diǎn)8為圓心，以BE為半徑作EF所交5C于點(diǎn)E，連接FD交前于另一點(diǎn)、G，連接CG.

(1)求證：CG為江所在圓的切線

(2)求圖中陰影部分面積.(結(jié)果保留萬(wàn))

3.(24年安徽中考)如圖,。。是AABC的外接圓，。是直徑48上一點(diǎn)的平分線交4B

于點(diǎn)、E,交OO于另一點(diǎn)、F,FA=FE.

(1)求證：。。，48;

(2)設(shè)FA11AB，垂足為M,^OM=OE=1，求AC的長(zhǎng).

4.(24年揚(yáng)州中考)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中,“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情

況，猜想結(jié)論,然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，已知小BC,C4=CB,是的外接圓，點(diǎn)。在O0上連接

圖1圖2備用圖1備用圖2

【特殊化感知】

(1)如圖1,若ZACB=60。,點(diǎn)。在AO延長(zhǎng)線上，則AD-BD與CD的數(shù)量關(guān)系為

【一般化探究】

(2)如圖2,若ZACB=60。,點(diǎn)C,D在N3同側(cè)，判斷2。-AD與CO的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由

【拓展性延伸】

(3)若NACB=a，直接寫(xiě)出4D,AD,CO滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

5.（24年蘇州中考）如圖,AABC中,4S=40,D為N3中點(diǎn),ABAC=/BCDcosZADC=—.

4

O。是AZCD的外接圓.

(1)求5C的長(zhǎng)

(2)求。。的半徑.

6.(24年湖北中考)放A48C中,NZC8=90°,點(diǎn)。在/C上，以0c為半徑的圓交48于點(diǎn)。，交

ZC于點(diǎn)E.

(1)求證是。。的切線。

(2)連接0B交于點(diǎn)、F，若AD=也,AE=1，求弧樂(lè)的長(zhǎng).

B

D

C

AE

7.（24年武漢中考）如圖,A4BC為等腰三角形，。是底邊的中點(diǎn)，腰ZC與半圓。相切于點(diǎn)

，底邊與半圓。交于￡,斤兩點(diǎn).

（1）求證與半圓。相切

（2）連接。4.若CD=4,C尸=2,求sin/。4c的值.

8.（24年深圳中考）如圖，在AABD中,4B=BD,OO為△45。的外接圓,為0（9的切線,AC

為O。的直徑，連接。。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E.

D

(1)求證:QELAE

(2)若AB=5a,BE=5,求OO的半徑.

9.（24年河北中考）已知OO的半徑為3,弦MN=275,AABC中,N48C=90。,48=3,BC=3后.

在平面上，先將AABC和O。按圖1位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，點(diǎn)A在。。上，點(diǎn)C在。。內(nèi)），

隨后移動(dòng),使點(diǎn)B在弦上移動(dòng)，點(diǎn)A始終在OO上隨之移動(dòng)，設(shè)BN=x.

⑵當(dāng)0A//MN時(shí)，如圖2,求點(diǎn)B到0A的距離，并求此時(shí)x的值.

（3）設(shè)點(diǎn)。到的距離為d.

①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧而上,且過(guò)點(diǎn)A的切線與AC垂直時(shí)，求d的值.

②直接寫(xiě)出d的最小值.

10.（24年廣西中考）如圖,已知。。是AA5C的外接圓,45=/。.點(diǎn)D,E分別是的中

點(diǎn)，連接QE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使DE=EF，連接AF.

（1）求證:四邊形ABDF是平行四邊形

（2）求證:/尸與。。相切

3

（3）若1@11/8/。=73。=12,求0。的半徑.

11.（24年青海中考）如圖，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且OA=OB,CA=CB.

（1）求證:直線AB是OO的切線；

（2）若圓的半徑為4,48=30。,求陰影部分的面積.

