第4講平面向量與復(fù)數(shù)

選擇題

1.(2023?甲卷)若復(fù)數(shù)(a+z)(l-*=2,則a=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2023?乙卷)設(shè)2=,貝lj^=()

1+r+z5

A.l-2zB.1+2/C.2-iD.2+i

3.(2023?乙卷)|2+『+2戶|=()

A.1B.2C.舊D.5

4.(2023?甲卷)5(1+，3)-=()

(2+z)(2-0

A.-1B.1C.1-zD.1+z

5.(2023?新高考II)在復(fù)平面內(nèi)，(1+3力)(3-，)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.(2023?新高考I)已知z=上上，貝l|z-5=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

7.(2023?甲卷)已知向量〃=(3/)，。=(2,2),貝Ijcos〈a+Z?,力=()

1p而非口2石

A?—r>.-----c?U.------

171755

8.(2023?甲卷)向量|a|=|。|=1,|c|=0,且一+。+，=0,貝!Jcos〈a-c,b-c)={)

1224

A.——B.——C.-D.-

5555

9.(2023?新高考I)已知向量Q=(1,1),b=(l,-l).若(〃+勸)_L(〃+"b),則()

A.Z+//=1B.A+//=—1C.4〃=1D.A//=—1

10.(2022?北京)在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為AA5c所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則尸4P5的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

11.(2022?乙卷)已知向量a,b滿足|〃|=1,|勿=百，\a-2b|=3,則。?b=()

A.-2B.-1C.1D.2

12.(2022?新高考I)在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記C4=機(jī)，CD=n,貝！|C8=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3M

13.(2022?乙卷)設(shè)(l+2i)a+Z?=2i,其中a,6為實(shí)數(shù)，貝！J()

A.a=l,b=—1B.a=l9b=1C.a=—ltb=1D.a=—lfb=-l

14.(2022?甲卷)若z=l+i,則|iz+3Z|=()

A.4石B.4夜C.2y/5D.272

15.(2022?新高考II)(2+2z)(l-2/)=()

A.-2+4zB.-2-4/C.6+2zD.6-2i

16.(2022?乙卷)已知z=l—2i,且z+應(yīng)+6=0,其中a,。為實(shí)數(shù)，貝＞1（）

A.a=l9b=—2B.a=—lfb=2C?a—1,b=2D.a=—lJb=

17.(2022?新高考I)若i(l-z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

18.（2022?北京）若復(fù)數(shù)z滿足i.z=3—4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

二.填空題

19.（2023?上海）已知復(fù)數(shù)z=l-源為虛數(shù)單位），貝U|l+iz|=.

20.（2023?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡紅巴的結(jié)果為.

2+3/

21.（2023?上海）已知向量a=（—2,3）,b=（l,2）,則.

22.（2023?新高考H）已知向量a,6滿足|a-6|=6,|a+b|=|2a|,貝U|b|=

23.（2022?天津）在AABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,試用a,b表示DE為

3b-a

2.

24.（2022?上海）若平面向量|。|=|。|二|c|=4,且滿足a?b=0,a-c=2,b?c=1,則4=.

-2-2-2

25.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊A4上，則尸＞+%+…+上4-的取值

范圍是.

26.（2022?甲卷）已知向量a=（八3）,b=（l,m+l）.若a_L6,貝！.

27.（2022?甲卷）設(shè)向量a,。的夾角的余弦值為L且|6|=3,則（2a+b＞6=.

3

AC

28.（2022?甲卷）已知AABC中，點(diǎn)。在邊上，ZADB=\20°,4）=2,CD=2BD.當(dāng)^一取得最小

AB

值時(shí)，BD=.

29.（2022?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡U二三的結(jié)果為.

1+2z

30.（2022?上海）已知z=l+i（其中i為虛數(shù)單位），則22=.

第4講平面向量與復(fù)數(shù)

選擇題

1.(2023?甲卷)若復(fù)數(shù)(a+i)(l-))=2,則°=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)(a+i)(l-出)=2,

所以2。+(1-4/=2,

即=2?八，解得。=L

[1-a=0

故選：C.

2.(2023?乙卷)設(shè)2=2*貝”=(

）

1+Z+i

A.1-2/B.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

25

【解析】f=-l,i=i,

2+i

/.z=-----------

1+z+i

_2+i

i

=1-2/,

??z—1+2i.

故選：B.

3.（2023?乙卷）|2+/+2『|=（）

A.1B.2C.D.5

【答案】C

【解析】由于12+『+|=|1-27|=#+（—2）2=6

故選：c.

4.（2023?甲卷）5"尸）=（）

（2+0（2-0

A.-1B.1C.l-iD.1+i

【答案】C

【解析】5(1+尸)

（2+0（2-05

故選：c.

