2024屆高三二輪復(fù)習(xí)“8+4+4”小題強(qiáng)化訓(xùn)練⑺

數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4={1|%2一3%+220,工€2},3={訓(xùn),<2?6用，則()

A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】C

【解析】A={x|f—3x+2N0,xez}={x|xN2或x<l,xeZ},

3=3—2<y<2,yeN},則={0,1,2},

故選：C.

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，句對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z-Z],則復(fù)數(shù)z/Z2的虛部為()

A.-iB.-1C.-3iD.-3

【答案】D

【解析】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z-Z2,

則Z[=1+2z,z2=—2+i,得Z]?z。=(1+2。(-2+i)=—4—3i,

所以復(fù)數(shù)4-z2的虛部為-3.

故選：D

3.若古典概型的樣本空間。={1,2,3,4},事件A={1,2},甲：事件3=0,乙：事件相互獨(dú)

立，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

21

【解析】若3=。，Ans={l,2},則/>（&口3）=］=2，

21

而尸（A）=Z=5,P（5）=I，

所以P（A）P（B）=P（ApB）,所以事件A,8相互獨(dú)立，

反過(guò)來(lái)，當(dāng)8={1,3},AcB={l},

此時(shí)P（anB）=LP（A）=P（B）=-,滿足P（A）P（3）=P（An3）,

42

事件AB相互獨(dú)立，所以不一定6=0,

所以甲是乙的充分不必要條件.

故選：A

4.在平行四邊形ABCD中，BE=-BC,AF=-AE.若麗=加加+〃近，則加一〃=（）

24

1353

A.-B.-C.——D.——

2468

【答案】D

【解析］AB^AE+EB=AE-^BC=AE-^AD=AE-^（AF+Fl5）=AE-^（^AE-DF）

」麗+工通，

28

AD

B

所以機(jī)=:，"=二，貝!］加一〃=一二.

288

故選：D

22

5.已知廠為雙曲線C：3-斗=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)，直線y=3x+3a與。交于兩點(diǎn)，且

ab

5》軸，則。的離心率為（）

A.V2B.6C.2D.3

【答案】C

【解析】易知直線y=3x+3a經(jīng)過(guò)C的左頂點(diǎn)A(-tz,O),

設(shè)尸(―c,0),因?yàn)檩S，所以:—1=1,解得y=一名，或＞=打(舍去)，

abaa

所以點(diǎn)3坐標(biāo)為—c,----，則-----=—3c+3a,整理得3QC—3/=〃，

IciJa

所以3ac—3/=，—〃2,即/—3公+2a2=o,解得c=“(舍去)，或。=2。，

所以。的離心率為e=g=2,故C正確.

a

故選：C.

6.定義在R上的函數(shù)y=/。)和y=g(%)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，且函數(shù)y=/(x—D+2是奇函數(shù)，

則函數(shù)y=g(%)圖象的對(duì)稱中心為()

A.(1,2)B.(―1,2)C.(1,—2)D.(-1,-2)

【答案】C

【解析】由函數(shù)y=/(x—1)+2為奇函數(shù)，可得了(—尤—1)+2=—1)—2,

令/=x-i,可得,

所以函數(shù)y=的圖象關(guān)于點(diǎn)(T-2)對(duì)稱，

又因?yàn)閥=與y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以函數(shù)y=g(x)圖象的對(duì)稱中心為(1,-2).

故選：c.

7.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三

角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球…….記第〃層球的個(gè)數(shù)

為%,則數(shù)列I'的前20項(xiàng)和為(

204019

B.C.—D.

21212110

【答案】c

【解析】根據(jù)已知條件有％=1,

當(dāng)〃22時(shí)，%-％=2,%一%=3,%-&3=4，L,a”_%=n,

aa

以上各式累加得：n~\=2+3+4+L+n,

又％=1,所以%=I+2+3+4+—+〃=—~(n>2),經(jīng)驗(yàn)證%=1符合上式,

所以%=2fetD(〃eN*)；所以'-==2p

〃2''ann(n+l)<〃n+1J

故選：C

8.如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心。到水面的距離為Im,筒車的半徑是3m,盛水筒的初始位

Jr

置為穌,。外與水平正方向的夾角為一.若筒車以角速度2rad/min沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，/為筒車轉(zhuǎn)動(dòng)