12.（24年長(zhǎng)沙中考）對(duì)于凸四邊形，根據(jù)它有無(wú)外接圓（四個(gè)頂占都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四

條邊都與同一個(gè)圓相切），可分為四種類型,我們不妨約定

既無(wú)外接圓，又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無(wú)圓”四邊形

只有外接圓，而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形

只有內(nèi)切圓，而無(wú)外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形

既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形

請(qǐng)你根據(jù)該約定,解答下列問(wèn)題

⑴請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中,正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”）

①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形；（）

②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形（）

③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為幾內(nèi)切圓半徑為

J則有氏="（）

（2）如圖1,已知四邊形ABCD內(nèi)接于OO四條邊長(zhǎng)滿足:AB+CD^BC+AD.

①該四邊形/BCD是“"四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；

②若NBAD的平分線ZE交。。于點(diǎn)的平分線C尸交。。于點(diǎn)少，連接求

證:防是。。的直徑.

⑶已知四邊形Z8CD是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓。。與28,8C,CD,分別相切

于■點(diǎn)、E,F,G,H.

①如圖2連接EG,FH交于點(diǎn)P.求證:EGLFH.

②如圖3,連接OA,OB,OC,OD，若OA=2,0B=6,OC=3,求內(nèi)切圓。。的半徑子及。。的長(zhǎng).

"(J;

r

BFC

圖1圖2圖3

13.（24年包頭中考）如圖,48是。。的直徑,8。,8。是。。的兩條弦，點(diǎn)。與點(diǎn)。在48的兩

側(cè),E是OB上一點(diǎn)(0E>BE)，連接OC,CE,且ZBOC=2ZBCE.

（2）如圖2,若5。=2?！?求證:8?！?。。.（請(qǐng)用兩種證法解答）

14.（24年廣州中考）如圖,在菱形ABCD中,NC=120°.點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)8，點(diǎn)C

重合），△/匹關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為AAEF.

（1）當(dāng)/胡尸=30。時(shí)，試判斷線段/尸和線段的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由

（2）若4B=6+6#,為A4EF的外接圓，設(shè)0（9的半徑為廠.

①求廠的取值范圍

②連接ED,直線ED能否與O。相切？如果能，求郎的長(zhǎng)度:如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(24年遼寧中考)如圖,。。是“的外接圓,43是。。的直徑，點(diǎn)。在數(shù)上,G=麗,￡

在BA的延長(zhǎng)線上,NCEA=ACAD.

(1)如圖1,求證:CE是。。的切線

(2)如圖2,若NCEA=2ND48,=8,求麗的長(zhǎng).

圓的證明和計(jì)算詳解

1.（24年江西中考）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2〃

【小問(wèn)1詳解】

證明:???AB是半圓O的直徑90。.???/￡）=443。=60。.

ZCAB=90°-ZABC=30°NABD=180°-NCAB-ZD=90°BD是半圓O的切線.

【小問(wèn)2詳解】

解:如圖，連接0c

OC=OB,ZCBA=60°.:.bOCB為等邊三角形.NCOB=6Q°,OC=CB=3.

,120c\?

ZAOC=180°-ZCOB=120°./.=——x2〃x3=2萬(wàn).

"360

2.（24年山東棗莊中考）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）氈一工

43

【小問(wèn)1詳解】

解：連接如圖

根據(jù)題意可知：AD=AE,BE=BF.又,：AB=BC.CF=AE=AD.BC=2AD

：.BF=BE=AD=AE=CF.AD〃BC.：.四邊形ABFD是平行四邊形.

ZBFD=/DAB=60°.VBG=BF&BFG是等邊三角形.GF=BFGF=BF=FC

G在以BC為直徑的圓上/8GC=90。CG為樂(lè)所在圓的切線.

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)。作于點(diǎn)〃

由圖可得：S陰影=SaABFD-S^AED-S扇BEG—SaBFG.在RtAyl/ZD中，AD=1,Z.DAB=60°

/.DH=AD-sinZDAB=lx—=—.：.S,=AB-DH=2x—=s/3

22RFn2

由題可知：扇形4DE和扇形BG￡全等

?nnr工60%(4D)~60XTTXFN

..扇0E0-扇BGE-360—-360———360—-F

等邊三角形HFG的面積為：1GF-DH=-X1X^-=^-

2224

?e_e_e_e_c_/?_n2^1_—兀

???陰影―、aABFD-、扇AED一、扇BEG-、aBFG-75一不———~'?

3.(24年安徽中考)【答案】(1)證明:因?yàn)镋4=EE,所以NE4E=N/EE.