5.（2023?新高考II）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】（l+3z）（3-z）=3-z+9z+3=6+8z,

則在復(fù)平面內(nèi)，（1+3力）（3-力）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

I—；

6.(2023?新IWJ考I)已知z=-------，貝！Jz—5=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

1-i_11-z_1(1-Q2_1.

【解析】

2+2z-21+7-2(1+z)(l-f)~~2l

則

2

故z—彳=—i

故選：A.

7.(2023?甲卷)已知向量，=(3,1),石=(2,2),則cos〈a+b,a-b)=()

2后

A.—D.----------—D.

17175

【答案】B

【解析】根據(jù)題意,向量Q=(3,1),人=(2,2),

貝!］。+6=(5,3),。一6=(1，—1),

則有|。+6|=125+9=后,\a-b\=4T+l=yf2,(a+b)-(a-b)=2,

b)_(a+b).(a-b)_2-J17

故cos〈a+b，

\d+b\\d-b|5/34,17

故選：B.

8.(2023?甲卷)向量|4|=|b|=l,Ic|=V2,且〃+b+c=0,貝ljcos〈a—c,/?—(〉=()

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄縄。|=屹|(zhì)=1,Ic1=0,且a+6+c=0,所以一。=a+b,

所以/=必+52+2〃?),

BP2=l+l+2xlxlxcos<a，b>,

解得cos<a,b>=0,

所以a_L6，

又a—C=2a+b,b—c=a+2b,

所以(a-(?)?(〃-c)=(2a+/?)?(〃+2b)=2/+2Z?2+5〃?b=2+2+0=4,

\a-c\=\b-c\=d4/+4a?b+b?=J4+0+1=^/5,

mi”/-,r(d-e)-(b-c)44

n\以COS〈Q-C，b—C<yx=-------------------=------7==—.

\d-C\\b-d\A/5XV55

故選：D.

9.(2023?新高考I)已知向量，=(1,1),b=(l,-l).若(a+e)，(a+〃b),則()

A./I+//=1B.4+4=—1C.4〃=1D.A//=—1

【答案】D

【解析】。=(1,1),b=(l,-l),

a+Ab=(A+1,1—X),a+jub=(〃+1,1—〃)，

由(a+26)_L(a+/jb),得(X+1)(〃+1)+(1-4)(1-〃)=0,

整理得：2彳〃+2=0,即=-1.

故選：D.

10.(2022?北京)在AABC中，4c=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，且尸C=l,則上4?尸3的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

則4(3,0),8(0,4),C(0,0),

設(shè)P(x,y)，

因?yàn)槭琧=i,

所以f+)?=1,

又PA=(3—x「y),PB=(-x,4-y)，

所以PA-PB=-x(3—x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+1,

設(shè)x=cos3,y=sin6,

3

所以PA-PB=-(3cos0+4sin^)+1=-5sin(6+?)+1,其中tanc?——>

4

當(dāng)sin(6+0)=l時(shí)，上4?尸3有最小值為T,

當(dāng)sin(6+0=-l時(shí)，P4PB有最大值為6,

所以PAPBe[-4,6],

故選：D.

11.(2022?乙卷)已知向量2,6滿足|a|=l,|b|=g,|a-2b|=3,則a-b=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄縜,匕滿足|a|=l,2|=后，|a-2%|=3,

所以|。一26|=?"2b)2=yja2-4a-b+4b2=Jl-4a/+4x3=3,

兩邊平方得，

13-4。?6=9,

解得a-b=1,

故選：C.

12.(2022?新高考I)在AABC中，點(diǎn)。在邊鉆上，BD=2DA.記C4=m，CD=n,

貝ICB=()

A.3m—2rlB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】如圖，

BC

CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD,

2222

i3

:.—CB=—CD—CA,^CB=3CD-2CA=3n-2m.

22

故選：B.

13.(2022?乙卷)設(shè)(l+2i)a+Z?=2i,其中〃，b為實(shí)數(shù),則（)

A.a=l9b=—lB.a=l,b=lC.Q=-1fb=lD.a=—l,b=—l

【答案】A

【解析】(l+2i)a+b=2i,

a+b=0

:.a+b+2ai=2i,即

2a=2

a=1

解得

b=-1

故選：A.

14.(2022?甲卷)若z=l+i,貝！||iz+32|=()

A.4^/5B.4A/2C.D.2A/2

【答案】D

【解析】z=1+z,

:.iz+3z=i+i2+3(1-i)=i-1+3—3i=2—2i,

故選：D.

15.(2022?新高考II)(2+2z)(l-2z)=()

A.-2+4zB.-2-4zC.6+2zD.6-2i

【答案】D

［解析］(2+2z)(l-20=2-4/+2i-4z2=6-2?.