6

后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)《所需的時(shí)間（單位：min）,則（）

A.cost=—B.sinz=—

22

B.C.C0s2l=_2&+1D.si"026

66

【答案】C

【解析】設(shè)盛水桶在轉(zhuǎn)動(dòng)中到水面的距離為d,時(shí)間為/,

由題意可得，盛水桶到水面的距離d與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下:

d=3sin121+弓）+1,

令d=0,即3sin121+7]+1=0,解得sin（2/+k]=—§,

立八兀r,日。兀7兀兀）242

又0<%<一，可得Ji<2t+—<—，/.cos2zH—=--------，

26616）3

cos2%=cosI21~i—j——cosI21H—jcos—FsinI21~i—jsin一

6j6jI6J6I6J6

2亞6（1、1276+1語(yǔ)

-------x----F--x—=----------，故C正確；

32\326

71

0v2/〈兀，

2

sin2t=,故D錯(cuò)誤;

Xcos2?=l-2sin2?，解得sin”」+3正,故B錯(cuò)誤；

6

3—%

cos2?=2COS2/-1>解得cost=--------，故A錯(cuò)誤.

6

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.z的共軌復(fù)數(shù)是5=—1+iB.|Z|=A/2

C.z的輻角主值是一D.—=l+i

4z

【答案】BCD

【解析】因?yàn)閦=l+i，所以I=l—i，故A錯(cuò)誤；

|z|—y/1+1=5/2,故B正確；

兀..兀

z二—+isin—,故C正確;

44

)11r蛆m="i,故D正確.

故選：BCD

.K3兀)K3兀),

10.已知函數(shù)/(x)=sinI2%+—I+cosI2%+—I,貝!J()

4

函數(shù)/卜一：

A.為偶函數(shù)

B.曲線y=/(%)對(duì)稱軸為%=癡,左wz

/(X)在區(qū)間(三,5]

C.單調(diào)遞增

D.y(x)的最小值為—2

【答案】AC

3兀

【解析】/(')=sin2x+型+c°s2x+包

44

.八3TI.3TIcc3Tl.c.3兀

=sin2xcos----Fsin——cos2x+coszxcos------smzxsin——

4444

-sin2x+cos2x-cos2x-sin2x=-J2sm2x，

2222

即/(%)--V2sin2x,

對(duì)于A,71%一￡-V2sinI2%-j=V2cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確;

對(duì)于B,f(x)=-\/2sin2x對(duì)稱軸為2x=—+fei,^eZ^>x=—+—,^eZ,故B錯(cuò)誤;

v7242

71712兀

,2XG，單調(diào)遞減，則

對(duì)于C,光￡T,7Ly=sin2%

〃力=-夜sin2x單調(diào)遞增，故C正確;

對(duì)于D,/(%)=—行sin2x,則sin2xe[—l,l],所以〃x)e[-,故D錯(cuò)誤;

故選：AC

11.四棱錐P—ABC。的底面為正方形，K4與底面垂直，=|A@=1,動(dòng)點(diǎn)/在線段PC

上，貝U()

A.不存在點(diǎn)使得AC，3MB.+的最小值為2—

3

C.四棱錐P-ABCD的外接球表面積為5乃D.點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為逑

【答案】BD

【解析】對(duì)于A：連接加>,且ACn9=O,如圖所示，當(dāng)M在PC中點(diǎn)時(shí),

**光

因?yàn)辄c(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)樯?JL平面A3CD,

所以。暇，平面ABCD,又因?yàn)锳Cu平面A3CD,所以O(shè)MLAC,

因?yàn)锳3CD為正方形，所以AC1BO.

又因?yàn)榘?。。河=O,且§￡>,。暇u平面5。欣，所以ACJ_平面

因?yàn)锽Mu平面所以所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：將APBC和APCD所在的平面沿著PC展開(kāi)在一個(gè)平面上，如圖所示，

則的最小值為8。，直角APBC斜邊PC上高為?金，即畫，

V66

直角△尸CD斜邊PC上高也為?咨，所以MB+MD的最小值為叵，所以B正確；

一底3

對(duì)于C：易知四棱錐P-A3co的外接球直徑為PC,

半徑氏=4儼。=4萬(wàn)1=表面積S=4成2=6兀，所以C錯(cuò)誤；

21122

對(duì)于D：點(diǎn)M到直線距離的最小值即為異面直線PC與的距離，

因?yàn)锳B〃CD,且AB<z平面PC。，CDu平面PC。，所以A3〃平面PCD,

所以直線AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，過(guò)點(diǎn)A作A產(chǎn)，PD,

因?yàn)?4,平面ABCD,所以B4LCD,又ADLCD,且K4cAD=A,

故CD_L平面上4Q,AFu平面PAD,所以AbLCD,因?yàn)?。DcCD=O,

且尸￡>,CDu平面PCD,所以■，平面PCD,所以點(diǎn)A到平面PCD的距離，

即為AF的長(zhǎng),如圖所示,

在Rt△皿（中，|/訓(xùn)=2,|AD|=1,可得1Pq=石,

所以由等面積得M司=予，即直線A5到平面PCD的距離等于半，所以D正確,

故選：BCD.