又NFAE與ZBCE都是BF所對(duì)的圓周角，故NFAE=ZBCE.

由于NAEF=ZCEB，則ZCEB=NBCE.因?yàn)镃E平分NACD，所以NACE=ZDCE.

又AB是直徑，所以ZACB=90°.

于是NCEB+ZDCE=ZBCE+NACE=ZACB=90°.

故ZCDE=9()CDLAB.

(2)解:由(1)知,NBEC=ZBCE，所以BE=BC.

又AF=EF,FM±AB,^MA=ME=2,ZE=4.

從而圓的半徑。4=。8=2￡-?！?3,于是8。=8￡=。8-?！?2.

在MBC中，A8=6,8。=2,ZACB=90°,所以ZC=^AB2-BC-=762-22=4后

即NC的長(zhǎng)為4JL

4.(24年揚(yáng)州中考)【答案】(1)AD—BD=CD.(2)AD—BD=CD(3)當(dāng)。在前上

(y(y

時(shí),2CD?sin5=/￡)—30.當(dāng)。在前上時(shí),286山5=/。+3。

［解析］解:CA=CB,ZACB=60°AABC是等邊三角形，則ZCAB=60°

OO是^ABC的外接圓....AD是NB4c的角平分線，則NDAB=30°

/.AD1BC.'：四邊形ACDB是圓內(nèi)接四邊形.I.ZCDB=120°./.ZDCB=ZDBC=30°

設(shè)AD,BC交于點(diǎn)￡,則BE=CE.設(shè)BD=1，則CD=BD=1.

圖1

在RABDE中，BE=cos300-BD=—BDBC=M

22

AD是直徑，則/ABD=90°.在RtA^5D中,4D=2BD=2.AAD-BD=2-1=\

：.AD—BD=CD

(2)如圖所示，在AD上截取DF=BD

圖2

AB=AB-4DB=ZACB=60°ADBF是等邊三角形.，BF=BD，則ZBFD=60°

/.ZAFB=120?！?；四邊形/COB是圓內(nèi)接四邊形.I.ACDB=120°./.AAFB=ACDB

'：CA=CB,ZACB=60°.AAABC是等邊三角形，則NCAB=60°AB=BC

又pf)=pf)./BCD=NBAF.在AAFBQCDB中

NAFB=ZCDB

<ZBAF=ZBCD：.AAFB咨ACDB(AAS),/.AF=CD.：.AD-BD=AD-DF=AF=CD

AB=CB

即AD—BD=CD

（3）解:①如圖所示，當(dāng)。在BC上時(shí)

A

在上截取=

''AB=AB："4CB=/ADB.又,：CA=CB,DE=DBACABS^DEB，則ZABC=ZEBD

joBCAREB

1,*.....------即.......------.1,***/ABC-/EBD.?*/4BE—/CBD,**.△ABE^^ACBD

EBBDBCBD

AEABBE,,.AD-BDAB

----==.?AE=AD—DE=AD—BD.??------------

CDBCBDCDBC

如圖所示，作CF工48于點(diǎn)廠

11(X

在R/BCF中,NBCF=^NBAC=-?，/.BC-sin-=BF

ryA7~)—R7~)ry/y

：.AB=2BC-sin-.：.=2sin上，即2CDsm-=AD-BD

2CD22

②當(dāng)。在右上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)BD至G，使得DG=DA，連接AG

,：四邊形ACDB是圓內(nèi)接四邊形.，ZGAD=ZACB=180°-NADB,又?：CA=CB,DG=DA

ACARACAD

：.ACABSADAG，貝IJZCAB=NZX4G..?.土=空即t="

ADAGABAG

又ZCAB=ZDAG：.ACAD=/BAG：.ACADS^BAG—

BGAB

'：BG=BD+DG=BD+AD

CDAC----------A--C-----------------------

同①可得Z5=2ZCsin、..*.80+2。AB.a./.2CD-sin—=AD+BD

22AC-sm—?

2

綜上所述，當(dāng)D在前上時(shí),2CD.sin,=40-,當(dāng)。在Q上時(shí),2CD.sin,=40+.