故選：D.

16.(2022?乙卷)已知z=l—2i,且z+近+b=O,其中a,6為實(shí)數(shù)，貝i」（）

A.a=l9b=—2B.a=—lJb=2C.a=l,b=2D.a=—l9b=—2

【答案】A

【解析】因?yàn)閦=l—2z1且z+aN+b=0,

所以(l—2i)+a(l+2i)+6=(l+a+b)+(-2+2a)i=0，

1+a+b=0

所以

—2+2a=0

解得(7=1,b=—2.

故選：A.

17.(2022?新高考I)若，(l-z)=l,貝1Jz+亍=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

i_;

【解析】由i(l—z)=l,得1—z=7=C=T,

i—i

:.z=l+i,則2=1T,

z+z=l+i+l—z=2.

故選：D.

18.(2022?北京)若復(fù)數(shù)z滿足力-z=3—43則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】由3z=3-4i,得z=^~,

z

...3-4/|3-4/|盧+(-4)2

..z|=|----1=------=-5---------=5.

i\i\1

故選：B.

二.填空題

19.(2023?上海)已知復(fù)數(shù)z=l-i(i為虛數(shù)單位)，貝！J|l+iz|=.

【答案】75.

【解析】-z=1-z,

1+iz|=|1+z(l-01=|2+Z|=A/5.

故答案為：A/5.

20.（2023?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡正巴的結(jié)果為

2+3，

【答案】4+1

5+14/_(5+141)(2-3i)_52+13i_4+

【解析】2+3i-(2+31)(2-3，)―13—-'

故答案為：4+z.

21.(2023?上海)已知向量。=(一2,3),6=(1,2),則-6=

【答案】4.

【解析】?向量4=(-2,3),6=(1,2),

/.ci'b——2xl+3x2=4.

故答案為:4.

22.（2023?新高考II）已知向量a,6滿足|a-6|=g,\a+b\=\2a-b\,則|6|=

|a-b|=百，\a+b\=\2.a-b\,

Q?+Z??—2Q,Z?=3,Q?+Z??+2a,b—4a?+b?—4。,b,

/.a2=2a?b,Z?2=3,

...|切=班.

故答案為：百.

23.（2022?天津）在AABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,試用a,b

3b-a

表小DE為

2

【答案】"；f

【解析】AABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,如圖:

1An37?-

/.DE=CE-CD=CB+BE一一CA=b+------=——

2222

AB=CB-CA=b-a,ABLDEf

Q71

ABDE=（b-d）-^-^-=-（3b2-Aab+cr）=Q,^4a-b=a2+3b2,

22

即4?a?6?cosC=a2+362,即cosC="+勸2..獨(dú)嘰且,

4ab4ab2

當(dāng)且僅當(dāng)。=島時(shí)，等號(hào)成立，故cosC的最小值為豆，故C的最大值為工,

即NACB的最大值為工,

6

24.（2022?上海）若平面向量|a|=|b|=|c|=X,且滿足a-6=0,a-c=2,b-c=l,則

2=.

【答案】松

【解析】由題意，有［?/?=（）,則。_1b，設(shè)va,c>=8,

（a-c=2卜舊c"0=2,①

［Z?-c=1n問p|cos［、-e）=l,②

則答得，tan?！?

①2

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：cos9=處,

5

則a?c=|a||c|cosO=A,-Z-~~=2，

r=V5,

貝！M=,.

故答案為：痣.

25.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A4…4的邊A4上，則

.222

P\+PA,+…+必—的取值范圍是.

【答案】［12+21，16］.

【解析】以圓心為原點(diǎn)，4A所在直線為x軸，&A所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，如圖所示，

則A（。/），,A（i,o）,人4（^-,-^~）,（o,-i）,A（一^~,一^~）’4（-1,。）,

4（一警"

設(shè)P（尤,y），

則

222222222222

/^41+^42+...+/^!=|J%|+l^|+|/^5|+IMt|+l^45l+l^4l+l^7l+l^48|=8（x+/）+8

1-i-req45。

cos22.5°釜UiOP|1,—2領(lǐng)P+y21,

"正知2+2J,

4'

:.12+2y/2^(x2+y2)+816,

即+…+必2的取值范圍是口2+2點(diǎn)，16],

故答案為：[12+2收，16J.

【答案】-3.

4

【解析】,向量8=(m3),Z?=(1,m+1).a±b,

a-b=m+3(m+1)=0,

3

貝!jm二——，

4

故答案為：-』.

4

27.（2022-甲卷）設(shè)向量〃，匕的夾角的余弦值為工，且|。|=1,\b\=3,則