12.已知圓。：必+>2=4,直線/過(guò)點(diǎn)P(-2,4),若將圓的上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單

位長(zhǎng)度得到圓C,則下列說(shuō)法正確的有()

A.若直線，與圓紛目切，則直線，的方程為3x+4y—10=0

B.若直線/與圓茂于/,姑點(diǎn)，且AABC的面積為2,則直線，的方程為x+y-2=0或

7x+y+10=0

C.若過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線「與圓皎于弘曬點(diǎn)，則當(dāng)ACMN面積最大時(shí)，直線/'的斜率為1或-1

D.若譚制由上的動(dòng)點(diǎn)，QR,QS分別切圓C于凡s兩點(diǎn)，則直線超恒過(guò)定點(diǎn)(3,3)

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)直線，垂直于刷時(shí)，其方程為x=-2,符合題意.當(dāng)直線,不垂直于諭時(shí)，

設(shè)直線/的方程為V—4=左。+2),即日—y+2左+4=0,則工q=2,解得左=一^,所以直線

3

/的方程為＞—4=——(x+2),即3x+4y—10=0.綜上，直線/的方程為％=—2或3x+4y—10=0,

-4

所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：由題意知直線/斜率存在且不為0,故設(shè)直線，的方程為y-4=K(x+2),即

6X—y+2%+4=0.設(shè)圓心終U直線，的距離為d,則;x2j4—筋々=2,即4/+4=0，

\2k.+4\廠

解得d=0，則上3,解得《=—1或匕=一7.所以直線/的方程為x+y—2=0或

q41+i

7x+y+10=0,所以B正確；

對(duì)于c選項(xiàng)：可知直線/'的斜率存在且不為0,設(shè)直線/'的方程為y=6(x—2)，

,,卜2左

即-y-=0,所以圓心C(0,0)到直線廠的距離d='r—^.

收+1

因?yàn)?CMN=；\MN\d=貝4—臚=J(4_/2"，2j4—1)+d=2,當(dāng)且僅當(dāng)4-d"=d'2，

即d'2=2時(shí)取等號(hào).

由/2=2,得(一狹2)=2,解得左2=1或履=T，所以c正確；

心+1

對(duì)于D選項(xiàng)：由題意知圓C'的方程為(x—3)2+(y—4)2=4,圓心C'(3,4).設(shè)QQ,0),則以C'Q為

直徑的圓的圓心為°,2),半徑為T^2|=&-3：+、6,

則圓加方程為［x—9)+(—)2="3；+16,

整理得丁+/—(3+g—4y+3"0,圓C'與圓曲公共弦所在直線即為直線做

%2+y"—(3+t)x—4y+3/=0,

將《兩式相減,

(x-3)2+(y-4)2=4

可得直線7?院勺方程為（3—?）x+4y+3Z—21=0,即（3—x）t+3x+4y—21=0.

3—x=0,fx=3,

令八，c,c解得1c即直線原恒過(guò)定點(diǎn)（3,3）,所以D正確?

3x+4y-21=0,[y=3,

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知指數(shù)函數(shù)y=/（尤）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,27）,貝U/（21og32）=.

【答案】4

【解析】由題意設(shè)/'（力="，?！?且awl，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,27）,

則27=/，解得a=3,

所以"無(wú))=3"

.-./(21og32)=32啕2=3啕4=4.

故答案為：4.

14.與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為G，且

勺々=1,則它的內(nèi)切球的體積為.

,,4%

【答案】一

3

【解析】由題意，畫出圓臺(tái)的直觀圖，其中A5為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，D,C分別為上、下底面的圓心,

點(diǎn)。為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)E為球。與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).

CD=^AB2-（BC-AD）2=-（4一/==2.

m44

因此可得：內(nèi)切球半徑r=*±=l,即得內(nèi)切球的體積為一兀/=一兀.

233

故答案為:

15.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和3個(gè)黑球,

乙箱中有5個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用4、4和人表示

由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，用五表示由乙箱取出的球是紅

球的事件，則網(wǎng)4忸)=

【答案

433

【解析】由題意得尸(A)=伉，「(&)=而，

2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則P(8|A)=：,

若A發(fā)生，此時(shí)乙箱中有6個(gè)紅球,

3個(gè)白球和3個(gè)黑球，則PCB|4)=:,

先&發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個(gè)紅球,

2個(gè)白球和4個(gè)黑球，則尸(814)=：.

先4發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個(gè)紅球,

5315

P(A,B)=P(B|4)尸(4)=—x—，

no,