（2）。。的半徑為把2

5.（24年蘇州中考）【答案】（1）8C=4

7

【小問(wèn)1詳解】

VABAC=ZBCD,ZB=ZB.:.^BAC^BCD.—=——,BPBC2=AB-BD

BDBC

AB=46.,D為AB中點(diǎn)..,.8￡>=20=：/8=2行/.BC?=AB-BD=4叵26=16.

BC=4.

【小問(wèn)2詳解】

解:過(guò)點(diǎn)A作，CD，垂足為瓦連接C0,并延長(zhǎng)交。0于f連接AF

AD4

_________4c4B/—

在RtAAED中,/￡=^AD--DE-=近?：^BAC^A5CD=V2.

CDnC

^CD=xMAC=42x,CE=CD-DE=x-\.

?.?在RtA/C￡中,Z02=CE2+ZE2....(^X了=(X—1)2+(6『耙P,+2x—8=0

解得玉=2,%=-4(舍去).：.CD=2,AC=2枝.

-AC=AC.--"FC=ZADC.：CF為。O的直徑.ZCAF=90°.

sinZAFC=—=sinZCDA=—=^5..?.°尸=包1,即。0的半徑為蟲(chóng)2.

CFAD477

6.（24年湖北中考）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）弧CF的長(zhǎng)為

【小問(wèn)1詳解】

證明:連接0。

BD=BC

在AOBD和叢0BC中,<08=08.AOBD咨AOBC（SSS）.：.Z0DB=Z0CB=90°.

0D=0C

'：0D為Q0的半徑....AB是Q0的切線.

【小問(wèn)2詳解】

解:?；ZODB=90°.：./。八4=90。.設(shè)。。的半徑為尤.

在RtA/OD中=0￡>2+202,即（x+l）2=/+（班『.解得》=1

：.OD=OC=1,OA=2,cosZAOD=—=ZAOD=60°.VAOBD之AOBC

OA2

ZBOD=ZCOF=1（180°-60°）=60°弧CF的長(zhǎng)為1.

4

7.（24年武漢中考）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）］

【小問(wèn)1詳解】

證明:連接作ON交48于N,如圖

???A/3C為等腰三角形,0是底邊的中點(diǎn).AOLBC,A0平分NA4C.???ZC與半圓。相

切于點(diǎn)。,0。_LZC,由ONLAB.:.ON=0D.AC是半圓。的切線.

【小問(wèn)2詳解】

解:由(1)可知AOJ.BC,OD±AC.:.ZAOC=90°,ZODC=90°.

ZOAC+NOCA=180°-NAOC=90°,ZCOD+ZOCA=180°-ZODC=90°

CD

ZOAC=ZCODsinZOAC=sinZCOD=—.又：OF=OD,CF=2

oc

???在RtAODC中,CD=4,OC=OE+PC=0。+2.?.?=C￡)2+

(OD+2)2=42+OD2.解得:OD=3

CDCD4_4

sinNO4c=sin/LCOD==---------

OCOD+23+2-5

8.（24年深圳中考）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）3指

【小問(wèn)1詳解】

證明:連接BO并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)〃，連接OD

'：AB=BD,OA=OD,：.8。垂直平分AD.：.BH1AD,AH=DH.

,：BE為OO的切線,/.HBVBE：：AC為0(9的直徑.ZADC=90°.

四邊形為矩形.二.DE1BE

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知四邊形為矩形,8笈1,/笈=.

AH=DH=BE=5.：.BH7AB2-AH?=56

設(shè)OO的半徑為J則:。4=08=匕0笈=8//—08=56—外

在Rt449〃中，由勾股定理，得:/=（5）2+卜石-解得:「=3新

即的半徑為3石.

9.（24年河北中考）【答案】（1）兀（2）點(diǎn)B到。4的距離為2;3（3）①d=3-G；②§

【小問(wèn)1詳解】

解:如圖,連接。4,

,?OO的半徑為3,AB=3,：.OA=OB=AB=3,：.AAOB為等邊三角形.，ZA0B=60°

/—/1/、，607rx3

??/\^的長(zhǎng)為二^=兀.

1oO

【小問(wèn)2詳解】

解:過(guò)8作8/LCM于/，過(guò)。作如±腑于連接M9

,?OA//MN.：.NIBH=NBH0=ZH0I=ZBIO=90°四邊形BI0H是矩形

：.BH=OI,BI=OH.

*：MN=2亞，OH±MN.：.MH=NH=也而OM=3；OH=yjOM2-MH2=2=BI

2

...點(diǎn)B到OA的距離為2.VAB=3,BILOA.：.AI=^AB--BI=■

/.01=OA-AI=3-亞=BH.：,x=BN=BH+NH=3-04=3.

【小問(wèn)3詳解】

解:①如圖,：過(guò)點(diǎn)A的切線與AC垂直.I./C過(guò)圓心

過(guò)。作0JL5C于J,過(guò)。作。于K,而N48C=90。..,.四邊形KQ"為矩形.

?**0J=KB.AB=3,BC=3^/2?*,?AC—VAB~+BC~=3^3?

…cAB31AKLLrr-

cosNBAC==-^j==j==./.AK=y/3OJ=BK=3-后,即d=3-G.

②如圖，當(dāng)8為JW中點(diǎn)時(shí),過(guò)。作〃，玄。于過(guò)。作OJ_L5c于J.

/.ZOJL>90°.AOL>QJ,止匕時(shí)OJ最短.

如圖，過(guò)A作Z。，08于。，而48=49=3

為中點(diǎn)，則,.由（）可得。。=。22也.

,:BMN05ACV..25=2.1.80=1.AQ=73-1=2

NABC=90°=ZAQB./.ZOBJ+/ABO=90°=ZABO+ZBAQ,：.AOBJ=NBAQ

OJBQ1

tanZ.OBJ=tanZ.BAQ=---二—六

BJAQ2亞

設(shè)。/=加，則氏/=2后加，，加2+（2品『=22,解得:加=：（不符合題意的根舍去）

???d的最小值為

10.（24年廣西中考）【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）10

【小問(wèn)1詳解】

證明:：點(diǎn)D,E分別是BC,ZC的中點(diǎn).HD=CO,ZE=CE.又：ZAEF=ZCED,DE=EF

:.AAEF迫ACED.：.AF=CD,/F=/EDC.：.AF=BD,AF//BD

，四邊形ABDF是平行四邊形

【小問(wèn)2詳解】

證明:如圖，連接/￡?---45=/。,。為8。中點(diǎn)....AD1BC

...AD過(guò)圓心.：AF//BD.：.AF1而0A為半徑，AF為的切線

【小問(wèn)3詳解】

解:如圖，過(guò)8作8QLZC于。，連接03

3BQ3,--------------

tanABAC=-.BQ=3x,^l]AQ=4x.：.AC=ABy]AQ2+BQ2=5x.

A

22.126/10

CQ=AC-AQ=x.：.BC=^BQ+CQ=VlOx.AVlOx=12??x-―-j=------------

V105

AB=5x=6>J10.AB=AC,BC=12,AD±BC.BD=CD=6=JAB。-BD?=18

設(shè)。。半徑為，00=18-J,/=08-廳+62,解得：r=10.

的半徑為10.

11.（24年青海中考）【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）5陰影=8百一

【小問(wèn)1詳解】

證明:連接0c

：在“AB中,CM=08,G4=CB.OC，N8.又：OC是GO的半徑.

.?.直線48是。。的切線；

【小問(wèn)2詳解】

60^-42_8萬(wàn)

解:由(1)知ZOCB=90°.VNB=30°:ZCOB=90°-30°=60°;S^=

nrn360-3-

在R3OC3中,/3=30。,。。=4.???。5=8???BC=^OB2-OC2=782-42=4V3?

SA△C℃CR匯=—2?BC,OC——2x4^/3x4=8也

S陰影=SAOCB-S扇形.co=8c——.

12.(24年長(zhǎng)沙中考)【答案】⑴①(X)；②(“)；③”)

⑵①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形；

②

圖1圖2

證法1:如圖1,因?yàn)閆E平分N8/D,CF平分N8CQ

所以BE=DE,BF=DF-

所以筋+筋=法+防,即血》=麗萬(wàn)

所以血？與而？均為半圓.

所以ER是。。的直徑.

證法2：如圖1,連接4r

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于OO，所以/BAD+ZBCD=180°.

因?yàn)閆E平分ZBAD,CF平分ZBCD

所以Nl=g/R4D,N2=；NBCD.所以N1+/2=90°.

由同弧所對(duì)的圓周角相等可得N2=N3

所以Zl+Z3=90°,即ZEAF=90°.

所以EF=是。。的直徑...

證法3:如圖2,連接FD,ED

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于OO，所以/BAD+ZBCD=180°.

由題意，得Nl=g/BAD,Z2=：NBCD

由同弧所對(duì)的圓周角相等可得:/您辦=Nl/FED=Z2

所以ZEFD+ZFED=1(/BAD+NBCD)=90°,所以ZFDE=90°

①證明:如圖3連接OE,OF,OG,OH,HG.

因?yàn)?。。是四邊?BCD的內(nèi)切圓

所以O(shè)E，AB,OF±BC,OG±CD,OH±AD

所以AOEA=AOHA=90°

所以在四邊形EAHO中,44+NEOH=360°-90°-90°=180°.

同理可證ZFOG+ZC=180°.

因?yàn)樗倪呅蜰8CD是“完美型雙圓”四邊形

所以四邊形4BCD有外接圓

所以NZ+NC=180°.所以NE。//=NC.所以NR9G+NEO//=180°

又因?yàn)镹FHG=-NFOG/EGH=-ZEOH

22

所以ZFHG+NEGH=90°.所以ZHPG=90°,BPEGLFH.

②方法1:如圖4,連接OE,O￡OG,OH

因?yàn)?。。是四邊?BCD的內(nèi)切圓

所以NOEA=ZOHA=90°.

所以在四邊形EAHO中，+AEOH=360°-90°-90°=180°

同理可證NEOG+NC=180°.

因?yàn)樗倪呅?BCD是“完美型雙圓”四邊形

所以四邊形4BCD有外接圓.

又因?yàn)閆FHG=|ZFOG,ZEGH=；NEOH

所以NFHG+ZEGH=90°.

所以=90°,即EG，F(xiàn)H

2方法1:如圖4,連接OE,",OG,a7.

因?yàn)樗倪呅?BCD是“完美型雙圓”四邊形

所以NOAH+ZOAE+ZOCG+ZOCF=180°).

又因?yàn)镺O與/民分別相切于點(diǎn)E/,G,笈

又因?yàn)?。。6+/。。6=90°,所以/。/笈=/。。6.

又因?yàn)镹ZJ/O=ZOGC=90°,所以△2。笈fOCG.

所以羽=察，即：=樂(lè),解得CG=；，

(JCCCr3CG2

222

在Rt\OGC中，有OG2+CG2=。。2,gpr+（_r）=3

解得r4而.

在Rt^OBE,BE=40B--r22

同理可證ABE。fOHD,

12回

所以乳黑，即黑噓，解得如亞

13

方法2:如圖4,由AZOH?AOCG,得槳=空

(JCCG

即2廠kr'解得一6、仙胄

,/口BEOB

由ABEO-AOHD，得一=—

OH0D

，解得0D=6

13.（24年包頭中考）【答案】（1）3（2）見(jiàn)解析

【小問(wèn)1詳解】

解：；OC=OB.：.40BC=40cB=1（180°-/BOC）.VZBOC=2ZBCE

：.乙OBC=80°-2NBCE）=90°-NBCE，即ZOBC+NBCE=90°

ZOEC=90°.AOC2=OE2+CE'；.OC2=（OC—+（灼?.

解得OC=3.即。。的半徑為3.

【小問(wèn)2詳解】

證明:法一:過(guò)O作QF_LHD于F

D

BF=-BD.'：BD=20E.：.OE=BF,又OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°.

2

...RSCEO@RtAOFS(HL)AZCOE=ZOBF：.BD//OC;

,：AB是直徑44￡)3=90。

?，.AD=飛AB?-BD?=J(20C『-(2O￡『=2^OC2-OE2=2CE.

OCCEOE1

/.——=—=—=ACEO^AADB.：.ZCOE=ZABD.：.BD//OC.

ABADBD2

14.(24年廣州中考)【答案】^)AF=AD,AFVAD(2)@r>3+3V3：@12

【小問(wèn)1詳解】